2020版高中數(shù)學 第二章 圓錐曲線與方程 專題突破一 離心率的求法學案(含解析)新人教B版選修2-1.docx
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專題突破一離心率的求法一、以漸近線為指向求離心率例1(1)已知雙曲線兩漸近線的夾角為60,則雙曲線的離心率為_答案2或解析方法一由題意知,雙曲線的漸近線存在兩種情況當雙曲線的焦點在x軸上時,若其中一條漸近線的傾斜角為60,如圖1所示;若其中一條漸近線的傾斜角為30,如圖2所示,所以雙曲線的一條漸近線的斜率k或k,即或.又b2c2a2,所以3或,所以e24或,所以e2或.同理,當雙曲線的焦點在y軸上時,則有或,所以或,亦可得到e或2.綜上可得,雙曲線的離心率為2或.方法二根據(jù)方法一得到:當雙曲線的焦點在x軸上時,漸近線的傾斜角為30或60,則離心率e或2;當雙曲線的焦點在y軸上時,漸近線的傾斜角為30或60,則離心率e2或.綜上可得,雙曲線的離心率為2或.(2)已知雙曲線1(a0,b0)的右焦點為F,若過點F且傾斜角為60的直線l與雙曲線的右支有且只有一個交點,則雙曲線的離心率e的取值范圍是_考點雙曲線的簡單幾何性質題點求雙曲線的離心率答案2,)解析由題意知,即23,e2,故離心率e的取值范圍是2,)點評(1)雙曲線的離心率與漸近線方程之間有著密切的聯(lián)系,可以借助進行互求一般地,如果已知雙曲線離心率的值求漸近線方程,或者已知漸近線方程,求離心率的值,都會有兩解(焦點在x軸上和焦點在y軸上兩種情況),不能忘記分類討論(2)當直線與雙曲線有一個公共點時,利用數(shù)形結合思想得到已知直線與漸近線斜率的關系,得到的范圍,再利用e得到離心率的取值范圍跟蹤訓練1中心在原點,焦點在x軸上的雙曲線的一條漸近線經(jīng)過點(4,2),則它的離心率為()A.B.C.D.考點雙曲線的簡單幾何性質題點求雙曲線的離心率答案D解析由題意知,過點(4,2)的漸近線的方程為yx,24,a2b.方法一設bk(k0),則a2k,ck,e.方法二e211,故e.二、以焦點三角形為指向求離心率例2如圖,F(xiàn)1和F2分別是雙曲線1(a0,b0)的兩個焦點,A和B是以O為圓心,|OF1|為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個交點,且F2AB是等邊三角形,則雙曲線的離心率為_思維切入連接AF1,在F1AF2中利用雙曲線的定義可求解考點雙曲線的簡單幾何性質題點求雙曲線的離心率答案1解析方法一如圖,連接AF1,由F2AB是等邊三角形,知AF2F130.易知AF1F2為直角三角形,則|AF1|F1F2|c,|AF2|c,2a(1)c,從而雙曲線的離心率e1.方法二如圖,連接AF1,易得F1AF290,F(xiàn)1F2A30,F(xiàn)2F1A60,于是離心率e1.點評涉及到焦點三角形的題目往往利用圓錐曲線的定義求得的值跟蹤訓練2設F1,F(xiàn)2分別是橢圓C:1(ab0)的左、右焦點,點P在橢圓C上,若線段PF1的中點在y軸上,PF1F230,則橢圓的離心率為()A.B.C.D.考點橢圓的離心率問題題點求a,b,c得離心率答案A解析如圖,設PF1的中點為M,連接PF2.因為O為F1F2的中點,所以OM為PF1F2的中位線所以OMPF2,所以PF2F1MOF190.因為PF1F230,所以|PF1|2|PF2|,|F1F2|PF2|.由橢圓定義得2a|PF1|PF2|3|PF2|,即a,2c|F1F2|PF2|,即c,則e.三、尋求齊次方程求離心率例3已知雙曲線E:1(a0,b0),若矩形ABCD的四個頂點在E上,AB,CD的中點為E的兩個焦點,且2|AB|3|BC|,則E的離心率是_思維切入通過2|AB|3|BC|,得到a,b,c的關系式,再由b2c2a2,得到a和c的關系式,同時除以a2,即可得到關于e的一元二次方程,求得e.考點雙曲線的簡單幾何性質題點求雙曲線的離心率答案2解析如圖,由題意知|AB|,|BC|2c.又2|AB|3|BC|,232c,即2b23ac,2(c2a2)3ac,兩邊同除以a2并整理得2e23e20,解得e2(負值舍去)點評求圓錐曲線的離心率,就是求a和c的值或a和c的關系,然后根據(jù)離心率的定義求得但在多數(shù)情況下,由于受到題目已知條件的限制,很難或不可能求出a和c的值,只能將條件整理成關于a和c的關系式,進而求得的值,其關鍵是善于利用定義以及圖形中的幾何關系來建立關于參數(shù)a,b,c的關系式,結合c2a2b2(或a2c2b2),化簡為參數(shù)a,c的關系式進行求解跟蹤訓練3已知橢圓1(ab0),A,B分別為橢圓的左頂點和上頂點,F(xiàn)為右焦點,且ABBF,則橢圓的離心率為_考點橢圓的離心率問題題點求a,b,c的齊次關系式得離心率答案解析在ABF中,|AB|,|BF|a,|AF|ac.由ABBF得|AB|2|BF|2|AF|2,將b2a2c2代入,得a2acc20,即e2e10,解得e.因為0eb0)的兩個焦點,P為橢圓上一點,且c2,則此橢圓離心率的取值范圍是_思維切入設P點坐標,通過c2及橢圓方程得到x2的值,由x20,a2,求得a2的范圍進而求得e的取值范圍考點橢圓的離心率問題題點由a與c的關系式得離心率答案解析設P(x,y),則(cx,y)(cx,y)x2c2y2c2,將y2b2x2代入上式,解得x2.又x20,a2,2c2a23c2,e.點評一是通過設點的坐標,利用圓錐曲線上點的坐標的范圍,轉化為離心率的取值范圍二是利用焦半徑的范圍得到a與c的不等式從而求得離心率的范圍(1)橢圓焦半徑的取值范圍為ac,ac(2)雙曲線的焦半徑點P與焦點F同側時,其取值范圍為ca,);點P與焦點F異側時,其取值范圍為ca,)跟蹤訓練4已知雙曲線1(a0,b0)的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,點P在雙曲線的右支上,且|PF1|4|PF2|,則此雙曲線的離心率e的最大值為()A.B.C2D.考點雙曲線的簡單幾何性質題點求雙曲線的離心率答案B解析P在雙曲線的右支上,由雙曲線的定義可得|PF1|PF2|2a,|PF1|4|PF2|,4|PF2|PF2|2a,即|PF2|a,根據(jù)點P在雙曲線的右支上,可得|PF2|aca,ac,又e1,10,b0)的離心率為,那么雙曲線1的離心率為()A.B.C.D2考點題點答案A解析由已知橢圓的離心率為,得,a24b2.e2,雙曲線的離心率e.2已知雙曲線1(a0,b0)的右頂點到其漸近線的距離不大于a,其離心率e的取值范圍為()A,) B,)C(1, D(1,考點題點答案D解析依題意,點(a,0)到漸近線bxay0的距離不大于a,a,解得e.又e1,1b0)與曲線x2y2a2b2無公共點,則橢圓的離心率e的取值范圍是()A.B.C.D.考點題點答案D解析由題意知圓的半徑是橢圓的焦距,由圓在橢圓內(nèi)部,得bc,即b2c2,a22c2,故0e0,b0)的兩個焦點,P是C上一點若|PF1|PF2|6a,且PF1F2的最小內(nèi)角為30,則C的離心率為_考點題點答案解析根據(jù)雙曲線的對稱性,不妨設點P在第一象限,則解得又|F1F2|2c,|PF2|最小在PF1F2中,由余弦定理,得cos30,2ac3a2c2.等式兩邊同除以a2,得e22e30,解得e.一、選擇題1已知點(2,3)在雙曲線C:1(a0,b0)上,C的焦距為4,則它的離心率為()A2B.C3D4考點雙曲線的簡單幾何性質題點求雙曲線的離心率答案A解析根據(jù)點(2,3)在雙曲線上,得1,考慮到焦距為4,則2c4,即c2.聯(lián)立及a2b2c2,解得a1,b,所以離心率e2.2(2018江西贛州高二檢測)若雙曲線1(a0,b0)的一條漸近線方程為yx,則該雙曲線的離心率為()A.B.C.D.考點題點答案B解析雙曲線1的一條漸近線為yx,由題意知,e.3若a1,則雙曲線y21的離心率的取值范圍是()A(,) B(,2)C(1,) D(1,2)考點題點答案C解析e,a1,e(1,)4橢圓1(ab0)的左、右焦點分別是F1,F(xiàn)2,過F2作傾斜角為120的直線與橢圓的一個交點為M,若MF1MF2,則橢圓的離心率為()A.B.1C23D2考點題點答案B解析由題意知,在RtMF1F2中,|F1F2|2c,F(xiàn)1F2M60,|MF2|c,|MF1|2cc,|MF1|MF2|cc2a,e1.5過雙曲線1(a0,b0)的一個焦點F引它的一條漸近線的垂線FM,垂足為M,并且交y軸于點E,若M為EF的中點,則該雙曲線的離心率為()A2B.C3D.考點雙曲線的簡單幾何性質題點求雙曲線的離心率答案D解析取右焦點F(c,0),漸近線方程為yx,F(xiàn)MOM,可得直線FM的方程為y(xc),令x0,解得y,E,線段FE的中點M,又中點M在漸近線yx上,解得ab,雙曲線的離心率e.6已知F1,F(xiàn)2是雙曲線1(a0,b0)的兩焦點,以線段F1F2為邊作正三角形MF1F2,若邊MF1的中點P在雙曲線上,則雙曲線的離心率是()A42B21C.D.1考點雙曲線的簡單幾何性質題點求雙曲線的離心率答案D解析因為MF1的中點P在雙曲線上,所以|PF2|PF1|2a,因為MF1F2為正三角形,邊長都是2c,所以cc2a,所以e1.7已知F1,F(xiàn)2是橢圓的兩個焦點,滿足0的點M總在橢圓內(nèi)部,則橢圓離心率的取值范圍是()A(0,1) B.C.D.考點橢圓的離心率問題題點由a與c的關系式得離心率答案C解析0,點M在以F1F2為直徑的圓上,又點M總在橢圓的內(nèi)部,cb,c2b2a2c2,即2c2a2,即.又0e1,0e.8(2018湖北黃岡高二檢測)已知直線m:ykx1過橢圓1(0b0,b0)的右焦點且與x軸垂直的直線與漸近線交于A,B兩點,若OAB的面積為,則雙曲線的離心率為_考點題點答案解析設F為右焦點,其坐標為(c,0),令xc,代入yx,可得y,SOABbc,c,則e.10設F1,F(xiàn)2分別為雙曲線1(a0,b0)的左、右焦點,雙曲線上存在一點P使得|PF1|PF2|3b,|PF1|PF2|ab,則該雙曲線的離心率為_考點雙曲線的簡單幾何性質題點求雙曲線的離心率答案解析不妨設P為雙曲線右支上一點,|PF1|r1,|PF2|r2.根據(jù)雙曲線的定義,得r1r22a,又r1r23b,故r1,r2.又r1r2ab,所以ab,解得(負值舍去),故e.11過點M(1,1)作斜率為的直線與橢圓C:1(ab0)相交于A,B,若M是線段AB的中點,則橢圓C的離心率為_考點題點答案解析設A(x1,y1),B(x2,y2),則1,1,M是AB中點,1,1,直線AB的方程是y(x1)1,y1y2(x1x2),可得0,即0,ab,則ca,e.12(2018廣東深圳高二期中)橢圓M:1(ab0)的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,P為橢圓上任意一點,且的最大值的取值范圍是c2,3c2,其中c,則橢圓M的離心率e的取值范圍是_考點題點答案解析由題意可知F1(c,0),F(xiàn)2(c,0),設P(x,y)由1,得x2,(cx,y),(cx,y),x2c2y2c2y2a2c2,當y0時,取得最大值a2c2,即c2a2c23c2,ca2c,則e.三、解答題13雙曲線1(a1,b0)的焦距為2c,直線l過點(a,0)和(0,b),且點(1,0)到直線l的距離與點(1,0)到直線l的距離之和sc,求雙曲線的離心率e的取值范圍考點題點解由題意,知直線l的方程為1,即bxayab0.因為點(1,0)到直線l的距離d1,點(1,0)到直線l的距離d2,所以sd1d2.由sc,得c,即5a2c2.于是得52e2,即4e425e2250,解得e25.因為e1,所以e的取值范圍是.14我們把焦點相同,且離心率互為倒數(shù)的橢圓和雙曲線稱為一對“相關曲線”已知F1,F(xiàn)2是一對相關曲線的焦點,P是橢圓和雙曲線在第一象限的交點,當F1PF260時,這一對相關曲線中橢圓的離心率為()A.B.C.D.考點題點答案A解析設|F1F2|2c,|PF1|PF2|2a1,|PF1|PF2|2a2,e1,e2.在PF1F2中,由余弦定理,得4c2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos60(|PF1|PF2|)23|PF1|PF2|(|PF1|PF2|)2|PF1|PF2|,所以16c2(|PF1|PF2|)23(|PF1|PF2|)24a12a,即43ee或e1(舍去)e1.15已知直線yx1與橢圓1(ab0)相交于A,B兩點(1)若橢圓的離心率為,焦距為2,求線段AB的長;(2)若向量與向量互相垂直(其中O為坐標原點),當橢圓的離心率e時,求橢圓長軸長的最大值考點題點解(1)e,2c2,a,則b,橢圓的方程為1.將yx1代入橢圓的方程,消去y得5x26x30,其中0.設A(x1,y1),B(x2,y2),由根與系數(shù)的關系得x1x2,x1x2,|AB|x1x2|.(2)設A(x1,y1),B(x2,y2),0,即x1x2y1y20.由消去y得(a2b2)x22a2xa2(1b2)0.由(2a2)24a2(a2b2)(1b2)0,整理得a2b21.又x1x2,x1x2,y1y2(x11)(x21)x1x2(x1x2)1.由x1x2y1y20,得2x1x2(x1x2)10.10,整理得a2b22a2b20.b2a2c2a2a2e2,代入上式得2a21,a2.e,e2,1e2,2,13,a2,符合條件a2b21,由此得a,2a.故橢圓長軸長的最大值為.- 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