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第11講 圓周運(yùn)動(dòng)
一、勻速圓周運(yùn)動(dòng)
1.定義:線速度大小 的圓周運(yùn)動(dòng).
2.性質(zhì):向心加速度大小不變,方向 ,是非勻變速曲線運(yùn)動(dòng).
3.條件:合力 ,方向始終與速度方向垂直且指向 .
二、描述勻速圓周運(yùn)動(dòng)的基本參量
三、離心運(yùn)動(dòng)和近心運(yùn)動(dòng)
1.受力特點(diǎn),如圖11-1所示.
圖11-1
(1)當(dāng)F=0時(shí),物體沿切線方向做勻速直線運(yùn)動(dòng);
(2)當(dāng)F=mrω2時(shí),物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng);
(3)當(dāng)0
mrω2時(shí),物體漸漸向圓心靠近,做近心運(yùn)動(dòng).
2.離心運(yùn)動(dòng)的本質(zhì)并不是受到離心力的作用,而是提供的力小于勻速圓周運(yùn)動(dòng)需要的向心力.
【辨別明理】
(1)勻速圓周運(yùn)動(dòng)是勻變速曲線運(yùn)動(dòng). ( )
(2)勻速圓周運(yùn)動(dòng)的加速度恒定. ( )
(3)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體所受的合外力大小不變. ( )
(4)物體做離心運(yùn)動(dòng)是因?yàn)槭艿剿^離心力的作用. ( )
(5)汽車轉(zhuǎn)彎時(shí)速度過大就會(huì)向外發(fā)生側(cè)滑,這是由于汽車輪胎受沿轉(zhuǎn)彎半徑向內(nèi)的靜摩擦力不足以提供汽車轉(zhuǎn)彎所需要的向心力. ( )
(6)勻速圓周運(yùn)動(dòng)和勻速直線運(yùn)動(dòng)中的兩個(gè)“勻速”的含義相同嗎?
(7)勻速圓周運(yùn)動(dòng)中哪些物理量是不變的?
考點(diǎn)一 圓周運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)問題
(1)在討論v、ω、an、r之間的關(guān)系時(shí),應(yīng)運(yùn)用控制變量法.
(2)傳動(dòng)裝置的特點(diǎn):
①“同軸”角速度相同;
②“同線”線速度大小相等.
圖11-2
例1光盤驅(qū)動(dòng)器讀取數(shù)據(jù)的某種方式可簡化為以下模式:在讀取內(nèi)環(huán)數(shù)據(jù)時(shí),以恒定角速度的方式讀取,而在讀取外環(huán)數(shù)據(jù)時(shí),以恒定線速度的方式讀取.如圖11-2所示,設(shè)內(nèi)環(huán)內(nèi)邊緣半徑為R1,內(nèi)環(huán)外邊緣半徑為R2,外環(huán)外邊緣半徑為R3.A、B、C分別為各邊緣上的點(diǎn),則讀取內(nèi)環(huán)上A點(diǎn)時(shí)A點(diǎn)的向心加速度大小和讀取外環(huán)上C點(diǎn)時(shí)C點(diǎn)的向心加速度大小之比為( )
A.R12R2R3 B.R22R1R3 C.R2R3R12 D.R1R3R22
變式題[2018柳州鐵路一中期中]如圖11-3所示,B和C是一組塔輪,即B和C半徑不同,但固定在同一轉(zhuǎn)動(dòng)軸上,其半徑之比RB∶RC=3∶2,A輪的半徑大小與C輪相同,它與B輪緊靠在一起,當(dāng)A輪繞過其中心的豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),由于摩擦作用,B輪也隨之無滑動(dòng)地轉(zhuǎn)動(dòng)起來.a、b、c分別為三輪邊緣的點(diǎn),則a、b、c三點(diǎn)在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中的 ( )
圖11-3
A.線速度大小之比為3∶2∶2
B.角速度之比為3∶3∶2
C.轉(zhuǎn)速之比為2∶3∶2
D.向心加速度大小之比為9∶6∶4
考點(diǎn)二 水平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)問題
運(yùn)動(dòng)模型
汽車在水平
路面轉(zhuǎn)彎
水平轉(zhuǎn)臺
圓錐擺
向心力的
來源圖示
運(yùn)動(dòng)模型
飛車走壁
火車轉(zhuǎn)彎
飛機(jī)水平轉(zhuǎn)彎
向心力的
來源圖示
水平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題通常是靜摩擦力提供向心力,靜摩擦力隨轉(zhuǎn)速的增大而增大,當(dāng)靜摩擦力增大到最大靜摩擦力時(shí),物體達(dá)到保持圓周運(yùn)動(dòng)的最大轉(zhuǎn)速.若轉(zhuǎn)速繼續(xù)增大,物體將做離心運(yùn)動(dòng).
圖11-4
例2(多選)[2014全國卷Ⅰ]如圖11-4所示,兩個(gè)質(zhì)量均為m的小木塊a和b(可視為質(zhì)點(diǎn))放在水平圓盤上,a與轉(zhuǎn)軸OO的距離為l,b與轉(zhuǎn)軸的距離為2l.木塊與圓盤的最大靜摩擦力為木塊所受重力的k倍,重力加速度大小為g.若圓盤從靜止開始繞轉(zhuǎn)軸緩慢地加速轉(zhuǎn)動(dòng),用ω表示圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度.下列說法正確的是 ( )
A.b一定比a先開始滑動(dòng)
B.a、b所受的摩擦力始終相等
C.ω=kg2l是b開始滑動(dòng)的臨界角速度
D.當(dāng)ω=2kg3l時(shí),a所受摩擦力的大小為kmg
圖11-5
變式題1如圖11-5所示,兩個(gè)質(zhì)量均為m的小木塊a和b(可視為質(zhì)點(diǎn))沿半徑方向放在水平圓盤上并用細(xì)線相連,a與轉(zhuǎn)軸OO的距離為l,b與轉(zhuǎn)軸的距離為2l.木塊與圓盤的最大靜摩擦力為木塊所受重力的k倍,重力加速度大小為g.若圓盤從靜止開始繞轉(zhuǎn)軸緩慢地加速轉(zhuǎn)動(dòng)至兩木塊剛好未發(fā)生滑動(dòng),ω表示圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度,下列說法正確的是 ( )
A.細(xì)線中的張力等于kmg
B.ω=kg2l是細(xì)線剛好繃緊時(shí)的臨界角速度
C.剪斷細(xì)線后,兩木塊仍隨圓盤一起運(yùn)動(dòng)
D.當(dāng)ω=kg2l時(shí),a所受摩擦力的大小為kmg
變式題2(多選)如圖11-6所示,一根細(xì)線下端拴一個(gè)金屬小球P,細(xì)線的上端固定在金屬塊Q上,Q放在帶小孔(小孔光滑)的水平桌面上,小球在某一水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)(圓錐擺).現(xiàn)使小球改到一個(gè)更高一些的水平面上做勻速圓周運(yùn)動(dòng),兩次金屬塊Q都靜止在桌面上的同一點(diǎn),
圖11-6
則后一種情況與原來相比較,下面的判斷中正確的是 ( )
A.細(xì)線所受的拉力變小
B.小球P運(yùn)動(dòng)的角速度變大
C.Q受到桌面的靜摩擦力變大
D.Q受到桌面的支持力變大
■要點(diǎn)總結(jié)
圓錐擺、火車轉(zhuǎn)彎、汽車轉(zhuǎn)彎、飛機(jī)在空中盤旋、開口向上的光滑圓錐體內(nèi)小球繞豎直軸線的圓周運(yùn)動(dòng)等,都是水平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的典型實(shí)例,其受力特點(diǎn)是合力沿水平方向指向軌跡圓心.
考點(diǎn)三 豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)問題
在僅有重力場的豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)是典型的非勻速圓周運(yùn)動(dòng),對于物體在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)的問題,中學(xué)物理只研究物體通過最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的情況,高考中涉及圓周運(yùn)動(dòng)的知識點(diǎn)大多是臨界問題,其中豎直面內(nèi)的線—球模型、桿—球模型中圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題出現(xiàn)的頻率非常高.下面是豎直面內(nèi)兩個(gè)常見模型的比較.
線—球模型
桿—球模型
模型
說明
用線或光滑圓形軌道內(nèi)側(cè)束縛的小球在豎直面內(nèi)繞固定點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)
用桿或環(huán)形管內(nèi)光滑軌道束縛的小球在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)
模型
圖示
臨界
條件
小球到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)重力剛好提供做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力,即mg=mv02r,式中的v0是小球通過最高點(diǎn)的臨界速度,v0=rg.
①當(dāng)v=v0時(shí),線對小球的作用力為零;
②當(dāng)vv0時(shí),小球能在豎直面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動(dòng),且線上有拉力
在小球通過最高點(diǎn)時(shí)存在以下幾種情況(其中v0=rg)
①當(dāng)v=v0時(shí),小球的重力剛好提供做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力;
②當(dāng)vv0時(shí),桿對小球有向下的拉力
在最高
點(diǎn)的
FN-v2
圖像
取豎直向下為正方向
取豎直向下為正方向
考向一 線—球模型
例3[2018天津六校聯(lián)考]如圖11-7甲所示,質(zhì)量為m的小球用長為L的不可伸長的輕繩連接后繞固定點(diǎn)O在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng),經(jīng)過最低點(diǎn)的速度大小為v,此時(shí)輕繩的拉力大小為F.F與v2的關(guān)系圖像如圖乙中實(shí)線所示,已知重力加速度為g,關(guān)于圖乙中a、b、c的值,下列判斷正確的是( )
圖11-7
A.a=6mg B.a=5mg
C.b=2mg D.c=6gL
圖11-8
變式題(多選)如圖11-8所示,豎直放置的光滑圓軌道被固定在水平地面上,半徑r=0.4m,最低點(diǎn)處有一小球(半徑比r小很多).現(xiàn)給小球一水平向右的初速度v0,要使小球不脫離圓軌道運(yùn)動(dòng),v0應(yīng)當(dāng)滿足(g取10m/s2) ( )
A.v0≥0 B.v0≥4m/s
C.v0≥25m/s D.v0≤22m/s
考向二 桿—球模型
圖11-9
例4[2018黃岡中學(xué)模擬]如圖11-9所示,長為l的輕桿一端固定一質(zhì)量為m的小球,另一端固定在轉(zhuǎn)軸O上,桿可在豎直平面內(nèi)繞軸O無摩擦轉(zhuǎn)動(dòng).已知小球通過最低點(diǎn)Q時(shí)的速度大小為v=9gl2,則小球的運(yùn)動(dòng)情況為 ( )
A.小球不可能到達(dá)圓軌道的最高點(diǎn)P
B.小球能到達(dá)圓軌道的最高點(diǎn)P,但在P點(diǎn)不受輕桿對它的作用力
C.小球能到達(dá)圓軌道的最高點(diǎn)P,且在P點(diǎn)受到輕桿對它向上的彈力
D.小球能到達(dá)圓軌道的最高點(diǎn)P,且在P點(diǎn)受到輕桿對它向下的彈力
變式題如圖11-10所示,小球在豎直放置的光滑圓形管道內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng),內(nèi)側(cè)壁半徑為R,小球半徑為r,重力加速度為g,下列說法正確的是 ( )
圖11-10
A.小球通過最高點(diǎn)時(shí)的最小速度vmin=g(R+r)
B.小球通過最高點(diǎn)時(shí)的最小速度vmin=gR
C.小球在水平線ab以下的管道中運(yùn)動(dòng)時(shí),內(nèi)側(cè)管壁對小球一定無作用力
D.小球在水平線ab以上的管道中運(yùn)動(dòng)時(shí),外側(cè)管壁對小球一定有作用力
■建模點(diǎn)撥
求解豎直平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)問題的思路
(1)定模型:首先判斷是線—球模型還是桿—球模型.
(2)確定臨界點(diǎn):v臨界=gr,對線—球模型來說是能否通過最高點(diǎn)的臨界點(diǎn),而對桿—球模型來說是FN表現(xiàn)為支持力還是拉力的臨界點(diǎn).
(3)研究狀態(tài):通常情況下豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)只涉及最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況.
(4)受力分析:對物體在最高點(diǎn)或最低點(diǎn)時(shí)進(jìn)行受力分析,根據(jù)牛頓第二定律列出方程,F合=F向.
(5)過程分析:應(yīng)用動(dòng)能定理或機(jī)械能守恒定律將初、末兩個(gè)狀態(tài)聯(lián)系起來列方程.
考點(diǎn)四 圓周運(yùn)動(dòng)與平拋運(yùn)動(dòng)的綜合問題
例5如圖11-11所示,置于圓形水平轉(zhuǎn)臺邊緣的小物塊隨轉(zhuǎn)臺加速轉(zhuǎn)動(dòng),當(dāng)轉(zhuǎn)速達(dá)到某一數(shù)值時(shí),物塊恰好滑離轉(zhuǎn)臺開始做平拋運(yùn)動(dòng).現(xiàn)測得轉(zhuǎn)臺半徑R=0.5m,離水平地面的高度H=0.8m,物塊平拋落地過程水平位移的大小s=0.4m.設(shè)物塊所受的最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力,重力加速度g取10m/s2.求:
(1)物塊做平拋運(yùn)動(dòng)的初速度大小v0;
(2)物塊與轉(zhuǎn)臺間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ.
圖11-11
變式題如圖11-12所示,光滑半圓形軌道處于豎直平面內(nèi),半圓形軌道與光滑的水平地面相切于半圓的端點(diǎn)A.一質(zhì)量為m的小球在水平地面上C點(diǎn)受水平向左的恒力F由靜止開始運(yùn)動(dòng),當(dāng)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)撤去恒力F,小球沿豎直半圓形軌道運(yùn)動(dòng)到軌道最高點(diǎn)B,最后又落在水平地面上的D點(diǎn)(圖中未畫出).已知A、C間的距離為L,重力加速度為g.
(1)若軌道半徑為R,求小球到達(dá)半圓形軌道B點(diǎn)時(shí)受到軌道的壓力大小FN;
(2)為使小球能運(yùn)動(dòng)到軌道最高點(diǎn)B,求軌道半徑的最大值Rm;
(3)軌道半徑R為多大時(shí),小球在水平地面上的落點(diǎn)D到A點(diǎn)的距離最大?最大距離xm是多少?
圖11-12
■要點(diǎn)總結(jié)
解答圓周運(yùn)動(dòng)與平拋運(yùn)動(dòng)綜合問題時(shí)的常用技巧
(1)審題時(shí)尋找類似“剛好”“取值范圍”“最大(小)”等字眼,看題述過程是否存在臨界(極值)問題.
(2)解決臨界(極值)問題的一般思路,首先要考慮達(dá)到臨界條件時(shí)物體所處的狀態(tài),其次分析該狀態(tài)下物體的受力特點(diǎn),最后結(jié)合圓周運(yùn)動(dòng)知識,列出相應(yīng)的動(dòng)力學(xué)方程綜合分析.
(3)注意圓周運(yùn)動(dòng)的周期性,看是否存在多解問題.
(4)要檢驗(yàn)結(jié)果的合理性,看是否與實(shí)際相矛盾.
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