2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二講 參數(shù)方程 一 第一課時(shí) 參數(shù)方程的概念及圓的參數(shù)方程學(xué)案 新人教A版選修4-4.docx
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第1課時(shí)參數(shù)方程的概念及圓的參數(shù)方程學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解曲線參數(shù)方程的有關(guān)概念.2.掌握?qǐng)A的參數(shù)方程.3.能夠根據(jù)圓的參數(shù)方程解決最值問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)一參數(shù)方程的概念思考在生活中,兩個(gè)陌生的人通過(guò)第三方建立聯(lián)系,那么對(duì)于曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y),直接描述它們之間的關(guān)系比較困難時(shí),可以怎么辦呢?答案可以引入?yún)?shù),作為x,y聯(lián)系的橋梁梳理參數(shù)方程的概念(1)參數(shù)方程的定義在平面直角坐標(biāo)系中,如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)x,y都是某個(gè)變數(shù)t(,)的函數(shù)并且對(duì)于t的每一個(gè)允許值,由方程組所確定的點(diǎn)M(x,y)都在這條曲線上,那么方程就叫做這條曲線的參數(shù)方程,t叫做參數(shù),相對(duì)于參數(shù)方程而言,直接給出點(diǎn)的坐標(biāo)間關(guān)系的方程叫普通方程(2)參數(shù)的意義參數(shù)是聯(lián)系變數(shù)x,y的橋梁,可以是有物理意義或幾何意義的變數(shù),也可以是沒(méi)有明顯實(shí)際意義的變數(shù)特別提醒:普通方程和參數(shù)方程是同一曲線的兩種不同表達(dá)形式,參數(shù)方程可以與普通方程進(jìn)行互化知識(shí)點(diǎn)二圓的參數(shù)方程思考如圖,角的終邊與單位圓交于一點(diǎn)P,P的坐標(biāo)如何表示?答案P(cos,sin),由任意角的三角函數(shù)的定義即xcos,ysin.梳理圓的參數(shù)方程圓心和半徑圓的普通方程圓的參數(shù)方程圓心O(0,0),半徑rx2y2r2(為參數(shù))圓心C(a,b),半徑r(xa)2(yb)2r2(為參數(shù))類型一參數(shù)方程及應(yīng)用例1已知曲線C的參數(shù)方程是(t為參數(shù))(1)判斷點(diǎn)M1(0,1),M2(5,4)與曲線C的位置關(guān)系;(2)已知點(diǎn)M3(6,a)在曲線C上,求a的值解(1)把點(diǎn)M1的坐標(biāo)(0,1)代入方程組,得解得t0.點(diǎn)M1在曲線C上同理可知,點(diǎn)M2不在曲線C上(2)點(diǎn)M3(6,a)在曲線C上,解得t2,a9.a9.反思與感悟參數(shù)方程是曲線方程的另一種表達(dá)形式,點(diǎn)與曲線位置關(guān)系的判斷,與平面直角坐標(biāo)普通方程下的判斷方法是一致的跟蹤訓(xùn)練1在平面直角坐標(biāo)系中,已知曲線C的參數(shù)方程是(為參數(shù))(1)求曲線C上的點(diǎn)Q(,3)對(duì)應(yīng)的參數(shù)的值;(2)若點(diǎn)P(m,1)在曲線C上,求m的值解(1)把點(diǎn)Q的坐標(biāo)(,3)代入?yún)?shù)方程,得即解得2k(kZ),故曲線上的點(diǎn)Q對(duì)應(yīng)的參數(shù)的值是2k(kZ)(2)把點(diǎn)P的坐標(biāo)(m,1)代入?yún)?shù)方程,得解得sin,故cos,即m,即所求m的值是.類型二求曲線的參數(shù)方程例2如圖,ABP是等腰直角三角形,B是直角,腰長(zhǎng)為a,頂點(diǎn)B,A分別在x軸、y軸上滑動(dòng),求點(diǎn)P在第一象限的軌跡的參數(shù)方程解方法一設(shè)點(diǎn)P(x,y),過(guò)P點(diǎn)作x軸的垂線交x軸于點(diǎn)Q.如圖所示,則RtOABRtQBP.取OBt,t為參數(shù)(0ta)|OA|,|BQ|.又|PQ|OB|t,點(diǎn)P在第一象限的軌跡的參數(shù)方程為(0ta)方法二設(shè)點(diǎn)P(x,y),過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線交x軸于點(diǎn)Q,如圖所示取QBP,為參數(shù),則ABO,在RtOAB中,|OB|acosasin.在RtQBP中,|BQ|acos,|PQ|asin.點(diǎn)P在第一象限的軌跡的參數(shù)方程為(為參數(shù),0)反思與感悟求曲線參數(shù)方程的主要步驟(1)畫出軌跡草圖,設(shè)M(x,y)是軌跡上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)(2)選擇適當(dāng)?shù)膮?shù),參數(shù)的選擇要考慮以下兩點(diǎn)曲線上每一點(diǎn)的坐標(biāo)x,y與參數(shù)的關(guān)系比較明顯,容易列出方程;x,y的值可以由參數(shù)惟一確定(3)根據(jù)已知條件、圖形的幾何性質(zhì)、問(wèn)題的物理意義等,建立點(diǎn)的坐標(biāo)與參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式,證明可以省略跟蹤訓(xùn)練2長(zhǎng)為3的線段兩端點(diǎn)A,B分別在x軸正半軸和y軸正半軸上滑動(dòng),3,點(diǎn)P的軌跡為曲線C.(1)以直線AB的傾斜角為參數(shù),求曲線C的參數(shù)方程;(2)求點(diǎn)P到點(diǎn)D(0,2)距離的最大值解(1)設(shè)P(x,y),由題意,得x|AB|cos()2cos,y|AB|sin()sin.所以曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù),)(2)由(1)得|PD|2(2cos)2(sin2)24cos2sin24sin43sin24sin832.當(dāng)sin時(shí),|PD|取得最大值.類型三圓的參數(shù)方程及應(yīng)用例3如圖,圓O的半徑為2,P是圓O上的動(dòng)點(diǎn),Q(4,0)在x軸上M是PQ的中點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)P繞O作勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí),(1)求點(diǎn)M的軌跡的參數(shù)方程,并判斷軌跡所表示的圖形;(2)若(x,y)是M軌跡上的點(diǎn),求x2y的取值范圍解(1)設(shè)點(diǎn)M(x,y),令xOP,則圓O的參數(shù)方程為(為參數(shù)),點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2cos,2sin)又Q(4,0),xcos2,ysin.點(diǎn)M的軌跡的參數(shù)方程為(為參數(shù))由參數(shù)方程知,點(diǎn)M的軌跡是以(2,0)為圓心,1為半徑的圓(2)x2ycos22sinsin()2,tan.1sin()1,2x2y2.即x2y的取值范圍是2,2反思與感悟(1)圓的參數(shù)方程中的參數(shù)是角,所以圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)是三角函數(shù)(2)運(yùn)用圓的參數(shù)方程,可以將相關(guān)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問(wèn)題,利用三角函數(shù)知識(shí)解決問(wèn)題跟蹤訓(xùn)練3已知實(shí)數(shù)x,y滿足(x1)2(y1)29,求x2y2的最大值和最小值解由已知,可把點(diǎn)(x,y)視為圓(x1)2(y1)29上的點(diǎn),設(shè)(為參數(shù))則x2y2(13cos)2(13sin)2116(sincos)116sin.1sin1,116x2y2116.x2y2的最大值為116,最小值為116.1下列方程:(m為參數(shù));(m,n為參數(shù));xy0中,參數(shù)方程的個(gè)數(shù)為()A1B2C3D4答案A2曲線(為參數(shù))圍成圖形的面積等于()AB2C3D4答案D3圓C:(為參數(shù))的圓心坐標(biāo)為_,和圓C關(guān)于直線xy0對(duì)稱的圓C的普通方程是_答案(3,2)(x2)2(y3)216(或x2y24x6y30)解析將參數(shù)方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程,得(x3)2(y2)216,故圓心坐標(biāo)為(3,2)點(diǎn)P(3,2)關(guān)于直線yx的對(duì)稱點(diǎn)為P(2,3),則圓C關(guān)于直線yx對(duì)稱的圓C的普通方程為(x2)2(y3)216(或x2y24x6y30)4已知(t為參數(shù)),若y1,則x_.答案0或2解析yt21,t1.x112或x110.5若P(2,1)為圓O:(02)的弦的中點(diǎn),則該弦所在直線l的方程為_答案xy30解析圓心O(1,0),kOP1,即直線l的斜率為1.直線l的方程為xy30.1參數(shù)方程(1)參數(shù)的作用:參數(shù)是間接地建立橫、縱坐標(biāo)x,y之間的關(guān)系的中間變量,起到了橋梁的作用(2)參數(shù)方程是通過(guò)變數(shù)反映坐標(biāo)變量x與y之間的間接聯(lián)系2求曲線參數(shù)方程的步驟第一步,建系,設(shè)M(x,y)是軌跡上任意一點(diǎn);第二步,選參數(shù),比如選參數(shù)t;第三步,建立x,y與參數(shù)間的關(guān)系,即一、選擇題1若點(diǎn)P(4,a)在曲線(t為參數(shù))上,則a等于()A4B4C8D1答案B解析根據(jù)題意,將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入曲線方程中,得2下列的點(diǎn)在曲線(為參數(shù))上的是()A.B.C(2,) D(1,)答案B解析由參數(shù)方程得y21x,只有B項(xiàng)中的點(diǎn)符合上式3已知O為原點(diǎn),參數(shù)方程(為參數(shù))上的任意一點(diǎn)為A,則|OA|等于()A1B2C3D4答案A解析|OA|1,故選A.4參數(shù)方程(t為參數(shù))表示的曲線是()A兩條直線B一條射線C兩條射線D雙曲線答案C解析當(dāng)t0時(shí),是一條射線;當(dāng)t0時(shí),也是一條射線,故選C.5圓心為點(diǎn)(1,2),半徑為5的圓的參數(shù)方程為()A.(02)B.(02)C.(0)D.(02)答案D解析圓心為點(diǎn)C(a,b),半徑為r的圓的參數(shù)方程為(0,2)故圓心為點(diǎn)(1,2),半徑為5的圓的參數(shù)方程為(02)6設(shè)曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù)),直線l的方程為x3y20,則曲線C上到直線l的距離為的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()A1B2C3D4答案B解析由得(x2)2(y1)29.曲線C表示以點(diǎn)(2,1)為圓心,以3為半徑的圓,則圓心C(2,1)到直線l的距離d3,所以直線與圓相交,所以過(guò)圓心(2,1)與l平行的直線與圓的2個(gè)交點(diǎn)滿足題意,又3d,故滿足題意的點(diǎn)有2個(gè)二、填空題7若點(diǎn)(3,3)在曲線(為參數(shù))上,則_.答案2k,kZ解析將點(diǎn)(3,3)代入?yún)?shù)方程(為參數(shù)),得解得2k,kZ.8已知圓C的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線l的極坐標(biāo)方程為sin1,則直線l與圓C的交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為_答案(1,1),(1,1)解析由圓C的參數(shù)方程為可求得其在直角坐標(biāo)系下的方程為x2(y1)21,由直線l的極坐標(biāo)方程sin1,可求得其在直角坐標(biāo)系下的方程為y1,由可解得所以直線l與圓C的交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(1,1),(1,1)9在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓C:(為參數(shù))和直線l:3x4y100,則直線l與圓C相交所得的弦長(zhǎng)等于_答案4解析由圓C的參數(shù)方程(為參數(shù)),可得圓C的圓心為(1,2),半徑為5,又直線l的方程為3x4y100,圓心到直線l的距離d1,直線l與圓C相交所得的弦長(zhǎng)為24.10若x,y滿足(x1)2(y2)24,則2xy的最小值為_答案2解析令x12cos,y22sin,則有x2cos1,y2sin2,故2xy4cos22sin24cos2sin2sin(),tan2.22xy2.即2xy的最小值為2.三、解答題11已知直線yx與曲線(為參數(shù))相交于兩點(diǎn)A和B,求弦長(zhǎng)|AB|.解由得(x1)2(y2)24,其圓心為(1,2),半徑r2,則圓心(1,2)到直線yx的距離d.|AB|22.12已知曲線C:(為參數(shù)),如果曲線C與直線xya0有公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍解x2(y1)21.圓與直線有公共點(diǎn),則d1,解得1a1.即實(shí)數(shù)a的取值范圍是1,113.如圖所示,OA是圓C的直徑,且|OA|2a,射線OB與圓交于Q點(diǎn),和經(jīng)過(guò)A點(diǎn)的切線交于B點(diǎn),作PQOA,PBOA,試求P點(diǎn)的軌跡方程解設(shè)點(diǎn)P(x,y)是軌跡上任意一點(diǎn),取DOQ,由PQOA,PBOA,得xOD|OQ|cos|OA|cos22acos2,yAB|OA|tan2atan.所以P點(diǎn)的軌跡的參數(shù)方程為.四、探究與拓展14設(shè)Q(x1,y1)是單位圓x2y21上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則動(dòng)點(diǎn)P(xy,x1y1)的軌跡的參數(shù)方程是_答案解析設(shè)x1cos,y1sin,P(x,y)則即為所求15在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,半圓C的極坐標(biāo)方程為2cos,.(1)求C的參數(shù)方程;(2)設(shè)點(diǎn)D在曲線C上,曲線C在D處的切線與直線l:yx2垂直,根據(jù)(1)中你得到的參數(shù)方程,確定D的坐標(biāo)解(1)半圓C的普通方程為(x1)2y21(0y1)可得半圓C的參數(shù)方程為(t為參數(shù),0t)(2)設(shè)D(1cost,sint)由(1)知曲線C是以C(1,0)為圓心,1為半徑的上半圓因?yàn)镃在點(diǎn)D處的切線與l垂直,所以直線CD與l的斜率相同,tant,t.故D的直角坐標(biāo)為,即.- 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