江蘇省2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題七 應(yīng)用題 第1講 函數(shù)、不等式中的應(yīng)用題學(xué)案.doc
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第1講 函數(shù)、不等式中的應(yīng)用題考情考向分析應(yīng)用題考查是江蘇高考特色,每年均有考查,試題難度中等或中等偏上命題主要考查學(xué)生運用所學(xué)知識建立數(shù)學(xué)相關(guān)模型解決實際問題的能力. 與函數(shù)、不等式有關(guān)的應(yīng)用題,可以通過建立函數(shù)、不等式模型,解決實際中的優(yōu)化問題或者滿足特定條件的實際問題熱點一和函數(shù)有關(guān)的應(yīng)用題例1某工廠現(xiàn)有200人,人均年收入為4萬元為了提高工人的收入,工廠將進(jìn)行技術(shù)改造若改造后,有x(100x150)人繼續(xù)留用,他們的人均年收入為4a(aN*)萬元;剩下的人從事其他服務(wù)行業(yè),這些人的人均年收入有望提高2x%.(1)設(shè)技術(shù)改造后這200人的人均年收入為y萬元,求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;(2)當(dāng)x為多少時,能使這200人的人均年收入達(dá)到最大,并求出最大值解(1)yx25(a3)2(a3)24.其中100x150,xN*.(2)當(dāng)10025(a3)150,即1a3,aN*時,當(dāng)x25(a3)時,y取最大值,即ymax(a3)24;當(dāng)25(a3)150,即a3,aN*時,函數(shù)y在100,150上單調(diào)遞增,當(dāng)x150時,y取最大值,即ymax3a4.答當(dāng)1a3,aN*,x25(a3)時,y取最大值(a3)24;當(dāng)a3,aN*,x150時,y取最大值3a4.思維升華二次函數(shù)是高考數(shù)學(xué)應(yīng)用題命題的一個重要模型,解決此類問題要充分利用二次函數(shù)的結(jié)論和性質(zhì)跟蹤演練1某企業(yè)參加A項目生產(chǎn)的工人為1 000人,平均每人每年創(chuàng)造利潤10萬元根據(jù)現(xiàn)實的需要,從A項目中調(diào)出x人參與B項目的售后服務(wù)工作,每人每年可以創(chuàng)造利潤10萬元(a0),A項目余下的工人每人每年創(chuàng)造利潤需要提高0.2x%.(1)若要保證A項目余下的工人創(chuàng)造的年總利潤不低于原來1 000名工人創(chuàng)造的年總利潤,則最多調(diào)出多少人參加B項目從事售后服務(wù)工作?(2)在(1)的條件下,當(dāng)從A項目調(diào)出的人數(shù)不能超過總?cè)藬?shù)的40%時,能使得A項目中留崗工人創(chuàng)造的年總利潤始終不低于調(diào)出的工人所創(chuàng)造的年總利潤,求實數(shù)a的取值范圍解(1)根據(jù)題意可得(1 000x)(10100.2x%)1 00010,整理得x2500x0,解得0x500,最多調(diào)出的人數(shù)為500.(2)由解得0x400.10x(1 000x)(10100.2x%)對x0,400恒成立,即10ax1 0001020x10x2x2%恒成立,即axx1 000對于任意的x0,400恒成立當(dāng)x0時,不等式顯然成立;當(dāng)0x400時,a11.令函數(shù)f(x)x,可知f(x)在區(qū)間0,400上是減函數(shù),故f(x)minf(400)1 025,故1.故0a,所以實數(shù)a的取值范圍是.熱點二和不等式有關(guān)的應(yīng)用題例2秸稈還田是當(dāng)今世界上普遍重視的一項培肥地力的增產(chǎn)措施,在杜絕了秸稈焚燒所造成的大氣污染的同時還有增肥增產(chǎn)作用某農(nóng)機(jī)戶為了達(dá)到在收割的同時讓秸稈還田,花137 600元購買了一臺新型聯(lián)合收割機(jī),每年用于收割可以收入6萬元(已減去所用柴油費);該收割機(jī)每年都要定期進(jìn)行維修保養(yǎng),第一年由廠方免費維修保養(yǎng),第二年及以后由該農(nóng)機(jī)戶付費維修保養(yǎng),所付費用y(元)與使用年數(shù)n的關(guān)系為yknb(n2,且nN*),已知第二年付費1 800元,第五年付費6 000元(1)試求出該農(nóng)機(jī)戶用于維修保養(yǎng)的費用f(n)(元)與使用年數(shù)n(nN*)的函數(shù)關(guān)系式;(2)這臺收割機(jī)使用多少年,可使年平均收益最大?(收益收入維修保養(yǎng)費用購買機(jī)械費用)解(1)依題意知,當(dāng)n2時,y1 800;當(dāng)n5時,y6 000,即解得所以f(n)(2)記使用n年,年均收益為W(元),則依題意知,當(dāng)n2時,W60 000137 6001 400(23n)1 000(n1)60 00060 000(137 200700n2300n) 60 30060 300240 700,當(dāng)且僅當(dāng)700n,即n14時取等號所以這臺收割機(jī)使用14年,可使年均收益最大思維升華運用基本不等式求解應(yīng)用題時,要注意構(gòu)造符合基本不等式使用的形式,同時要注意等號成立的條件跟蹤演練2小張于年初支出50萬元購買一輛大貨車,第一年因繳納各種費用需支出6萬元,從第二年起,每年都比上一年增加支出2萬元,假定該車每年的運輸收入均為25萬元小張在該車運輸累計收入超過總支出后,考慮將大貨車作為二手車出售,若該車在第x年年底出售,其銷售收入為(25x)萬元(國家規(guī)定大貨車的報廢年限為10年)(1)大貨車運輸?shù)降趲啄昴甑祝撥囘\輸累計收入超過總支出?(2)在第幾年年底將大貨車出售,能使小張獲得的年平均利潤最大?(利潤累計收入銷售收入總支出)解(1)設(shè)大貨車到第x年年底的運輸累計收入與總支出的差為y萬元,則y25x6xx(x1)50,0x10,xN*,即yx220x50,0x10,xN*,由x220x500,解得105x105,而21053,故從第三年開始運輸累計收入超過總支出(2)因為利潤累計收入銷售收入總支出,所以銷售二手貨車后,小張的年平均利潤為y(25x)(x219x25)19,又191929,當(dāng)且僅當(dāng)x5時等號成立答第5年年底出售貨車,獲得的年平均利潤最大熱點三和三角函數(shù)有關(guān)的應(yīng)用題例3(2018鎮(zhèn)江期末)如圖,準(zhǔn)備在墻上釘一個支架,支架由兩直桿AC與BD焊接而成,焊接點D把桿AC分成AD,CD兩段,其中兩固定點A,B間距離為1米, AB與桿AC的夾角為60,桿AC長為1米,若制作AD段的成本為a元/米,制作CD段的成本是2a元/米,制作桿BD成本是4a元/米設(shè)ADB,則制作整個支架的總成本記為S元(1)求S關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式,并求出的取值范圍;(2)問AD段多長時,S最小?解(1)在ABD中,由正弦定理得,BD, AD,則Sa 2a 4aa,由題意得.(2)令Sa0,設(shè)cos 0.0cos S0S極小值當(dāng)cos 時, S最小,此時sin ,AD.思維升華諸如航行、建橋、測量、人造衛(wèi)星等涉及一定圖形屬性的應(yīng)用問題,常常需要應(yīng)用幾何圖形的性質(zhì),用三角函數(shù)知識來求解跟蹤演練3某單位將舉辦慶典活動,要在廣場上豎立一形狀為等腰梯形的彩門BADC(如圖)設(shè)計要求彩門的面積為S(單位:m2),高為h(單位:m)(S,h為常數(shù))彩門的下底BC固定在廣場底面上,上底和兩腰由不銹鋼支架構(gòu)成,設(shè)腰和下底的夾角為,不銹鋼支架的長度和記為l.(1)請將l表示成關(guān)于的函數(shù)lf();(2)問當(dāng)為何值時l最小,并求最小值解(1)過D作DHBC于點H,如圖所示則DCB,DHh,則DC,CH.設(shè)ADx,BCx.因為Sh,則x,則lf()2DCADh.(2)由(1)可知,lf()h,則f()hh,令f()h0,得.f()0f()極小值所以lminfh.1某學(xué)校有長度為14 m 的舊墻一面,現(xiàn)準(zhǔn)備利用這面舊墻建造平面圖形為矩形、面積為126 m2的活動室,工程條件是:建1 m新墻的費用為a元;修1 m舊墻的費用是元; 拆去1 m舊墻所得的材料,建1 m新墻的費用為元,經(jīng)過討論有兩種方案:(1)利用舊墻的一段x m(0x14)為矩形廠房的一面邊長;(2)矩形活動室利用舊墻的一面邊長為x14.問如何利用舊墻,即x為多少時建墻的費用最???(1)(2)兩種方案,哪種方案最好?解設(shè)利用舊墻的一面邊長為x m,則矩形另一邊長為 m.(1)當(dāng)0x14時,總費用f(x)x(14x)a7a35a,當(dāng)且僅當(dāng)x12時取最小值35a.(2)當(dāng)x14時,總費用f(x)14a2a,則f(x)2a0,故f(x)在14,)上單調(diào)遞增,所以當(dāng)x14時取最小值35.5a.答第(1)種方案最省,即當(dāng)x12 m時,總費用最省,為35a元2某油庫的容量為31萬噸,年初儲油量為10萬噸,從年初起計劃每月月初先購進(jìn)石油m萬噸,然后再調(diào)出一部分石油來滿足區(qū)域內(nèi)和區(qū)域外的需求若區(qū)域內(nèi)每月用石油1萬噸,區(qū)域外前x個月的需求量y(萬噸)與x的函數(shù)關(guān)系為y5(p0,1x10,xN*)已知前4個月區(qū)域外的需求量為15萬噸(1)試寫出第x個月石油調(diào)出后,油庫內(nèi)儲油量M(x)(萬噸)的函數(shù)表達(dá)式;(2)要使油庫中的石油在前10個月內(nèi)任何時候都不超出油庫的容量,又能滿足區(qū)域內(nèi)和區(qū)域外的需求,求m的取值范圍解(1)因為前4個月區(qū)域外的需求量為15萬噸,所以155,則p25,y55(1x10,xN*)M(x)10mxx(55)mxx55(1x10,xN*)(2)因為第x個月的月初購進(jìn)石油后,儲油量不能多于31萬噸,所以M(x1)m31,即10mx(x1)(55)31,則mxx525,此式對一切1x10(xN*)恒成立,令t,則m1(t,k0,1,9)恒成立,令ut5,m1(u5,k0,1,9)恒成立,因為u10在u8時取得最大值,所以1的最小值為5,則m5.另一方面,第x個月調(diào)出石油后,儲油量不能少于0萬噸,所以M(x)0,即mxx550.即m1,此式對一切1x10(xN*)恒成立,所以m52,此式對一切1x10(xN*)恒成立,則m(x4時取等號)綜上所述,m5答每月購進(jìn)石油m的取值范圍是.A組專題通關(guān)1某公司生產(chǎn)的A種產(chǎn)品,它的成本是2元,售價是3元,年銷售量為100萬件為獲得更好的效益,公司準(zhǔn)備拿出一定的資金做廣告根據(jù)經(jīng)驗,每年投入的廣告費是x(單位:十萬元)時,產(chǎn)品的年銷售量將是原銷售量的y倍,且y是x的二次函數(shù),它們的關(guān)系如下表x(十萬元)012y11.51.8(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;(2)如果把利潤看作是銷售總額減去成本費和廣告費,試寫出年利潤S(十萬元)與廣告費x(十萬元)的函數(shù)關(guān)系式;(3)如果投入的年廣告費為x,x10,30萬元,問廣告費在什么范圍內(nèi),公司獲得的年利潤隨廣告費的增大而增大?解(1)設(shè)二次函數(shù)的解析式為yax2bxc(a0)由關(guān)系表,得解得函數(shù)的解析式為yx2x1(x0)(2)根據(jù)題意,得S10y(32)xx25x10(x0)(3)Sx25x102,1x3,當(dāng)1x2.5時,S隨x的增大而增大故當(dāng)年廣告費為1025萬元之間,公司獲得的年利潤隨廣告費的增大而增大2在一張足夠大的紙板上截取一個面積為3 600平方厘米的矩形紙板ABCD,然后在矩形紙板的四個角上切去邊長相等的小正方形,再把它的邊沿虛線折起,做成一個無蓋的長方體紙盒(如圖)設(shè)小正方形邊長為x厘米,矩形紙板的兩邊AB,BC的長分別為a厘米和b厘米,其中ab.(1)當(dāng)a90時,求紙盒側(cè)面積的最大值;(2)試確定a,b,x的值,使得紙盒的體積最大,并求出最大值解(1)因為矩形紙板ABCD的面積為3 600平方厘米,故當(dāng)a90時,b40,從而包裝盒子的側(cè)面積S2x(902x)2x(402x)8x2260x,x(0,20) .因為S8x2260x82,故當(dāng)x 時,側(cè)面積最大,最大值為平方厘米(2)包裝盒子的體積V(a2x)(b2x)xxab2(ab)x4x2,x,b60.Vxab2(ab)x4x2x(ab4x4x2)x(3 600240x4x2)4x3240x23 600x.當(dāng)且僅當(dāng)ab60時等號成立設(shè)f (x)4x3240x23 600x,x(0,30)則f(x)12(x10)(x30)于是當(dāng)0x10時,f(x)0,所以f (x)在(0,10)上單調(diào)遞增;當(dāng)10x30時,f(x)0,所以f (x)在(10,30)上單調(diào)遞減因此當(dāng)x10時,f(x)有最大值f(10)16 000,此時ab60,x10.所以當(dāng)ab60,x10時紙盒的體積最大,最大值為16 000立方厘米3(2018蘇州模擬)某“T” 型水渠南北向?qū)挒? m,東西向?qū)挒?m,其俯視圖如圖所示假設(shè)水渠內(nèi)的水面始終保持水平位置(1)過點A的一條直線與水渠的內(nèi)壁交于P,Q兩點,且與水渠的一邊的夾角為(為銳角),將線段PQ的長度l表示為的函數(shù);(2)若從南面漂來一根長度為7 m的筆直的竹竿(粗細(xì)不計),竹竿始終浮于水平面內(nèi),且不發(fā)生形變,問:這根竹竿能否從拐角處一直漂向東西向的水渠(不會卡住)?試說明理由解(1)由題意得,PA,QA,所以lPAQA.(2)設(shè)f(),由f(),令f()0,得tan 0.且當(dāng)(0,0)時,f0,所以f在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以當(dāng)0時,f取得極小值,即為最小值當(dāng)tan 0時,sin 0,cos 0,所以f的最小值為3,即這根竹竿能通過拐角處的長度的最大值為3 m.因為37,所以這根竹竿能從拐角處一直漂向東西向的水渠答竹竿能從拐角處一直漂向東西向的水渠4(2018江蘇啟東中學(xué)月考)園林管理處擬在公園某區(qū)域規(guī)劃建設(shè)一半徑為r米,圓心角為(弧度)的扇形觀景水池,其中, O為扇形AOB的圓心,同時緊貼水池周邊(即 OA,OB和所對的圓弧)建設(shè)一圈理想的無寬度步道要求總預(yù)算費用不超過24萬元,水池造價為每平方米400元,步道造價為每米1 000元(1)若總費用恰好為24萬元,則當(dāng)r和分別為多少時,可使得水池面積最大,并求出最大面積;(2)若要求步道長為105米,則可設(shè)計出的水池最大面積是多少?解(1)弧長AB為r,扇形AOB面積為Sr2, 則400r21 000240 000.即r251 200.所以.Sr2r2650565052400.當(dāng)且僅當(dāng)r5,即r20時取等號,此時2.答r20, 2,面積最大值為400平方米(2) 由r2r105,得出,Sr2r,所以所以所以45r.Sr2r, r,所以當(dāng)r45, 時,水池的最大面積為337.5平方米答 r的取值范圍為,且當(dāng)r45, 時,水池的最大面積為337.5平方米B組能力提高5(2018南通模擬)如圖,某機(jī)械廠欲從AB2米,AD2米的矩形鐵皮中裁剪出一個四邊形ABEF加工成某儀器的零件,裁剪要求如下:點E,F(xiàn)分別在邊BC,AD上,且EBEF,AFBE.設(shè)BEF,四邊形ABEF的面積為f()(單位:平方米)(1)求f()關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式,求出定義域;(2)當(dāng)BE,AF的長為何值時,裁剪出的四邊形ABEF的面積最小,并求出最小值解(1)過點F作FMBE,垂足為M.在RtFME中,MF2,EMF,F(xiàn)EM,所以EF,ME,故AFBMEFEM,所以f()(AFBE)AB2.根據(jù)題意得,AFBE,所以0),記APB,CPD,則tan ,tan ,由tan()tan 451,化簡得 7t2125t3000,解得t20或t(舍去), 所以ACAPPC2520500.答兩索塔之間的距離AC為500米(2)設(shè)APx,點P處的承重強(qiáng)度之和為L(x)則L(x)60,且x(0,500),即L(x)60ab,x(0,500),記l(x),x(0,500),則l(x),令l(x)0,解得x250,當(dāng)x(0,250),l(x)0時,l(x)單調(diào)遞增所以當(dāng)x250時,l(x)取到最小值,L(x)也取到最小值.答兩索塔對橋面AC中點處的“承重強(qiáng)度”之和最小,且最小值為.7(2018江蘇姜堰、溧陽、前黃中學(xué)聯(lián)考)科學(xué)研究證實,二氧化碳等溫室氣體的排放(簡稱碳排放)對全球氣候和生態(tài)環(huán)境產(chǎn)生了負(fù)面影響,環(huán)境部門對A市每年的碳排放總量規(guī)定不能超過550萬噸,否則將采取緊急限排措施已知A市2017年的碳排放總量為400萬噸,通過技術(shù)改造和倡導(dǎo)低碳生活等措施,此后每年的碳排放量比上一年的碳排放總量減少10%.同時,因經(jīng)濟(jì)發(fā)展和人口增加等因素,每年又新增加碳排放量m萬噸.(1)求A市2019年的碳排放總量(用含m的式子表示);(2)若A市永遠(yuǎn)不需要采取緊急限排措施,求m的取值范圍解設(shè)2018年的碳排放總量為a1,2019年的碳排放總量為a2,(1)由已知得, a14000.9m,a20.9m4000.920.9mm3241.9m. (2)a30.9m 4000.930.92m0.9mm,an4000.9n0.9n1m0.9n2m0.9mm4000.9nm4000.9n10m0.9n10m.由已知有nN*,an550.當(dāng)40010m0,即m40時,顯然滿足題意;當(dāng)40010m0,即m40時,由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得0.910m550,解得m190.綜合得m40;當(dāng)40010m40時,由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得10m550,解得m55,綜合得40m55.綜上可得所求范圍是m.- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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