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7.概率與統(tǒng)計(jì) 1．隨機(jī)抽樣方法 簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣的共同點(diǎn)是抽樣過程中每個(gè)個(gè)體被抽取的機(jī)會(huì)相等，且是不放回抽樣． [問題1]　某社區(qū)現(xiàn)有480個(gè)住戶，其中中等收入家庭200戶、低收入家庭160戶，其他為高收入家庭．在建設(shè)幸福社區(qū)的某次分層抽樣調(diào)查中，高收入家庭被抽取了6戶，則該社區(qū)本次抽取的總戶數(shù)為________． 答案　24 解析　設(shè)本次抽取的總戶數(shù)為x，由抽樣比例可知，＝，則x＝24. 2．對(duì)于統(tǒng)計(jì)圖表問題，求解時(shí)，最重要的就是認(rèn)真觀察圖表，從中提取有用信息和數(shù)據(jù)．對(duì)于頻率分布直方圖，應(yīng)注意的是圖中的每一個(gè)小矩形的面積是數(shù)據(jù)落在該區(qū)間上的頻率．莖葉圖沒有原始數(shù)據(jù)信息的損失，但數(shù)據(jù)很大或有多組數(shù)據(jù)時(shí)，莖葉圖就不那么直觀、清晰了． [問題2]　某中學(xué)高三年級(jí)從甲、乙兩個(gè)班級(jí)各選出7名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，他們?nèi)〉玫某煽?jī)(滿分100分)的莖葉圖如圖所示，其中甲班學(xué)生的平均分是85，乙班學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)是83，則x＋y的值為________. 答案　8 解析　依題意，甲班學(xué)生的平均分為 85＝，故x＝5. 乙班學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)為83， 故其成績(jī)?yōu)?6,81,81,83,91,91,96， 所以y＝3，x＋y＝8. 3．在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積相等，由此可以估計(jì)中位數(shù)的值．平均數(shù)的估計(jì)值等于頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的面積乘小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和，眾數(shù)是最高矩形的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)． [問題3]　某公司為了解用戶對(duì)其產(chǎn)品的滿意度，隨機(jī)調(diào)查了40個(gè)用戶，根據(jù)用戶滿意度的評(píng)分制成頻率分布直方圖(如下)，則該地區(qū)滿意度評(píng)分的平均值為________． 答案　77.5 解析　由直方圖估計(jì)評(píng)分的平均值為550.05＋650.2＋750.35＋850.25＋950.15＝77.5. 4．互斥事件的概率公式P(A＋B)＝P(A)＋P(B) (1)公式適合范圍：事件A與B互斥． (2)P()＝1－P(A)． [問題4]　拋擲一枚骰子，觀察擲出的點(diǎn)數(shù)，設(shè)事件A為出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)，事件B為出現(xiàn)2點(diǎn)，已知P(A)＝，P(B)＝，則出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)或2點(diǎn)的概率之和為________． 答案　 5．古典概型 P(A)＝(其中，n為一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果總數(shù)，m為事件A在試驗(yàn)中包含的基本事件個(gè)數(shù))． [問題5]　袋中共有6個(gè)除了顏色外完全相同的球，其中有1個(gè)紅球、2個(gè)白球和3個(gè)黑球．從袋中任取兩球，兩球顏色為一白一黑的概率為________． 答案　 解析　設(shè)袋中1個(gè)紅球用a表示，2個(gè)白球分別用b1，b2表示，3個(gè)黑球分別用c1，c2，c3表示，則從袋中任取兩球所含基本事件為(a，b1)，(a，b2)，(a，c1)，(a，c2)，(a，c3)，(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，(c1，c2)，(c1，c3)，(c2，c3)，共15個(gè)． 兩球顏色為一白一黑的基本事件為(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，共6個(gè)． ∴其概率為＝. 6．幾何概型 一般地，在幾何區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn)，記事件“該點(diǎn)在其內(nèi)部一個(gè)區(qū)域d內(nèi)”為事件A，則事件A發(fā)生的概率為P(A)＝.此處D的測(cè)度不為0，其中“測(cè)度”的意義依D確定，當(dāng)D分別是線段、平面圖形和立體圖形時(shí)，相應(yīng)的測(cè)度分別為長(zhǎng)度、面積和體積等． 即P(A)＝. [問題6]　在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)O為底面ABCD的中心，在正方體ABCD－A1B1C1D1內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為________． 答案　1－ 解析　記“點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1”為事件A， P(A)＝＝1－. 易錯(cuò)點(diǎn)1　抽樣方法理解不準(zhǔn) 例1　一個(gè)總體中100個(gè)個(gè)體的編號(hào)為0,1,2,3，…，99，并依次將其分為10個(gè)小組，組號(hào)為0,1,2，…，9.要用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個(gè)容量為10的樣本，規(guī)定如果第0組(號(hào)碼0～9)隨機(jī)抽取的號(hào)碼為l，那么依次錯(cuò)位地抽取后面各組的號(hào)碼，即第k組中抽取的號(hào)碼的個(gè)位數(shù)為l＋k或l＋k－10(如果l＋k≥10)．若l＝6，則所抽取的第5組的號(hào)碼是________． 易錯(cuò)分析　本題易錯(cuò)點(diǎn)有兩個(gè)：一是忽視題中對(duì)組號(hào)的描述，誤以為第一個(gè)號(hào)碼6為第一組的號(hào)碼導(dǎo)致錯(cuò)誤；二是忽視系統(tǒng)抽樣號(hào)碼抽樣法則的制定，誤以為組距為10，所以每組抽取號(hào)碼的個(gè)位數(shù)都為6.所以解決此類問題，一定要根據(jù)題中的條件準(zhǔn)確進(jìn)行編號(hào)與抽樣． 解析　由題意，第0組抽取的號(hào)碼為6，則第一組抽取的號(hào)碼的個(gè)位數(shù)為6＋1＝7，所以選17. 因?yàn)?＋1＝8，第二組抽取號(hào)碼的個(gè)位數(shù)為8，故選28. 因?yàn)?＋1＝9，第三組抽取號(hào)碼的個(gè)位數(shù)為9，故選39. 因?yàn)?＋1＝10≥10,9＋1－10＝0，第四組抽取號(hào)碼的個(gè)位數(shù)為0，故選40. 因?yàn)?＋1＝1，第五組抽取號(hào)碼的個(gè)位數(shù)為1，故選51. 答案　51 易錯(cuò)點(diǎn)2　誤解基本事件的等可能性 例2　若將一枚質(zhì)地均勻的骰子(一種各面上分別標(biāo)有1,2,3,4,5,6個(gè)點(diǎn)的正方體玩具)先后拋擲2次，則出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)之和為4的概率為________． 易錯(cuò)分析　解本題時(shí)易出現(xiàn)的錯(cuò)誤在于對(duì)等可能性事件的概率中“基本事件”以及“等可能性”等概念的理解不深刻，錯(cuò)誤地認(rèn)為基本事件總數(shù)為11(點(diǎn)數(shù)和等于2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12)，或者將點(diǎn)數(shù)和為4的事件錯(cuò)誤地計(jì)算為(1,3)(2,2)兩種，從而導(dǎo)致出錯(cuò)． 解析　將先后擲2次出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)記作點(diǎn)坐標(biāo)(x，y)，則共可得點(diǎn)坐標(biāo)的個(gè)數(shù)為66＝36，而向上點(diǎn)數(shù)之和為4的點(diǎn)坐標(biāo)有(1,3)，(2,2)，(3,1)，共3個(gè)，故先后擲2次，出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)之和為4的概率P＝＝. 答案　 易錯(cuò)點(diǎn)3　幾何概型中“測(cè)度”確定不準(zhǔn) 例3　在等腰直角三角形ABC中，直角頂點(diǎn)為C. (1)在斜邊AB上任取一點(diǎn)M，求AM90， 解得x>8?x＝9，所以所求概率為. 6．某中學(xué)部分學(xué)生參加高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽，指導(dǎo)老師統(tǒng)計(jì)了本校所有參賽學(xué)生的成績(jī)(成績(jī)均為整數(shù)，滿分120分)，并且按[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100)，[100,110)，[110,120]繪制了如圖所示的頻數(shù)分布圖，如果不低于90分則獲獎(jiǎng)，那么該校參賽學(xué)生的獲獎(jiǎng)率為________． 答案　43.75% 解析　由題意知，參賽人數(shù)為4＋6＋8＋7＋5＋2＝32，獲獎(jiǎng)人數(shù)為7＋5＋2＝14，所以該校參賽學(xué)生的獲獎(jiǎng)率為＝43.75%. 7．一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)都減去80，得一組新數(shù)據(jù)，若求得新數(shù)據(jù)的平均數(shù)是1.2，方差是4.4，則原來數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別是________． 答案　81.2,4.4 解析　設(shè)這組數(shù)據(jù)為x1，x2，…，xn，都減去80后，得到新數(shù)據(jù)為，…，，則＝1.2， 所以＝＝1.2＋80＝81.2. 因?yàn)榉讲钍强坍嫈?shù)據(jù)離散程度的， 所以各數(shù)據(jù)減去(或加上)同一個(gè)數(shù)后，方差的大小不變． 8．袋中有形狀、大小都相同的5只球，其中3只白球，2只黃球，從中一次隨機(jī)摸出2只球，則這2只球顏色不同的概率為________． 答案　 解析　方法一　從5只球中一次隨機(jī)摸出2只球，有10種取法，摸出2只顏色不同球的情況有23＝6(種)，故其概率為＝. 方法二　從5只球中一次隨機(jī)摸出2只球，有10種取法，摸出2只顏色相同的情況有3＋1＝4(種)，故摸出2只顏色不同的球的概率為1－＝. 9．設(shè)復(fù)數(shù)z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，則y≥x的概率為________． 答案?。? 解析　由|z|≤1，可得(x－1)2＋y2≤1，表示以(1,0)為圓心，半徑為1的圓及其內(nèi)部，滿足y≥x的部分為如圖陰影所示，由幾何概型概率公式，可得所求概率為 P＝＝＝－. 10．在發(fā)生某公共衛(wèi)生事件期間，有專業(yè)機(jī)構(gòu)認(rèn)為該事件在一段時(shí)間沒有發(fā)生大規(guī)模群體感染的標(biāo)志為“連續(xù)10天，每天新增疑似病例不超過7人”．根據(jù)過去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例數(shù)據(jù)，一定符合該標(biāo)志的是________．(填序號(hào)) ①甲地：總體均值為3，中位數(shù)為4； ②乙地：總體均值為1，總體方差大于0； ③丙地：中位數(shù)為2，眾數(shù)為3； ④丁地：總體均值為2，總體方差為3. 答案?、? 解析　根據(jù)信息可知，連續(xù)10天內(nèi)，每天的新增疑似病例不能有超過7的數(shù)，①中，中位數(shù)為4，可能存在大于7的數(shù)；同理，在③中也有可能；②中的總體方差大于0，敘述不明確，如果數(shù)目太大，也有可能存在大于7的數(shù)；④中，根據(jù)方差公式，如果有大于7的數(shù)存在，那么方差不會(huì)為3，故填④.