2019屆高考數(shù)學二輪復習 專題六 第2講 選修4-5 不等式選講學案.docx
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第2講選修4-5 不等式選講考向預測本部分主要考查絕對值不等式的解法求含絕對值的函數(shù)的最值及求含參數(shù)的絕對值不等式中的參數(shù)的取值范圍,不等式的證明等,結合集合的運算、函數(shù)的圖象和性質、恒成立問題及基本不等式,絕對值不等式的應用成為命題的熱點,主要考查基本運算能力與推理論證能力及數(shù)形結合思想、分類討論思想1絕對值不等式的性質定理1:如果a,b是實數(shù),則|ab|a|b|,當且僅當ab0時,等號成立定理2:如果a,b,c是實數(shù),那么|ac|ab|bc|,當且僅當(ab)(bc)0時,等號成立2|axb|c,|axb|c(c0)型不等式的解法(1)|axb|ccaxbc(2)|axb|caxbc或axbc3|xa|xb|c,|xa|xb|c(c0)型不等式的解法(1)利用絕對值不等式的幾何意義直觀求解(2)利用零點分段法求解(3)構造函數(shù),利用函數(shù)的圖象求解4基本不等式定理1:設a,bR,則a2b22ab當且僅當ab時,等號成立定理2:如果a,b為正數(shù),則,當且僅當ab時,等號成立定理3:如果a,b,c為正數(shù),則,當且僅當abc時,等號成立定理4:(一般形式的算術幾何平均不等式)如果a1,a2,an為n個正數(shù),則,當且僅當a1a2an時,等號成立熱點一絕對值不等式的解法與最值問題【例1】(2019肇慶一模)已知函數(shù)(1)當時,求不等式的解集;(2)若,求實數(shù)的取值范圍解(1)不等式,即.可得,或或,解得,所以不等式的解集為.(2),當且僅當時,兩處等號同時成立,所以,解得或,實數(shù)a的取值范圍是探究提高1解絕對值不等式的關鍵是去絕對值符號,常用的零點分段法的一般步驟:求零點;劃分區(qū)間,去絕對值符號;分段解不等式;求各段的并集此外,還常用絕對值的幾何意義,結合數(shù)軸直觀求解2不等式恒成立問題,存在性問題都可以轉化為最值問題解決【訓練1】(2017鄭州三模)已知不等式|xm|x|的解集為(1,)(1)求實數(shù)m的值;(2)若不等式對x(0,)恒成立,求實數(shù)a的取值范圍解(1)由|xm|x|,得|xm|2m2,又不等式|xm|x|的解集為(1,),則1是方程2mxm2的解,解得m2(m0舍去)(2)m2,不等式對x(0,)恒成立等價于不等式a5|x1|x2|a2對x(0,)恒成立設f(x)|x1|x2|,當0x2時,f(x)在(0,2)上是增函數(shù),1f(x)3,當x2時,f(x)3因此函數(shù)f(x)的值域為(1,3從而原不等式等價于解得1cd,則;(2)是|ab|,只需證明()2()2,也就是證明ab2cd2,只需證明,即證abcd由于abcd,因此(2)若|ab|cd|,則(ab)2(cd)2,即(ab)24abcd由(1)得若,則()2()2,ab2cd2abcd,所以abcd于是(ab)2(ab)24ab(cd)24cd(cd)2因此|ab|是|ab|cd|的充要條件1(2018全國I卷)已知(1)當時,求不等式的解集;(2)若時不等式成立,求的取值范圍2(2018全國II卷)設函數(shù)(1)當時,求不等式的解集;(2)若,求的取值范圍1(2016全國卷)已知函數(shù)f(x),M為不等式f(x)2的解集(1)求M;(2)證明:當a,bM時,|ab|0;(2)若x0R,使得f(x0)2m2L(A,C),求x的取值范圍;(2)當xR時,不等式L(A,B)tL(A,C)恒成立,求t的最小值2(2018福建聯(lián)考)已知不等式的解集為()求的值;()若,求證:參考答案1【解題思路】(1)將代入函數(shù)解析式,求得,利用零點分段將解析式化為,然后利用分段函數(shù),分情況討論求得不等式的解集為;(2)根據(jù)題中所給的,其中一個絕對值符號可以去掉,不等式可以化為時,分情況討論即可求得結果.【答案】(1)當時,的解集為(2)當時成立等價于當時成立若,則當時;若,的解集為,所以,故綜上所述,的取值范圍為2【解題思路】(1)先根據(jù)絕對值幾何意義將不等式化為三個不等式組,分別求解,最后求并集,(2)先化簡不等式為,再根據(jù)絕對值三角不等式得最小值,最后解不等式得的取值范圍【答案】(1)當時,可得的解集為(2)等價于,而,且當時等號成立,故等價于,由可得或,所以的取值范圍是點睛:含絕對值不等式的解法有兩個基本方法,一是運用零點分區(qū)間討論,二是利用絕對值的幾何意義求解法一是運用分類討論思想,法二是運用數(shù)形結合思想,將絕對值不等式與函數(shù)以及不等式恒成立交匯、滲透,解題時強化函數(shù)、數(shù)形結合與轉化化歸思想方法的靈活應用,這是命題的新動向1【解題思路】(1)零點分段討論法得出f(x)的解析式,再分類討論求解f(x)2(2)平方后利用作差比較法【答案】(1)解f(x)當x時,由f(x)2得2x1,所以1x;當x時,f(x)2恒成立當x時,由f(x)2得2x2,解得x1,所以x1所以f(x)2的解集Mx|1x1(2)證明由(1)知,當a,bM時,1a1,1b1,從而(ab)2(1ab)2a2b2a2b21(a21)(1b2)0,所以(ab)2(1ab)2,因此|ab|0 (2) 存在性問題轉化為求最值問題【答案】解(1)當x0,解得x3,從而x0,解得x,又2x,2x時,f(x)2x1x2x3,令x30,解得x3又x,x3綜上,不等式f(x)0的解集為(3,)(2)由(1)得f(x),f(x)minf x0R,使得f(x0)2m2,整理得4m28m50,解得mL(A,C),進一步解出x的范圍(2)由定義得出L(A,B)tL(A,C),再利用絕對值三角不等式求解即可【答案】解(1)由定義得|x1|1|x5|1,則|x1|x5|,兩邊平方得8x24,解得x3故x的取值范圍為(3,)(2)當xR時,不等式|x1|x5|t恒成立,也就是t|x1|x5|恒成立,因為|x1|x5|(x1)(x5)|4,所以t4,所以tmin4故t的最小值為42【解題思路】(1)根據(jù),進行分類討論,求出不等式的解集,由此能求出(2)由,知,由此利用作商法和基本不等式的性質能證明【答案】()原不等式等價于或或,解得或,即,.()由()知,即,且,當且僅當,時取“”,- 配套講稿:
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