(浙江專版)2018-2019高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 2.1 曲線與方程學(xué)案 新人教A版選修2-1.doc
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2.1曲線與方程學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解曲線上的點(diǎn)與方程的解之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.2.理解方程的曲線和曲線的方程的概念.3.了解用坐標(biāo)法研究幾何問(wèn)題的常用思路與方法.4.掌握根據(jù)已知條件求曲線方程的方法知識(shí)點(diǎn)一曲線的方程和方程的曲線的概念在直角坐標(biāo)系中,如果某曲線C(看作點(diǎn)的集合或適合某種條件的點(diǎn)的軌跡)上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程f(x,y)0的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)系:(1)曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解;(2)以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn),那么,這個(gè)方程叫做曲線的方程;這條曲線叫做方程的曲線知識(shí)點(diǎn)二坐標(biāo)法思想及求曲線方程的步驟思考曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程f(x,y)0的解,能否說(shuō)f(x,y)0是曲線C的方程?試舉例說(shuō)明答案不能還要驗(yàn)證以方程f(x,y)0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)是否都在曲線上例如曲線C為“以原點(diǎn)為圓心,以2為半徑的圓的上半部分”與方程“x2y24”,曲線上的點(diǎn)都滿足方程,但曲線的方程不是x2y24.梳理(1)曲線的方程和方程的曲線是兩個(gè)不同的概念,是從不同角度出發(fā)的兩種說(shuō)法曲線C的點(diǎn)集和方程f(x,y)0的解集之間是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系,曲線的性質(zhì)可以反映在它的方程上,方程的性質(zhì)又可以反映在曲線上定義中的條件說(shuō)明曲線上的所有點(diǎn)都適合這個(gè)方程;條件說(shuō)明適合方程的點(diǎn)都在曲線上而毫無(wú)遺漏(2)曲線的方程和方程的曲線有著緊密的關(guān)系,通過(guò)曲線上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)對(duì)(x,y)建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系,使方程成為曲線的代數(shù)表示,通過(guò)研究方程的性質(zhì)可間接地研究曲線的性質(zhì)(3)求曲線的方程的步驟如果曲線l上的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程F(x,y)0,則(1)曲線l的方程是F(x,y)0.()(2)方程F(x,y)0的曲線是l.()(3)坐標(biāo)不滿足方程F(x,y)0的點(diǎn)不在曲線l上()(4)坐標(biāo)滿足方程F(x,y)0的點(diǎn)在曲線l上()類型一曲線的方程與方程的曲線解讀例1(1)設(shè)方程f(x,y)0的解集非空,若命題“坐標(biāo)滿足方程f(x,y)0的點(diǎn)都在曲線C上”是假命題,則下列命題為真命題的是()A坐標(biāo)滿足f(x,y)0的點(diǎn)都不在曲線C上B曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足f(x,y)0C坐標(biāo)滿足f(x,y)0的點(diǎn)有些在曲線C上,有些不在曲線C上D一定有不在曲線C上的點(diǎn),其坐標(biāo)滿足f(x,y)0(2)“以方程f(x,y)0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線C上的點(diǎn)”是“曲線C的方程是f(x,y)0”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件考點(diǎn)曲線與方程的概念題點(diǎn)點(diǎn)在曲線上的應(yīng)用答案(1)D(2)B解析(1)命題“坐標(biāo)滿足方程f(x,y)0的點(diǎn)都在曲線C上”為假命題,則命題“坐標(biāo)滿足方程f(x,y)0的點(diǎn)不都在曲線C上”是真命題故選D.(2)由曲線C的方程是f(x,y)0,得以方程f(x,y)0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線C上的點(diǎn),但反過(guò)來(lái)不成立,故選B.反思與感悟(1)曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解,即直觀地說(shuō)“點(diǎn)不比解多”稱為純粹性(2)以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上,即直觀地說(shuō)“解不比點(diǎn)多”,稱為完備性,只有點(diǎn)和解一一對(duì)應(yīng),才能說(shuō)曲線是方程的曲線,方程是曲線的方程跟蹤訓(xùn)練1分析下列曲線上的點(diǎn)與相應(yīng)方程的關(guān)系:(1)過(guò)點(diǎn)A(2,0)平行于y軸的直線與方程|x|2之間的關(guān)系;(2)與兩坐標(biāo)軸的距離的積等于5的點(diǎn)與方程xy5之間的關(guān)系;(3)第二、四象限兩坐標(biāo)軸夾角平分線上的點(diǎn)與方程xy0之間的關(guān)系考點(diǎn)曲線與方程的概念題點(diǎn)點(diǎn)在曲線上的應(yīng)用解(1)過(guò)點(diǎn)A(2,0)平行于y軸的直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程|x|2的解,但以方程|x|2的解為坐標(biāo)的點(diǎn)不都在過(guò)點(diǎn)A(2,0)且平行于y軸的直線上因此,|x|2不是過(guò)點(diǎn)A(2,0)平行于y軸的直線的方程(2)與兩坐標(biāo)軸的距離的積等于5的點(diǎn)的坐標(biāo)不一定滿足方程xy5,但以方程xy5的解為坐標(biāo)的點(diǎn)與兩坐標(biāo)軸的距離之積一定等于5.因此,與兩坐標(biāo)軸的距離的積等于5的點(diǎn)的軌跡方程不是xy5.(3)第二、四象限兩坐標(biāo)軸夾角平分線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足xy0;反之,以方程xy0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在第二、四象限兩坐標(biāo)軸夾角的平分線上因此,第二、四象限兩坐標(biāo)軸夾角平分線上的點(diǎn)的軌跡方程是xy0.類型二曲線與方程的應(yīng)用例2已知方程x2(y1)210.(1)判斷點(diǎn)P(1,2),Q(,3)是否在上述方程表示的曲線上;(2)若點(diǎn)M在上述方程表示的曲線上,求m的值考點(diǎn)曲線與方程的概念題點(diǎn)點(diǎn)在曲線上的應(yīng)用解(1)12(21)210,()2(31)2610,點(diǎn)P(1,2)在方程x2(y1)210表示的曲線上,點(diǎn)Q(,3)不在方程x2(y1)210表示的曲線上(2)點(diǎn)M在方程x2(y1)210表示的曲線上,2(m1)210,解得m2或m.引申探究本例中曲線方程不變,若點(diǎn)N(a,2)在圓外,求實(shí)數(shù)a的取值范圍解結(jié)合點(diǎn)與圓的位置關(guān)系,得a2(21)210,即a29,解得a3或a3,故所求實(shí)數(shù)a的取值范圍為(,3)(3,)反思與感悟判斷曲線與方程關(guān)系的問(wèn)題時(shí),可以利用曲線與方程的定義,也可利用互為逆否關(guān)系的命題的真假性一致判斷跟蹤訓(xùn)練2若曲線y2xy2xk0過(guò)點(diǎn)(a,a)(aR),求k的取值范圍考點(diǎn)曲線與方程的概念題點(diǎn)點(diǎn)在曲線上的應(yīng)用解曲線y2xy2xk0過(guò)點(diǎn)(a,a),a2a22ak0,k2a22a22,k,k的取值范圍是.類型三求曲線的方程命題角度1直接法求曲線的方程例3一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P到直線x8的距離是它到點(diǎn)A(2,0)的距離的2倍求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程考點(diǎn)求曲線方程的方法題點(diǎn)直接法求曲線方程解設(shè)P(x,y),則|8x|2|PA|,則|8x|2,化簡(jiǎn),得3x24y248,故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為3x24y248.引申探究若本例中的直線改為“y8”,求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程解設(shè)P(x,y),則P到直線y8的距離d|y8|,又|PA|,故|y8|2,化簡(jiǎn),得4x23y216x16y480.故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為4x23y216x16y480.反思與感悟直接法求動(dòng)點(diǎn)軌跡的關(guān)鍵及方法(1)關(guān)鍵:建立恰當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系;找出所求動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件(2)方法:求曲線的方程遵循求曲線方程的五個(gè)步驟,在實(shí)際求解時(shí)可簡(jiǎn)化為三大步驟:建系、設(shè)點(diǎn);根據(jù)動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件列方程;對(duì)所求的方程化簡(jiǎn)、說(shuō)明特別提醒:直接法求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的突破點(diǎn)是將幾何條件代數(shù)化跟蹤訓(xùn)練3已知兩點(diǎn)M(1,0),N(1,0),且點(diǎn)P使,成公差小于零的等差數(shù)列,求點(diǎn)P的軌跡方程考點(diǎn)求曲線方程的方法題點(diǎn)直接法求曲線方程解設(shè)點(diǎn)P(x,y),由M(1,0),N(1,0),得(1x,y),(1x,y),(2,0)2(x1),x2y21,2(1x)于是,成公差小于零的等差數(shù)列等價(jià)于即點(diǎn)P的軌跡方程為x2y23(x0)命題角度2相關(guān)點(diǎn)法求曲線的方程例4動(dòng)點(diǎn)M在曲線x2y21上移動(dòng),M和定點(diǎn)B(3,0)連線的中點(diǎn)為P,求P點(diǎn)的軌跡方程考點(diǎn)求曲線方程的方法題點(diǎn)相關(guān)點(diǎn)法求曲線方程解設(shè)P(x,y),M(x0,y0),因?yàn)镻為MB的中點(diǎn),所以即又因?yàn)镸在曲線x2y21上,所以xy1,所以(2x3)24y21.所以點(diǎn)P的軌跡方程為(2x3)24y21.反思與感悟相關(guān)點(diǎn)法求解軌跡方程的步驟(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P(x,y),相關(guān)動(dòng)點(diǎn)M(x0,y0)(2)利用條件求出兩動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系(3)代入相關(guān)動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程(4)化簡(jiǎn)、整理,得所求軌跡方程跟蹤訓(xùn)練4已知圓C:x2(y3)29.過(guò)原點(diǎn)作圓C的弦OP,求OP的中點(diǎn)Q的軌跡方程考點(diǎn)求曲線方程的方法題點(diǎn)相關(guān)點(diǎn)法求曲線方程解設(shè)P(x1,y1),Q(x,y),由題意,得即又因?yàn)辄c(diǎn)P在圓C上,所以x(y13)29,所以4x2429,即x22(x0).1若命題“曲線C上點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程f(x,y)0的解”是真命題,則下列命題為真命題的是()A方程f(x,y)0所表示的曲線是曲線CB方程f(x,y)0所表示的曲線不一定是曲線CCf(x,y)0是曲線C的方程D以方程f(x,y)0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線C上考點(diǎn)曲線與方程的概念題點(diǎn)點(diǎn)在曲線上的應(yīng)用答案B解析“曲線C上點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程f(x,y)0的解”,但以方程f(x,y)0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)不一定在曲線C上,故A,C,D都為假命題,B為真命題2已知直線l:xy30及曲線C:(x3)2(y2)22,則點(diǎn)M(2,1)()A在直線l上,但不在曲線C上B在直線l上,也在曲線C上C不在直線l上,也不在曲線C上D不在直線l上,但在曲線C上考點(diǎn)曲線與方程的概念題點(diǎn)點(diǎn)在曲線上的應(yīng)用答案B解析將M(2,1)代入直線l和曲線C的方程,由于2130,(23)2(12)22,所以點(diǎn)M既在直線l上又在曲線C上,故選B.3等腰三角形底邊的兩個(gè)頂點(diǎn)分別是B(2,1),C(0,3),則另一個(gè)頂點(diǎn)A的軌跡方程是()Ax2y10(x0) By2x1Cx2y10(y1) Dx2y10(x1)考點(diǎn)求曲線的方程的方法題點(diǎn)直接法求曲線方程答案D解析設(shè)A(x,y),依題意,知|AB|AC|,所以,化簡(jiǎn)得x2y10.又因?yàn)锳,B,C三點(diǎn)不能共線,所以x1,故選D.4到直線4x3y50的距離為1的點(diǎn)的軌跡方程為_(kāi)考點(diǎn)求曲線的方程的方法題點(diǎn)幾何法求曲線方程答案4x3y100和4x3y0解析設(shè)該點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),則1,即|4x3y5|5,所求軌跡方程為4x3y100和4x3y0.5M為直線l:2xy30上的一動(dòng)點(diǎn),A(4,2)為一定點(diǎn),又點(diǎn)P在直線AM上運(yùn)動(dòng),且3,求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程考點(diǎn)求曲線方程的方法題點(diǎn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)移法求曲線方程解設(shè)點(diǎn)M,P的坐標(biāo)分別為M(x0,y0),P(x,y),由題設(shè)及向量共線條件可得所以因?yàn)辄c(diǎn)M(x0,y0)在直線2xy30上,所以230,即8x4y30,從而點(diǎn)P的軌跡方程為8x4y30.1判斷點(diǎn)是否在某個(gè)方程表示的曲線上,就是檢驗(yàn)該點(diǎn)的坐標(biāo)是不是方程的解,是否適合方程若適合方程,就說(shuō)明點(diǎn)在曲線上;若不適合,就說(shuō)明點(diǎn)不在曲線上2已知點(diǎn)在某曲線上,可將點(diǎn)的坐標(biāo)代入曲線的方程,從而可研究有關(guān)參數(shù)的值或范圍問(wèn)題一、選擇題1方程|x|y|xy|1表示的曲線是()A一條直線B一個(gè)正方形C一個(gè)圓D四條直線考點(diǎn)曲線和方程的概念題點(diǎn)由方程研究曲線的對(duì)稱性答案D解析由|x|y|xy|1,得(|x|1)(|y|1)0,即x1或y1,因此該方程表示四條直線2已知02,點(diǎn)P(cos,sin)在曲線(x2)2y23上,則的值為()A.B.C.或D.或考點(diǎn)曲線和方程的概念題點(diǎn)點(diǎn)在曲線上的應(yīng)用答案C解析由(cos2)2sin23,得cos.又因?yàn)?2,所以或.3方程|x|y|0表示的圖形是下圖中的()考點(diǎn)曲線和方程的概念題點(diǎn)由方程研究曲線的對(duì)稱性答案C解析由|x|y|0知,yx,即表示一、三象限角平分線或二、四象限角平分線4已知兩定點(diǎn)A(2,0),B(1,0),若動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|2|PB|,則點(diǎn)P的軌跡所圍成的面積為()A9B8C4D考點(diǎn)曲線與方程的意義題點(diǎn)曲線與方程的綜合應(yīng)用答案C解析設(shè)P(x,y),|PA|2|PB|,(x2)2y24(x1)24y2,(x2)2y24,點(diǎn)P的軌跡為以(2,0)為圓心,以2為半徑的圓,所圍成的面積S224.5在平面直角坐標(biāo)系中,動(dòng)點(diǎn)P(x,y)到兩條坐標(biāo)軸的距離之和等于它到點(diǎn)(1,1)的距離,記點(diǎn)P的軌跡為曲線W,則有下列命題:曲線W關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;曲線W關(guān)于x軸對(duì)稱;曲線W關(guān)于y軸對(duì)稱;曲線W關(guān)于直線yx對(duì)稱其中真命題的個(gè)數(shù)是()A1B2C3D4考點(diǎn)曲線與方程的意義題點(diǎn)曲線與方程的綜合應(yīng)用答案A6過(guò)三點(diǎn)A(1,3),B(4,2),C(1,7)的圓交y軸于M,N兩點(diǎn),則|MN|等于()A2B8C4D10考點(diǎn)求曲線方程的方法題點(diǎn)幾何法求曲線方程答案C解析由已知,得(3,1),(3,9),則3(3)(1)(9)0,所以,即ABBC,故過(guò)三點(diǎn)A,B,C的圓以AC為直徑,得其方程為(x1)2(y2)225,令x0得(y2)224,解得y122,y222,所以|MN|y1y2|4,故選C.7已知兩點(diǎn)A(,0),B(,0),點(diǎn)P為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作y軸的垂線,垂足為Q,且22,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為()Ax2y22By2x22Cx22y21D2x2y21考點(diǎn)求曲線方程的方法題點(diǎn)定義法求曲線方程答案B解析設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(0,y),(x,0),(x,y),(x,y),x22y2.由22,得x22y22x2,所以所求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為y2x22.二、填空題8方程(x1)20表示的是_考點(diǎn)討論方程的曲線類型題點(diǎn)其他類型的曲線與方程答案點(diǎn)(1,2) 解析由(x1)20,知(x1)20且0,即x1且y2,所以(x1)20表示的是點(diǎn)(1,2)9已知點(diǎn)F(1,0),直線l:x1,P為平面上的一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作l的垂線,垂足為Q,且,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程是_考點(diǎn)求曲線方程的方法題點(diǎn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)移法求曲線方程答案y24x(x0)解析設(shè)點(diǎn)P(x,y),則Q(1,y)由,得(x1,0)(2,y)(x1,y)(2,y),所以2(x1)2(x1)y2,化簡(jiǎn)得y24x(x0)10若點(diǎn)A(1,1),B(2,m)都在方程ax2xy20表示的曲線上,則m_.考點(diǎn)曲線與方程的概念題點(diǎn)點(diǎn)在曲線上的應(yīng)用答案1解析A(1,1),B(2,m)都在方程ax2xy20表示的曲線上,11點(diǎn)A(1,2)在曲線x22xyay50上,則a_.考點(diǎn)曲線與方程的概念題點(diǎn)點(diǎn)在曲線上的應(yīng)用答案5解析由題意可知點(diǎn)(1,2)是方程x22xyay50的一組解,即142a50,解得a5.三、解答題12已知A(3,0),B,C兩點(diǎn)分別在y軸和x軸上運(yùn)動(dòng),點(diǎn)P為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn),并且滿足,試求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程考點(diǎn)求曲線方程的方法題點(diǎn)直接法求曲線方程解設(shè)P(x,y),B(0,y),C(x,0),則(x,y),(x,yy),由,得(x,y)(x,yy),即x,yy,B(0,y),又A(3,0),(3,y),(x,2y),由,得0,3x2y20,即動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為y2x.13過(guò)點(diǎn)P(2,4)作兩條互相垂直的直線l1,l2,若l1交x軸于A點(diǎn),l2交y軸于B點(diǎn),求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程考點(diǎn)求曲線方程的方法題點(diǎn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)移法求曲線方程解如圖所示,設(shè)點(diǎn)A(a,0),B(0,b),M(x,y)因?yàn)镸為線段AB的中點(diǎn),所以a2x,b2y,即A(2x,0),B(0,2y)因?yàn)閘1l2,所以kAPkPB1.而kAP(x1),kPB,所以1(x1),整理,得x2y50(x1)因?yàn)楫?dāng)x1時(shí),A,B的坐標(biāo)分別為(2,0),(0,4),所以線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)是(1,2),它滿足方程x2y50.綜上所述,點(diǎn)M的軌跡方程是x2y50.四、探究與拓展14方程1表示的圖形是()A一條直線B兩條平行線段C一個(gè)正方形D一個(gè)正方形(除去四個(gè)頂點(diǎn))考點(diǎn)討論方程的曲線類型題點(diǎn)其他類型的曲線與方程答案D解析由方程可知,方程表示的圖形關(guān)于坐標(biāo)軸和原點(diǎn)對(duì)稱,且x0,y0.當(dāng)x0,y0時(shí),方程可化為xy1,表示第一象限內(nèi)的一條線段(去掉兩端點(diǎn)),因此原方程表示的圖形是一個(gè)正方形(除去四個(gè)頂點(diǎn)),故選D.15已知直角坐標(biāo)平面上點(diǎn)Q(2,0)和圓O:x2y21,M為直角坐標(biāo)平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)M作圓O的切線,切點(diǎn)為N,若|MN|與|MQ|的比值等于常數(shù)(0),求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程,并說(shuō)明它表示什么曲線考點(diǎn)求曲線方程的方法題點(diǎn)直接法求曲線方程解連接ON,OM,易知ONMN,設(shè)M(x,y)圓O的半徑是1,|MN|2|OM|2|ON|2|OM|21.由題意,|MN|MQ|,即,整理得(21)(x2y2)42x(142)0.0,當(dāng)1時(shí),方程化為x,該方程表示一條直線;當(dāng)1時(shí),方程化為2y2,該方程表示以為圓心,以為半徑的圓- 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- 浙江專版2018-2019高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 2.1 曲線與方程學(xué)案 新人教A版選修2-1 浙江 專版 2018 2019 高中數(shù)學(xué) 第二 圓錐曲線 方程 曲線 新人 選修
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