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第一講　等差數列、等比數列 年份 卷別 考查角度及命題位置 命題分析及學科素養(yǎng) 2018 Ⅰ卷 等比數列的判定及通項求法T17 命題分析 (1)高考主要考查兩種基本數列(等差數列、等比數列)、兩種數列求和方法(裂項求和法、錯位相減法)、兩類綜合(與函數綜合、與不等式綜合)，主要突出數學思想的應用． (2)若以解答題形式考查，數列往往與解三角形在17題的位置上交替考查，試題難度中等；若以客觀題考查，難度中等的題目較多，但有時也出現在第12題或16題位置上，難度偏大，復習時應引起關注． 學科素養(yǎng) 主要是通過等差數列、等比數列的判定與證明及基本運算考查邏輯推理與數學運算兩大核心素養(yǎng). Ⅲ卷 等比數列的基本運算及應用T17 2017 Ⅰ卷 等差、等比數列的綜合應用T17 等差數列、等比數列的基本運算 授課提示：對應學生用書第28頁 [悟通——方法結論] 　兩組求和公式 (1)等差數列：Sn＝＝na1＋d； (2)等比數列：Sn＝＝(q≠1)． [全練——快速解答] 1．(2018高考全國卷Ⅰ)記Sn為等差數列{an}的前n項和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，則a5＝(　　) A．－12　 B．－10 C．10 D．12 解析：設等差數列{an}的公差為d，由3S3＝S2＋S4， 得3＝2a1＋d＋4a1＋d，將a1＝2代入上式，解得d＝－3， 故a5＝a1＋(5－1)d＝2＋4(－3)＝－10. 故選B. 答案：B 2．(2017高考全國卷Ⅲ)等差數列{an}的首項為1，公差不為0.若a2，a3，a6成等比數列，則{an}前6項的和為(　　) A．－24　　 B．－3 C．3 D．8 解析：設等差數列{an}的公差為d，因為a2，a3，a6成等比數列，所以a2a6＝a，即(a1＋d)(a1＋5d)＝(a1＋2d)2，又a1＝1，所以d2＋2d＝0，又d≠0，則d＝－2，所以a6＝a1＋5d＝－9，所以{an}前6項的和S6＝6＝－24，故選A. 答案：A 3．(2018天津模擬)已知等比數列{an}的前n項和為Sn，且8a2a4＝a3a6，則＝________. 解析：由8a2a4＝a3a6可得8a＝a3a6，故a6＝8a3，設公比為q，則q3＝8，q＝2，故＝＝. 答案： 4．(2018高考全國卷Ⅲ)等比數列{an}中，a1＝1，a5＝4a3. (1)求{an}的通項公式． (2)記Sn為{an}的前n項和，若Sm＝63，求m. 解析：(1)設{an}的公比為q，由題設得an＝qn－1. 由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2. 故an＝(－2)n－1或an＝2n－1. (2)若an＝(－2)n－1，則Sn＝. 由Sm＝63得(－2)m＝－188，此方程沒有正整數解． 若an＝2n－1，則Sn＝2n－1.由Sm＝63得2m＝64，解得m＝6. 綜上，m＝6. 【類題通法】 在進行等差(比)數列項與和的運算時，若條件和結論間的聯系不明顯，則均可化成關于a1和d(或q)的方程組求解，但要注意消元法及整體代換，以減少計算量． 等差數列、等比數列的性質 授課提示：對應學生用書第29頁 [悟通——方法結論] 1．等差數列、等比數列常用性質： 等差數列 等比數列 性質 (1)若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq； (2)an＝am＋(n－m)d； (3)Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍成等差數列 (1)若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，則aman＝apaq； (2)an＝amqn－m； (3)Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍成等比數列(Sm≠0) 2.等差數列中利用中項求和． (1)若n為奇數，則Sn＝. (2)若n為偶數，則Sn＝(＋＋1)． 3．在等差數列中，當項數為偶數2n時，有S偶－S奇＝nd，＝；當項數為奇數2n－1時，有S奇－S偶＝an，＝. 4．在等比數列中，當項數為偶數2n時，＝q. [全練——快速解答] 1．(2018南寧模擬)等差數列{an}中，a3＋a7＝6，則{an}的前9項和等于(　　) A．－18　　　 B．27 C．18 D．－27 解析：由等差數列的性質，得a1＋a9＝a3＋a7＝6，所以數列{an}的前9項和S9＝＝＝27，故選B. 答案：B 2．(2016高考全國卷Ⅰ)已知等差數列{an}前9項的和為27，a10＝8，則a100＝(　　) A．100 B．99 C．98 D．97 解析：法一：∵{an}是等差數列，設其公差為d， ∴S9＝(a1＋a9)＝9a5＝27，∴a5＝3. 又∵a10＝8，∴∴ ∴a100＝a1＋99d＝－1＋991＝98. 法二：∵{an}是等差數列， ∴S9＝(a1＋a9)＝9a5＝27，∴a5＝3. 在等差數列{an}中，a5，a10，a15，…，a100成等差數列，且公差d′＝a10－a5＝8－3＝5. 故a100＝3＋(20－1)5＝98.故選C. 答案：C 3．(2018長沙模擬)等比數列{an}中，a5＝6，則數列{log6an}的前9項和的值為(　　) A．6 B．9 C．12 D．16 解析：因為a5＝6，所以log6a1＋log6a2＋…＋log6a9＝log6(a1a2…a9)＝log6a＝9log66＝9. 答案：B 4．(2018河北三市聯考)已知Sn是等差數列{an}的前n項和，若S5＝5a4－10，則數列{an}的公差為________． 解析：由S5＝5a4－10，得5a3＝5a4－10，則公差d＝2. 答案：2 【類題通法】 等差(比)數列性質應用策略 解決此類問題的關鍵是抓住項與項之間的關系及項的序號之間的關系，從這些特點入手選擇恰當的性質進行求解. 等差數列、等比數列的判定與證明 授課提示：對應學生用書第29頁 [悟通——方法結論] 1．證明數列{an}是等差數列的兩種基本方法： (1)利用定義，證明an＋1－an(n∈N*)為一常數； (2)利用等差中項性質，即證明2an＝an－1＋an＋1(n≥2)． 2．證明{an}是等比數列的兩種基本方法： (1)利用定義，證明(n∈N*)為一常數； (2)利用等比中項性質，即證明a＝an－1an＋1(n≥2，an≠0)． 　(2018高考全國卷Ⅰ)(12分)已知數列{an}滿足a1＝1，設bn＝. (1) (2) 并說明理由； (3) [學審題] 條件信息 想到方法 注意什么 由信息?nan＋1＝2(n＋1)an 遞推關系變形an＋1＝an 判斷{bn}為等比數列時要緊扣定義去推斷 由信息?求b1、b2、b3 想到先求a1、a2、a3，再求b1、b2、b3 由信息?判斷{bn}是否為等比數列 由等比數列的定義推斷＝常數 由信息?求an 先求bn，再求an [規(guī)范解答]　(1)由條件可得an＋1＝an. (2分) 將n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以a2＝4. 將n＝2代入得，a3＝3a2，所以a3＝12. (4分) 從而b1＝1，b2＝2，b3＝4. (6分) (2){bn}是首項為1，公比為2的等比數列． 由條件可得＝，即bn＋1＝2bn， (8分) 又b1＝1，所以{bn}是首項為1，公比為2的等比數列． (10分) (3)由(2)可得＝2n－1， 所以an＝n2n－1. (12分) 【類題通法】 1．判定一個數列是等差(比)數列，可以利用通項公式或前n項和公式，但不能將其作為證明方法． 2．(1)＝q和a＝an－1an＋1(n≥2)都是數列{an}為等比數列的必要不充分條件，判定時還要看各項是否為零． (2)學科素養(yǎng)：利用定義判定或證明數列問題重要體現了數學抽象邏輯推理與數學運算學科素養(yǎng)能力． [練通——即學即用] (2018貴州適應性考試)已知數列{an}滿足a1＝1，且nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n. (1)求a2，a3； (2)證明數列是等差數列，并求{an}的通項公式． 解析：(1)由已知得a2－2a1＝4， 則a2＝2a1＋4，又a1＝1，所以a2＝6. 由2a3－3a2＝12得2a3＝12＋3a2，所以a3＝15. (2)證明：由已知nan＋1－(n＋1)an＝2n(n＋1)，得＝2，即－＝2， 所以數列是首項為1，公差為2的等差數列． 則＝1＋2(n－1)＝2n－1，所以an＝2n2－n. 授課提示：對應學生用書第119頁 一、選擇題 1．(2018開封模擬)已知等差數列{an}的前n項和為Sn，且a1＋a5＝10，S4＝16，則數列{an}的公差為(　　) A．1　　　　 B．2 C．3 D．4 解析：設等差數列{an}的公差為d，因為S4＝＝2(a1＋a5－d)＝2(10－d)＝16，所以d＝2，故選B. 答案：B 2．(2018重慶模擬)在數列{an}中，an＋1－an＝2，a2＝5，則{an}的前4項和為(　　) A．9 B．22 C．24 D．32 解析：依題意得，數列{an}是公差為2的等差數列，a1＝a2－2＝3，因此數列{an}的前4項和等于43＋2＝24，選C. 答案：C 3．(2018益陽、湘潭聯考)已知等比數列{an}中，a5＝3，a4a7＝45，則的值為(　　) A．3 B．5 C．9 D．25 解析：設等比數列{an}的公比為q，則a4a7＝a5q2＝9q＝45，所以q＝5，＝＝q2＝25.故選D. 答案：D 4．(2018洛陽模擬)在等差數列{an}中，若Sn為前n項和，2a7＝a8＋5，則S11的值是(　　) A．55 B．11 C．50 D．60 解析：設等差數列{an}的公差為d，由2a7＝a8＋5，得2(a6＋d)＝a6＋2d＋5，得a6＝5，所以S11＝11a6＝55，故選A. 答案：A 5．(2018昆明模擬)已知等差數列{an}的公差為2，且a4是a2與a8的等比中項，則{an}的通項公式an＝(　　) A．－2n B．2n C．2n－1 D．2n＋1 解析：由題意，得a2a8＝a，又an＝a1＋2(n－1)，所以(a1＋2)(a1＋14)＝(a1＋6)2，解得a1＝2，所以an＝2n.故選B. 答案：B 6．(2018長沙中學模擬)已知等差數列{an}的前n項和為Sn，若a4＋a12－a8＝8，a10－a6＝4，則S23＝(　　) A．23 B．96 C．224 D．276 解析：設等差數列{an}的公差為d，依題意得a4＋a12－a8＝2a8－a8＝a8＝8，a10－a6＝4d＝4，d＝1，a8＝a1＋7d＝a1＋7＝8，a1＝1，S23＝231＋1＝276，選D. 答案：D 7．(2018長春模擬)等差數列{an}中，已知|a6|＝|a11|，且公差d＞0，則其前n項和取最小值時n的值為(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 解析：由d＞0可得等差數列{an}是遞增數列，又|a6|＝|a11|，所以－a6＝a11，即－a1－5d＝a1＋10d，所以a1＝－，則a8＝－＜0，a9＝＞0，所以前8項和為前n項和的最小值，故選C. 答案：C 8．(2018惠州模擬)已知等差數列{an}的前n項和為Sn，且a9＝a12＋6，a2＝4，則數列{}的前10項和為(　　) A. B. C. D. 解析：設等差數列{an}的公差為d，由a9＝a12＋6及等差數列的通項公式得a1＋5d＝12，又a2＝4，∴a1＝2，d＝2，∴Sn＝n2＋n，∴＝＝－，∴＋＋…＋＝(1－)＋(－)＋…＋(－)＝1－＝.選B. 答案：B 二、填空題 9．(2018南寧模擬)在等比數列{an}中，a2a6＝16，a4＋a8＝8，則＝________. 解析：法一：設等比數列{an}的公比為q，由a2a6＝16得aq6＝16，∴a1q3＝4.由a4＋a8＝8，得a1q3(1＋q4)＝8，即1＋q4＝2，∴q2＝1.于是＝q10＝1. 法二：由等比數列的性質，得a＝a2a6＝16，∴a4＝4，又a4＋a8＝8，∴或.∵a＝a4a8＞0，∴則公比q滿足q4＝1，q2＝1，∴＝q10＝1. 答案：1 10．(2018合肥模擬)已知數列{an}中，a1＝2，且＝4(an＋1－an)(n∈N*)，則其前9項和S9＝________. 解析：由已知，得a＝4anan＋1－4a， 即a－4anan＋1＋4a＝(an＋1－2an)2＝0， 所以an＋1＝2an， 所以數列{an}是首項為2，公比為2的等比數列， 故S9＝＝210－2＝1 022. 答案：1 022 11．若等比數列{an}的各項均為正數，且a10a11＋a9a12＝2e5，則ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝________. 解析：因為a10a11＋a9a12＝2a10a11＝2e5， 所以a10a11＝e5. 所以ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝ln(a1a2…a20) ＝ln[(a1a20)(a2a19)…(a10a11)]＝ln(a10a11)10 ＝10ln(a10a11)＝10ln e5＝50ln e＝50. 答案：50 12．(2017高考北京卷)若等差數列{an}和等比數列{bn}滿足a1＝b1＝－1，a4＝b4＝8，則＝________. 解析：設等差數列{an}的公差為d，等比數列{bn}的公比為q， 則由a4＝a1＋3d，得d＝＝＝3， 由b4＝b1q3得q3＝＝＝－8，∴q＝－2. ∴＝＝＝1. 答案：1 三、解答題 13．(2018南京模擬)已知數列{an}的前n項和Sn＝2n＋1－2，記bn＝anSn(n∈N*)． (1)求數列 {an}的通項公式； (2)求數列{bn}的前n項和Tn. 解析：(1)∵Sn＝2n＋1－2，∴當n＝1時，a1＝S1＝21＋1－2＝2； 當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－2n＝2n. 又a1＝2＝21，∴an＝2n. (2)由(1)知，bn＝anSn＝24n－2n＋1， ∴Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝2(41＋42＋43＋…＋4n)－(22＋23＋…＋2n＋1)＝2－＝4n＋1－2n＋2＋. 14．(2018貴陽模擬)設等比數列{an}的前n項和為Sn，公比q＞0，a1＋a2＝4，a3－a2＝6. (1)求數列{an}的通項公式； (2)若對任意的n∈N*，kan，Sn，－1都成等差數列，求實數k的值． 解析：(1)∵a1＋a2＝4，a3－a2＝6， ∴ ∵q＞0，∴q＝3，a1＝1. ∴an＝13n－1＝3n－1，故數列{an}的通項公式為an＝3n－1. (2)由(1)知an＝3n－1，Sn＝＝， ∵kan，Sn，－1成等差數列，∴2Sn＝kan－1，即2＝k3n－1－1，解得k＝3.