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考點規(guī)范練29　等差數(shù)列及其前n項和 一、基礎(chǔ)鞏固 1.已知Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和,a2+a8=6,則S9等于(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.272 B.27 C.54 D.108 答案B 解析S9=9(a1+a9)2=9(a2+a8)2=27. 2.已知{an}是公差為1的等差數(shù)列,Sn為{an}的前n項和.若S8=4S4,則a10=(　　) A.172 B.192 C.10 D.12 答案B 解析∵公差d=1,S8=4S4,∴8(a1+a8)2=44(a1+a4)2, 即2a1+7d=4a1+6d,解得a1=12. ∴a10=a1+9d=12+9=192. 3.記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和,若3S3=S2+S4,a1=2,則a5=(　　) A.-12 B.-10 C.10 D.12 答案B 解析因為3S3=S2+S4,所以3S3=(S3-a3)+(S3+a4),即S3=a4-a3.設(shè)公差為d,則3a1+3d=d,又由a1=2,得d=-3,所以a5=a1+4d=-10. 4.已知等差數(shù)列{an}的前4項和為30,前8項和為100,則它的前12項和為(　　) A.110 B.200 C.210 D.260 答案C 解析設(shè){an}的前n項和為Sn. ∵在等差數(shù)列{an}中,S4,S8-S4,S12-S8成等差數(shù)列, 又S4=30,S8=100, ∴30,70,S12-100成等差數(shù)列, ∴270=30+S12-100,解得S12=210. 5.已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,{an}的前n項和為Sn,則使得Sn達(dá)到最大的n是(　　) A.18 B.19 C.20 D.21 答案C 解析a1+a3+a5=105?a3=35,a2+a4+a6=99?a4=33, 則{an}的公差d=33-35=-2,a1=a3-2d=39,Sn=-n2+40n,因此當(dāng)Sn取得最大值時,n=20. 6.在等差數(shù)列{an}中,若ana2n是一個與n無關(guān)的常數(shù),則該常數(shù)的可能值的集合為(　　) A.{1} B.1,12 C.12 D.0,1,12 答案B 解析特殊值驗證法. 若ana2n=1,則數(shù)列{an}是一個常數(shù)列,滿足題意; 若ana2n=12, 設(shè)等差數(shù)列的公差為d,則an=12a2n=12(an+nd), 化簡,得an=nd,即a1+(n-1)d=nd, 化簡,得a1=d,也滿足題意; 若ana2n=0,則an=0,不符合題意.故選B. 7.中國古代詞中,有一道“八子分綿”的數(shù)學(xué)名題:“九百九十六斤綿,贈分八子作盤纏,次第每人多十七,要將第八數(shù)來言”.題意是:把996斤綿分給8個兒子作盤纏,按照年齡從大到小的順序依次分綿,年齡小的比年齡大的多17斤綿,那么第8個兒子分到的綿是　　　　　斤. 答案184 解析用a1,a2,…,a8表示8個兒子按照年齡從大到小得到的綿斤數(shù), 由題意,得數(shù)列a1,a2,…,a8是公差為17的等差數(shù)列,且這8項的和為996, 即8a1+87217=996,解得a1=65. 所以a8=65+717=184. 8.在數(shù)列{an}中,其前n項和為Sn,a1=1,a2=2,當(dāng)整數(shù)n≥2時,Sn+1+Sn-1=2(Sn+S1)都成立,則S15=　　　　　. 答案211 解析由Sn+1+Sn-1=2(Sn+S1),得(Sn+1-Sn)-(Sn-Sn-1)=2S1=2,即an+1-an=2(n≥2), 則數(shù)列{an}從第二項起構(gòu)成以2為首項,2為公差的等差數(shù)列,所以S15=1+214+141322=211. 9.若數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且滿足an+2SnSn-1=0(n≥2),a1=12. (1)求證:1Sn成等差數(shù)列; (2)求數(shù)列{an}的通項公式. (1)證明當(dāng)n≥2時,由an+2SnSn-1=0, 得Sn-Sn-1=-2SnSn-1,所以1Sn-1Sn-1=2. 又1S1=1a1=2,故1Sn是首項為2,公差為2的等差數(shù)列. (2)解由(1)可得1Sn=2n,Sn=12n. 當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=12n-12(n-1)=n-1-n2n(n-1)=-12n(n-1). 當(dāng)n=1時,a1=12不適合上式. 故an=12,n=1,-12n(n-1),n≥2. 10.在等差數(shù)列{an}中,a3+a4=4,a5+a7=6. (1)求{an}的通項公式; (2)設(shè)bn=[an],求數(shù)列{bn}的前10項和,其中[x]表示不超過x的最大整數(shù),如[0.9]=0,[2.6]=2. 解(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d, 由題意有2a1+5d=4,a1+5d=3, 解得a1=1,d=25. 所以{an}的通項公式為an=2n+35. (2)由(1)知,bn=2n+35. 當(dāng)n=1,2,3時,1≤2n+35<2,bn=1; 當(dāng)n=4,5時,2≤2n+35<3,bn=2; 當(dāng)n=6,7,8時,3≤2n+35<4,bn=3; 當(dāng)n=9,10時,4≤2n+35<5,bn=4. 所以數(shù)列{bn}的前10項和為 13+22+33+42=24. 二、能力提升 11.若數(shù)列{an}滿足:a1=19,an+1=an-3(n∈N*),則當(dāng)數(shù)列{an}的前n項和數(shù)值最大時,n的值為(　　) A.6 B.7 C.8 D.9 答案B 解析∵a1=19,an+1=an-3, ∴數(shù)列{an}是以19為首項,-3為公差的等差數(shù)列. ∴an=19+(n-1)(-3)=22-3n. 設(shè){an}的前k項和數(shù)值最大,則有ak≥0,ak+1≤0,k∈N*. ∴22-3k≥0,22-3(k+1)≤0.∴193≤k≤223. ∵k∈N*,∴k=7. ∴滿足條件的n的值為7. 12.(2018安徽皖中名校聯(lián)盟聯(lián)考)已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列,其前n項和為Sn,且2a1+3a3=S6,給出以下結(jié)論: ①a10=0;②S10最小;③S7=S12;④S19=0. 其中一定正確的結(jié)論是(　　) A.①② B.①③④ C.①③ D.①②④ 答案B 解析設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d, 則2a1+3a1+6d=6a1+15d, 即a1+9d=0,a10=0,故①正確; 若a1>0,d<0,則S9=S10, 且它們?yōu)镾n的最大值,故②錯誤; S12-S7=a8+a9+a10+a11+a12=5a10=0, 即S7=S12,故③正確; S19=19(a1+a19)2=19a10=0,故④正確. 13.已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,數(shù)列{bn}滿足bn=anan+1an+2(n∈N*),設(shè)Sn為{bn}的前n項和.若a12=38a5>0,則當(dāng)Sn取得最大值時,n的值等于　　　　　. 答案16 解析設(shè){an}的公差為d,由a12=38a5>0,得a1=-765d,a120; 當(dāng)n≥17時,an<0.從而b1>b2>…>b14>0>b17>b18>…,b15=a15a16a17<0,b16=a16a17a18>0, 故S14>S13>…>S1,S14>S15,S15S17>S18>…. 因為a15=-65d>0,a18=95d<0,所以a15+a18=-65d+95d=35d<0,所以b15+b16=a16a17(a15+a18)>0,所以S16>S14,所以Sn中S16最大.故答案為16. 14.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a2<0,且1,a2,81成等比數(shù)列,a3+a7=-6. (1)求{an}的通項公式; (2)求Snn的前n項和Tn取得最小值時n的值. 解(1)∵a3+a7=-6=2a5,∴a5=-3. ∵1,a2,81成等比數(shù)列,∴a22=181. 又a2<0,∴a2=-9. ∴等差數(shù)列{an}的公差d=a5-a25-2=-3-(-9)5-2=2. ∴an=a2+(n-2)2=2n-13. (2)∵Sn=n(-11+2n-13)2=n2-12n. ∴Snn=n-12.由n-12≤0,解得n≤12. 因此,當(dāng)n=11或n=12時,Snn的前n項和Tn取得最小值. 15.已知公差大于零的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且滿足a3a4=117,a2+a5=22. (1)求通項公式an; (2)求Sn的最小值; (3)若數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,且bn=Snn+c,求非零常數(shù)c. 解(1)∵數(shù)列{an}為等差數(shù)列,∴a3+a4=a2+a5=22. 又a3a4=117, ∴a3,a4是方程x2-22x+117=0的兩實根. 又公差d>0,∴a3

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