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滾動(dòng)測(cè)試卷二(第一~五章)
(時(shí)間:120分鐘 滿分:150分)
一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分)
1.已知集合A=1,2,12,集合B={y|y=x2,x∈A},則A∩B= ( )
A.12 B.{2} C.{1} D.?
答案C
解析當(dāng)x=1時(shí),y=1;當(dāng)x=2時(shí),y=4;當(dāng)x=12時(shí),y=14;
故B=1,4,14,因此A∩B={1}.故選C.
2.1+2i1-2i=( )
A.-45-35i B.-45+35i C.-35-45i D.-35+45i
答案D
解析1+2i1-2i=(1+2i)(1+2i)(1-2i)(1+2i)=1-4+4i5=-35+45i.
3.下列結(jié)論正確的是( )
A.若命題p:?x>0,都有x2>0,則??p:?x0≤0,使得x02≤0
B.若命題p和p∨q都是真命題,則命題q也是真命題
C.在△ABC中,a,b,c是內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊,則a
cos B
D.命題“若x2+x-2=0,則x=-2或x=1”的逆否命題是“x≠-2或x≠1,則x2+x-2≠0”
答案C
解析若命題p:?x>0,都有x2>0,則??p:?x0>0,使得x02≤0.故A項(xiàng)錯(cuò)誤;
若命題p和p∨q都是真命題,則命題q可能是真命題,也可能是假命題.故B項(xiàng)錯(cuò)誤;
在△ABC中,由acosB,C項(xiàng)正確;
命題“若x2+x-2=0,則x=-2或x=1”的逆否命題是“x≠-2且x≠1,則x2+x-2≠0”.故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選C.
4.命題“存在x∈[0,2],x2-x-a≤0為真命題”的一個(gè)充分不必要條件是( )
A.a≤0 B.a≥-1 C.a≥-14 D.a≥3
答案D
解析∵存在x∈[0,2],x2-x-a≤0為真命題,
∴a≥(x2-x)min=x-122-14min=-14.
因此上述命題的一個(gè)充分不必要條件是a≥3.故選D.
5.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),當(dāng)x<0時(shí),f(x)=-log2(-2x),則f(32)=( )
A.-32 B.-6 C.6 D.64
答案B
解析因?yàn)楫?dāng)x<0時(shí),f(x)=-log2(-2x),且函數(shù)f(x)是R上的偶函數(shù),所以f(32)=f(-32)=-log264=-6,故選B.
6.
(2018湖南郴州第二次質(zhì)檢)函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)其中A>0,|φ|<π2的部分圖象如圖所示,將函數(shù)f(x)的圖象( )可得g(x)=sin2x+π4的圖象.
A.向右平移π12個(gè)單位長(zhǎng)度 B.向左平移π24個(gè)單位長(zhǎng)度
C.向左平移π12個(gè)單位長(zhǎng)度 D.向右平移π24個(gè)單位長(zhǎng)度
答案D
解析由函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)的部分圖象知,A=1,T4=7π12-π3=π4,
∴T=2πω=π,解得ω=2,由五點(diǎn)法畫圖知,2π3+φ=π,解得φ=π3,∴f(x)=sin2x+π3,
又y=sin2x-π24+π3=sin2x+π4,
∴將函數(shù)f(x)的圖象向右平移π24個(gè)單位長(zhǎng)度,可得g(x)=sin2x+π4的圖象,故選D.
7.(2018福建漳州5月質(zhì)檢)函數(shù)y=ln1-x1+x+sin x的圖象大致為( )
答案A
解析易知f(x)=ln1-x1+x+sinx的定義域?yàn)?-1,1),且f(-x)=ln1+x1-x+sin(-x)=-ln1-x1+x-sinx=-f(x),即函數(shù)f(x)是奇函數(shù),圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,排除選項(xiàng)C,D;又f12=ln13+sin12=sin12-ln3<0,故排除選項(xiàng)B,所以選A.
8.在四邊形ABCD中,AC⊥BD,且AC=2,BD=3,則ABCD的最小值為( )
A.134 B.-134 C.154 D.-154
答案B
解析設(shè)AC與BD相交于點(diǎn)O,以O(shè)為原點(diǎn),AC,BD為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)C(a,0),D(0,b),則A(a-2,0),B(0,b-3),
故AB=(2-a,b-3),CD=(-a,b).
∴ABCD=a(a-2)+b(b-3)
=(a-1)2+b-322-134.
∴當(dāng)a=1,b=32時(shí),ABCD取得最小值-134.
9.若不等式tt2+9≤a≤t+2t2在t∈(0,2]上恒成立,則a的取值范圍是( )
A.16,1 B.213,1 C.16,413 D.16,22
答案B
解析∵函數(shù)y=t+2t2=1t+2t2在t∈(0,2]上為減函數(shù),
∴當(dāng)t=2時(shí),y=t+2t2的最小值為1.
令f(t)=tt2+9,則f(t)=9-t2(t2+9)2.
當(dāng)t∈(0,2]時(shí),f(t)>0,故f(t)在區(qū)間(0,2]上為增函數(shù),
故當(dāng)t=2時(shí),f(t)=tt2+9的最大值為213.
故由題意知tt2+9max≤a≤t+2t2min,即213≤a≤1.
10.已知函數(shù)y=sin(πx+φ)-2cos(πx+φ)(0<φ<π)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱,則sin 2φ=( )
A.-45 B.-35 C.35 D.45
答案A
解析y=sin(πx+φ)-2cos(πx+φ)=5sin(πx+φ-α),
其中sinα=25,cosα=15.
∵函數(shù)y的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱,
∴π+φ-α=π2+kπ,k∈Z,
即φ=α-π2+kπ,k∈Z.
∴sin2φ=sin2α-π2+kπ=sin(2α-π+2kπ)
=sin(2α-π)=-sin2α=-2sinαcosα
=-22515=-45,故選A.
11.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c.若cos B=14,sinCsinA=2,且S△ABC=154,則b=( )
A.4 B.3 C.2 D.1
答案C
解析由cosB=14,00時(shí),不等式f(x)+xf(x)<0成立,若a=30.2f(30.2),b=(logπ2)f(logπ2),c=log214flog214,則a,b,c之間的大小關(guān)系為( )
A.a>c>b B.c>a>b C.c>b>a D.b>a>c
答案C
解析構(gòu)造函數(shù)g(x)=xf(x),則g(x)=f(x)+xf(x),
當(dāng)x>0時(shí),不等式f(x)+xf(x)<0成立,
∴當(dāng)x>0時(shí),g(x)<0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞減.
∵函數(shù)y=f(x)是定義在R上的偶函數(shù),
∴g(-x)=-xf(-x)=-xf(x)=-g(x),
∴g(x)在R上是奇函數(shù),∴g(x)在R上是減函數(shù).
∵a=30.2f(30.2),b=(logπ2)f(logπ2),c=log214flog214,log214=-2,而-2b>a.故選C.
二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分)
13.(2018廣西梧州二模)已知tanx+π4=-2,則sin 2x+2cos2x= .
答案45
解析∵tanx+π4=tanx+11-tanx=-2,∴tanx=3,
則sin2x+2cos2x=2tanx+2tan2x+1=45.
14.設(shè)函數(shù)f(x)=x+1,x≤0,2x,x>0,則滿足f(x)+fx-12>1的x的取值范圍是 .
答案-14,+∞
解析由題意得當(dāng)x>12時(shí),2x+2x-12>1恒成立,即x>12;當(dāng)01恒成立,即01,解得x>-14,即-140;當(dāng)40,ω>0,0<φ<π2的部分圖象如圖所示.
(1)求f(x)的解析式;
(2)設(shè)g(x)=fx-π122,求函數(shù)g(x)在x∈-π6,π3上的最大值,并確定此時(shí)x的值.
解(1)由題圖,知A=2,T4=π3,
則2πω=4π3,即ω=32.
又f-π6=2sin32-π6+φ=2sin-π4+φ=0,
∴sinφ-π4=0,
∵0<φ<π2,-π4<φ-π4<π4,
∴φ-π4=0,即φ=π4,
∴f(x)的解析式為f(x)=2sin32x+π4.
(2)由(1)可得fx-π12=2sin32x-π12+π4
=2sin32x+π8,
g(x)=fx-π122=41-cos3x+π42
=2-2cos3x+π4,
∵x∈-π6,π3,∴-π4≤3x+π4≤5π4,
∴當(dāng)3x+π4=π,即x=π4時(shí),g(x)max=4.
20.(12分)(2018山東濰坊三模)已知函數(shù)f(x)=sin2x-cos2x+23sin xcos x(x∈R).
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c若f(A)=2,c=5,cos B=17,求△ABC的中線AD的長(zhǎng).
解(1)f(x)=-cos2x+3sin2x=2sin2x-π6,
∴T=2π2=π,
∴函數(shù)f(x)的最小正周期為π.
(2)由(1)知f(x)=2sin2x-π6,
∵在△ABC中f(A)=2,∴sin2A-π6=1,
∴2A-π6=π2,∴A=π3,
又cosB=17,∴sinB=437,
∴sinC=sin(A+B)=3217+12437=5314,
在△ABC中,由正弦定理csinC=asinA,得55314=a32,
∴a=7,∴BD=72,
在△ABD中,由余弦定理得AD2=AB2+BD2-2ABBDcosB=52+722-257217=1294,
∴AD=1292.
21.(12分)已知函數(shù)f(x)=x3+ax2-x+c,且a=f23.
(1)求a的值;
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(3)設(shè)函數(shù)g(x)=(f(x)-x3)ex,若函數(shù)g(x)在x∈[-3,2]上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)c的取值范圍.
解(1)由f(x)=x3+ax2-x+c,得f(x)=3x2+2ax-1.
當(dāng)x=23時(shí),得a=f23=3232+2a23-1,
解得a=-1.
(2)由(1)可知,f(x)=x3-x2-x+c,
則f(x)=3x2-2x-1=3x+13(x-1),
由f(x)>0,得x<-13或x>1;
由f(x)<0,得-130),
又f(x)在x=2處的切線方程為y=x+b,
所以2-a2=1,2-aln2=2+b,解得a=2,b=-2ln2.
(2)若函數(shù)f(x)在(1,+∞)上為增函數(shù),
則f(x)=x-ax≥0在(1,+∞)上恒成立,
即a≤x2在(1,+∞)上恒成立,所以a≤1.
(3)當(dāng)a=0時(shí),f(x)在定義域(0,+∞)上恒大于0,此時(shí)方程無(wú)解.
當(dāng)a<0時(shí),f(x)=x-ax>0在(0,+∞)上恒成立,
所以f(x)在(0,+∞)上為增函數(shù).
因?yàn)閒(1)=12>0,f(e1a)=12e2a-1<0,
所以方程有唯一解.
當(dāng)a>0時(shí),f(x)=x-ax=x2-ax=(x+a)(x-a)x.
因?yàn)楫?dāng)x∈(0,a)時(shí),f(x)<0,
則f(x)在(0,a)上為減函數(shù);
當(dāng)x∈(a,+∞)時(shí),f(x)>0,
則f(x)在(a,+∞)上為增函數(shù).
所以當(dāng)x=a時(shí),f(x)有極小值,
即最小值為f(a)=12a-alna=12a(1-lna).
當(dāng)a∈(0,e)時(shí),f(a)=12a(1-lna)>0,方程無(wú)解;
當(dāng)a=e時(shí),f(a)=12a(1-lna)=0,此方程有唯一解x=e.
當(dāng)a∈(e,+∞)時(shí),f(a)=12a(1-lna)<0,
因?yàn)閒12>0,且a>1,
所以方程f(x)=0在區(qū)間(0,a)上有唯一解.
因?yàn)楫?dāng)x>1時(shí),(x-lnx)>0,所以x-lnx>1,
所以x>lnx.所以f(x)=12x2-alnx>12x2-ax.
因?yàn)?a>a>1,所以f(2a)>12(2a)2-2a2=0,所以方程f(x)=0在區(qū)間(a,+∞)上有唯一解.
所以方程f(x)=0在區(qū)間(e,+∞)上有兩解.
綜上,當(dāng)a∈[0,e)時(shí),方程無(wú)解;
當(dāng)a<0或a=e時(shí),方程有唯一解;
當(dāng)a>e時(shí),方程有兩解.
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