（全國通用版）2019版高考數學一輪復習 第八章 平面解析幾何 課時分層作業(yè) 四十七 8.3 圓的方程 文.doc
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課時分層作業(yè) 四十七圓 的 方 程 一、選擇題(每小題5分,共25分) 1.已知直線l過圓x2+(y-3)2=4的圓心,且與直線x+y+1=0垂直,則l的方程是 ( ) A.x+y-2=0 B.x-y+2=0 C.x+y-3=0 D.x-y+3=0 【解析】選D.因為圓心為(0,3),直線x+y+1=0的斜率為-1,所以直線l的斜率為1,所以l的方程是y=x+3,即x-y+3=0. 【變式備選】1.圓(x+1)2+y2=2的圓心到直線y=x+3的距離為 ( ) A.1 B.2 C. D.2 【解析】選C.圓心(-1,0),直線x-y+3=0.所以圓心到直線的距離為=. 2.圓x2+y2-2x-8y+13=0的圓心到直線ax+y-1=0的距離為1,則a= ( ) A.- B.- C. D.2 【解析】選A.圓x2+y2-2x-8y+13=0化為標準方程為(x-1)2+(y-4)2=4, 故圓心為(1,4),d==1,解得a=-. 3.圓C:x2+y2-2x-4y+4=0的圓心到直線3x+4y+4=0的距離d=________. 【解析】因為圓心為(1,2),所以圓心到直線3x+4y+4=0的距離為d==3. 答案:3 2.設P為圓x2+y2+4x-6y-12=0上的動點,則點P到直線3x-4y-12=0的距離的最小值為 ( ) A. B.1 C.11 D. 【解析】選B.因為由x2+y2+4x-6y-12=0配方得(x+2)2+(y-3)2=25,所以圓心為(-2,3),半徑為5,所以圓心到直線3x-4y-12=0的距離為d==6,所以由平面幾何性質,圓上的動點P到直線的距離的最小值為d-r=6-5=1. 3.圓心在y軸上,半徑為1,且過點(1,2)的圓的方程為 ( ) A.x2+(y-2)2=1 B.x2+(y+2)2=1 C.(x-1)2+(y-3)2=1 D.x2+(y-3)2=1 【解析】選A.設圓心坐標為(0,b),則由題意知=1,解得b=2,故圓的方程為x2+(y-2)2=1. 【一題多解】選A.由圓心在y軸上,半徑為1,點(1,2)到圓心的距離為1易知圓心為(0,2),故圓的方程為x2+(y-2)2=1. 【變式備選】設點M(x0,1),若在圓O:x2+y2=1上存在點N,使得∠OMN=45,則x0的取值范圍是 ( ) A.[-1,1] B. C.[-,] D. 【解析】選A.如圖,因為點M在直線y=1上,當點N為(0,1)時,x0=1,當|x0|>1時,不存在N,符合條件,所以x0的取值范圍是[-1,1]. 4.已知圓C與直線x-y=0 及x-y-4=0都相切,圓心在直線x+y=0上,則圓C的方程為 ( ) A.(x+1)2+(y-1)2=2 B.(x-1)2+(y+1)2=2 C.(x-1)2+(y-1)2=2 D.(x+1)2+(y+1)2=2 【解析】選B.圓心在x+y=0上,排除C,D,再結合圖象,如圖,或者驗證A,B中圓心到兩直線的距離等于半徑即可. 【變式備選】已知圓C1:(x+1)2+(y-1)2=1,圓C2與圓C1關于直線x-y-1=0對稱,則圓C2的方程為 ( ) A.(x+2)2+(y-2)2=1 B.(x-2)2+(y+2)2=1 C.(x+2)2+(y+2)2=1 D.(x-2)2+(y-2)2=1 【解析】選B.圓C1的圓心坐標為(-1,1),半徑為1, 設圓C2的圓心坐標為(a,b), 由題意得解得 所以圓C2的圓心坐標為(2,-2), 又兩圓的半徑相等,故圓C2的方程為(x-2)2+(y+2)2=1. 5.過點P(3,1)作圓(x-1)2+y2=1的兩條切線,切點分別為A,B ,則直線AB的方程為 ( ) A.2x+y-3=0 B.2x-y-3=0 C.4x-y-3=0 D. 4x+y-3=0 【解析】選A.設切點A(x1,y1) ,B(x2,y2),圓心為C(1,0),半徑為1,因為⊥ ,所以-4x1+3+-y1=0,又因為-2x1+1+=1,所以2x1+y1-3=0, 同理可得2x2+y2-3=0,所以直線AB的方程為2x+y-3=0. 二、填空題(每小題5分,共15分) 6.經過三點(2,-1),(5,0),(6,1)的圓的一般方程為________________. 【解析】設所求圓的一般方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0, 則 解得 所以所求圓的一般方程為x2+y2-4x-8y-5=0. 答案:x2+y2-4x-8y-5=0 【變式備選】已知在Rt△ABC中,A(0,0),B(6,0),則直角頂點C的軌跡方程為________________. 【解析】依題意,頂點C的軌跡是以AB為直徑的圓,且去掉端點A,B,圓心坐標為(3,0),半徑為3,故直角頂點C的軌跡方程為(x-3)2+y2=9(y≠0),即為x2+y2-6x =0(y≠0). 答案:x2+y2-6x=0(y≠0) 【一題多解】解答本題還可以用如下的方法解決: 設頂點C的坐標為(x,y), 由于AC⊥BC,故kACkBC=-1, 所以=-1, 所以x2+y2-6x=0, 即直角頂點C的軌跡方程為(x-3)2+y2=9(y≠0). 即為x2+y2-6x=0(y≠0). 答案:x2+y2-6x=0(y≠0) 7.已知圓C: x2+y2+2x+ay-3=0(a為實數)上任意一點關于直線l:x-y+2=0的對稱點都在圓C上,則a=________. 【解析】由已知直線l:x-y+2=0經過圓心,所以-1++2=0,所以a=-2. 答案:-2 【變式備選】若圓(x+1)2+(y-3)2=9上的相異兩點P,Q關于直線kx+2y-4=0對稱,則k的值為________. 【解析】圓是軸對稱圖形,過圓心的直線都是它的對稱軸.已知圓的圓心為(-1,3),由題設知,直線kx+2y-4=0過圓心,則k(-1)+23-4=0,解得k=2. 答案:2 8.已知以點P為圓心的圓經過點A(-1,0)和B(3,4),線段AB的垂直平分線交圓P于點C和D,且|CD|=4.則圓P的方程為____________________. 【解析】由題意知,直線AB的斜率k=1,中點坐標為(1,2). 則直線CD的方程為y-2=-(x-1),即x+y-3=0. 設圓心P(a,b),則由點P在CD上得a+b-3=0.① 又因為直徑|CD|=4,所以|PA|=2, 所以(a+1)2+b2=40.② 由①②解得或 所以圓心P(-3,6)或P(5,-2). 所以圓P的方程為(x+3)2+(y-6)2=40 或(x-5)2+(y+2)2=40. 即為x2+y2+6x-12y+5=0或x2+y2-10x+4y-11=0. 答案:x2+y2+6x-12y+5=0或x2+y2-10x+4y-11=0 【變式備選】圓C通過不同的三點P(k,0),Q(2,0),R(0,1),已知圓C在點P處的切線斜率為1,則圓C的方程為________. 【解析】設圓C的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,則k,2為x2+Dx+F=0的兩根, 所以k+2=-D,2k=F,即D=-(k+2),F=2k, 又圓過R(0,1),故1+E+F=0. 所以E=-2k-1. 故所求圓的方程為x2+y2-(k+2)x-(2k+1)y+2k=0, 圓心坐標為. 因為圓C在點P處的切線斜率為1, 所以kCP=-1=,所以k=-3. 所以D=1,E=5,F=-6. 所以所求圓C的方程為x2+y2+x+5y-6=0. 答案:x2+y2+x+5y-6=0 三、解答題(每小題10分,共20分) 9.已知直線l:y=x+m,m∈R,若以點M(2,0)為圓心的圓與直線l相切于點P,且點P在y軸上,求該圓的方程. 【解析】方法一:依題意,點P的坐標為(0,m), 因為MP⊥l,所以1=-1, 解得m=2,即點P的坐標為(0,2), 圓的半徑r=|MP|= =2, 故所求圓的方程為(x-2)2+y2=8. 方法二:設所求圓的半徑為r,則圓的方程可設為 (x-2)2+y2=r2, 依題意,所求圓與直線l:x-y+m=0相切于點P(0,m), 則解得 所以所求圓的方程為(x-2)2+y2=8. 10.已知過原點的動直線l與圓C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的兩點A,B. (1)求圓C1的圓心坐標. (2)求線段AB的中點M的軌跡C的方程. 【解析】(1)由x2+y2-6x+5=0得(x-3)2+y2=4, 所以圓C1的圓心坐標為(3,0). (2)設M(x,y),依題意=0, 所以(x-3,y)(x,y)=0,則x2-3x+y2=0, 所以+y2=. 又原點O(0,0)在圓C1外, 因此中點M的軌跡是圓C與圓C1相交落在圓C1內的一段圓弧. 由消去y2得x=, 因此
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