(通用版)2020版高考數(shù)學大一輪復習 第11講 函數(shù)與方程學案 理 新人教A版.docx
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第11講函數(shù)與方程1.函數(shù)的零點(1)函數(shù)零點的定義對于函數(shù)y=f(x)(xD),把使的實數(shù)x叫作函數(shù)y=f(x)(xD)的零點.(2)等價關系方程f(x)=0有實數(shù)根函數(shù)y=f(x)的圖像與有交點函數(shù)y=f(x)有.(3)函數(shù)零點的判定(零點存在性定理)如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線,并且有,那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間內有零點,即存在c(a,b),使得,這個也就是方程f(x)=0的根.2.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a0)的圖像與零點的關系0=00)的圖像與x軸的交點無交點零點個數(shù)常用結論1.在區(qū)間D上單調的函數(shù)在該區(qū)間內至多有一個零點.2.周期函數(shù)如果存在零點,則必有無窮個零點.題組一常識題1.教材改編 函數(shù)f(x)=ln x+2x-6的零點的個數(shù)是.2.教材改編 如果函數(shù)f(x)=ex-1+4x-4的零點在區(qū)間(n,n+1)(n為整數(shù))內,則n=.3.教材改編 函數(shù)f(x)=x3-2x2+x的零點是.4.教材改編 若函數(shù)f(x)=x2-4x+a存在兩個不同的零點,則實數(shù)a的取值范圍是.題組二常錯題索引:錯用零點存在性定理;誤解函數(shù)零點的定義;忽略限制條件;二次函數(shù)在R上無零點的充要條件(判別式小于零).5.函數(shù)f(x)=x+1x的零點個數(shù)是.6.函數(shù)f(x)=x2-3x的零點是.7.若二次函數(shù)f(x)=x2-2x+m在區(qū)間(0,4)上存在零點,則實數(shù)m的取值范圍是.8.若二次函數(shù)f(x)=x2+kx+k在R上無零點,則實數(shù)k的取值范圍是.探究點一函數(shù)零點所在區(qū)間的判斷例1 (1)函數(shù)f(x)=ex-x-2在下列哪個區(qū)間上必有零點()A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3) (2)已知函數(shù)f(x)=lg x+54x-5在區(qū)間(n,n+1)(nZ)上存在零點,則n=.總結反思 判斷函數(shù)零點所在區(qū)間的方法:(1)解方程法,當對應方程易解時,可直接解方程;(2)零點存在性定理;(3)數(shù)形結合法,畫出相應函數(shù)圖像,觀察與x軸交點來判斷,或轉化為兩個函數(shù)的圖像在所給區(qū)間上是否有交點來判斷.變式題 2018南昌模擬 函數(shù)f(x)=ln(x+1)-2x2的零點所在的區(qū)間為()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)探究點二函數(shù)零點個數(shù)的討論例2 (1)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且滿足f-32+x=f32+x,當x0,32時,f(x)=ln(x2-x+1),則函數(shù)f(x)在區(qū)間0,6上的零點個數(shù)是()A.3B.5C.7D.9(2)2018河南中原名校模擬 函數(shù)f(x)=sin2x+2-log3x的零點個數(shù)為.總結反思 函數(shù)零點個數(shù)的討論,基本解法有:(1)直接法,令f(x)=0,有多少個解則有多少個零點;(2)定理法,利用定理時往往還要結合函數(shù)的單調性、奇偶性等;(3)圖像法,一般是把函數(shù)分拆為兩個簡單函數(shù),依據(jù)兩函數(shù)圖像的交點個數(shù)得出函數(shù)的零點個數(shù).變式題 (1)2018重慶巴蜀中學月考 函數(shù)f(x)=3x-2e-x的零點個數(shù)為()A.0B.1C.2D.3(2)已知函數(shù)f(x)=lnx,x0,ex,x0,則函數(shù)g(x)=f(x)2-3f(x)+2的零點個數(shù)為.探究點三函數(shù)零點的應用例3 (1)設函數(shù)f(x)=ex+x-2,g(x)=ln x+x2-3,若實數(shù)a,b滿足f(a)=g(b)=0,則()A.f(b)0g(a)B.g(a)0f(b)C.0g(a)f(b)D.f(b)g(a)1,2-ex,x1,若函數(shù)g(x)=f(x)-m(x-1)有兩個零點,則實數(shù)m的取值范圍是() A.(-2,0)B.(-1,0)C.(-2,0)(0,+)D.(-1,0)(0,+)總結反思 函數(shù)零點的應用主要體現(xiàn)在三類問題中:一是函數(shù)中不含參數(shù),零點又不易直接求出,考查各零點的和或范圍問題;二是函數(shù)中含有參數(shù),根據(jù)零點情況求函數(shù)中參數(shù)的范圍;三是函數(shù)中有參數(shù),但不求參數(shù),仍是考查零點的范圍問題.這三類問題一般是通過數(shù)形結合或分離參數(shù)求解.變式題 (1)2018山東、湖北部分重點中學二模 若函數(shù)f(x)=cos x+2|cos x|-m,x0,2恰有兩個零點,則m的取值范圍為()A.(0,1B.1C.0(1,3D.0,3(2)若x1,x2分別是函數(shù)f(x)=x-2-x,g(x)=xlog2x-1的零點,則下列結論成立的是()A.x1=x2B.x1x2C.x1+x2=1D.x1x2=1第11講函數(shù)與方程考試說明 結合二次函數(shù)的圖像,了解函數(shù)的零點與方程根的聯(lián)系,判斷一元二次方程根的存在性及根的個數(shù).【課前雙基鞏固】知識聚焦1.(1)f(x)=0(2)x軸零點(3)f(a)f(b)0(a,b)f(c)=0c2.(x1,0),(x2,0)(x1,0)210對點演練1.1解析 函數(shù)f(x)單調遞增,且f(2)0,故存在唯一零點.2.0解析 函數(shù)f(x)單調遞增,且f(0)0,故其零點在區(qū)間(0,1)內,則n=0.3.0,1解析 由f(x)=x3-2x2+x=0,解得x1=0,x2=1,所以函數(shù)的零點是0,1.4.(-,4)解析 =16-4a0,解得a0時,f(x)0,當x0時,f(x)0即可,即-1+m0且8+m0,解得-8m1.8.(0,4)解析 =k2-4k0,解得0k4.【課堂考點探究】例1思路點撥 (1)利用零點存在性定理判斷即可;(2)利用函數(shù)的單調性和零點存在性定理即可求出n.(1)C(2)3解析 (1)f(-1)=1e-10,f(0)=-10,f(1)=e-30,故選C.(2)f(x)=lg x+54x-5是定義在(0,+)上的增函數(shù),根據(jù)零點存在性定理,可得f(n)0.因為f(1)=54-50,f(2)=lg 2+52-50,f(3)=lg 3+154-50,所以函數(shù)f(x)在(3,4)上存在零點,故n=3.變式題B解析 f(x)=ln(x+1)-2x2在(0,+)上單調遞增,且f(1)=ln 2-20,則f(1)f(2)0)圖像的交點個數(shù),利用數(shù)形結合可得結果.(1)D(2)6解析 (1)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且滿足f-32+x=f32+x,f-32+x+32=f32+x+32,可得f(x+3)=f(x),則函數(shù)f(x)的周期為3.當x0,32時,f(x)=ln(x2-x+1),令f(x)=0,則x2-x+1=1,解得x=0(舍去)或1,又函數(shù)f(x)是定義域為R的奇函數(shù),在區(qū)間-32,32上,有f(-1)=-f(1)=0,f(0)=0.由f-32+x=f32+x,取x=0,得f-32=f32,又f32=-f-32,f32=f-32=0,f-32=f(-1)=f(0)=f(1)=f32=0.又函數(shù)f(x)是周期為3的周期函數(shù),函數(shù)f(x)在區(qū)間0,6上的零點有0,1,32,2,3,4,92,5,6,共9個.(2)函數(shù)f(x)=sin2x+2-log3x=cos 2x-log3x的零點個數(shù)就是y=log3x與y=cos 2x(x0)圖像的交點個數(shù).在同一坐標系內作出y=log3x與y=cos 2x(x0)的圖像,如圖,由圖可知,y=log3x與y=cos 2x(x0)的圖像有6個交點,所以函數(shù)f(x)=sin2x+2-log3x的零點個數(shù)為6.變式題(1)B(2)3解析 (1)y=3x單調遞增,y=-2e-x單調遞增,f(x)=3x-2e-x單調遞增.f(0)=-20,由零點存在性定理可得,f(x)=3x-2e-x的零點個數(shù)為1,故選B.(2)函數(shù)g(x)=f(x)2-3f(x)+2的零點個數(shù)即為方程f(x)2-3f(x)+2=0的解的個數(shù),解方程得f(x)=1或f(x)=2.由f(x)=1得ln x=1(x0)或ex=1(x0),解得x=e或x=0;同理,由f(x)=2得ln x=2(x0)或ex=2(x0),解得x=e2.所以函數(shù)g(x)共有3個零點.例3思路點撥 (1)首先確定函數(shù)f(x)和g(x)的單調性,然后結合函數(shù)的性質計算即可;(2)先轉化為函數(shù)y=f(x)的圖像與y=m(x-1)的圖像有且僅有兩個交點,數(shù)形結合即可得答案.(1)B(2)D解析 (1)易知f(x)是增函數(shù),g(x)在(0,+)上也是增函數(shù).由于f(0)=-10,所以0a1.又g(1)=-20,所以1bf(1)0,g(a)g(1)0,據(jù)此可知g(a)00時,滿足條件;當m=-1時,直線y=m(x-1)與y=2-ex(x1)的圖像相切,可得當-1m0時,滿足條件.故m(-1,0)(0,+).變式題(1)C(2)D解析 (1)f(x)=cos x+2|cos x|-m,x0,2的零點個數(shù)就是y=cos x+2|cos x|=3cosx,x0,232,2,-cosx,x2,32的圖像與y=m的圖像的交點個數(shù).作出y=cos x+2|cos x|,x0,2的圖像,如圖,由圖像可知,當m=0或10)與曲線y=log2x交點的橫坐標. 因為曲線y=1x關于直線y=x對稱,且曲線y=2x與曲線y=log2x關于直線y=x對稱,所以點x1,1x1與點x2,1x2關于直線y=x對稱,所以1x2-1x1x2-x1=-1,可得x1x2=1,故選D.【備選理由】 例1考查將函數(shù)的零點問題轉化為兩函數(shù)圖像的交點問題,通過分析交點橫坐標得零點所在區(qū)間;例2結合函數(shù)的奇偶性、周期性,考查函數(shù)的零點個數(shù),需要數(shù)形結合處理,綜合性強;例3為有關方程的解的問題,考查換元法、數(shù)形結合思想等.例1配合例1使用 2018運城二模 已知x0是函數(shù)f(x)=2sin x-ln x(x(0,)的零點,則()A.x0(0,1)B.x0(1,e)C.x0(e,3)D.x0(e,)解析 B設h(x)=2sin x(x(0,),g(x)=ln x(x(0,),則g(1)=0,g(e)=2,作出函數(shù)h(x)與g(x)的圖像(圖略)可知,交點在區(qū)間(1,e)內,即x0(1,e).例2配合例2使用 2018茂名模擬 已知定義在R上的函數(shù)y=f(x+2)的圖像關于直線x=-2對稱,且函數(shù)f(x+1)是偶函數(shù).若當x0,1時,f(x)=sin2x,則函數(shù)g(x)=f(x)-e-|x|在區(qū)間-2018,2018上的零點個數(shù)為()A.2017B.2018C.4034D.4036解析 D函數(shù)g(x)=f(x)-e-|x|在區(qū)間-2018,2018上的零點個數(shù),就是y=f(x)的圖像與y=e-|x|的圖像在區(qū)間-2018,2018上的交點個數(shù).函數(shù)y=f(x+2)的圖像關于直線x=-2對稱,函數(shù)y=f(x)的圖像的對稱軸為直線x=0,故y=f(x)是偶函數(shù),即f(-x)=f(x).又函數(shù)f(x+1)是偶函數(shù),f(x+1)=f(-x+1),故f(x+2)=f(-x)=f(x),函數(shù)f(x)是周期為2的偶函數(shù).又當x0,1時,f(x)=sin2x,畫出y=f(x)與y=1e|x|的部分圖像如圖所示,由圖像可知,在每個周期內兩函數(shù)的圖像有2個交點,函數(shù)g(x)=f(x)-e-|x|在區(qū)間-2018,2018上的零點個數(shù)為20182=4036.故選D.例3配合例3使用 函數(shù)y=g(x)(xR)的圖像如圖所示,若關于x的方程g(x)2+mg(x)+2m+3=0有三個不同的實數(shù)解,則m的取值范圍是.答案 -32,-43解析 設g(x)=t, 關于x的方程g(x)2+mg(x)+2m+3=0有三個不同的實數(shù)解,關于t的方程t2+mt+2m+3=0有兩個實數(shù)根,且一個在(0,1)上,一個在1,+)上.設h(t)=t2+mt+2m+3,當有一個根為1時,h(1)=1+m+2m+3=0,解得m=-43,此時另一個根為13,符合題意;當沒有根為1時,則h(0)=2m+30,h(1)=1+m+2m+30,解得-32m-43.綜上可得,m的取值范圍是-32,-43.- 配套講稿:
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