（新課標）廣西2019高考數學二輪復習 專題對點練8 導數與函數的零點及參數范圍.docx
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專題對點練8 導數與函數的零點及參數范圍 1.(2018全國Ⅱ,文21)已知函數f(x)=13x3-a(x2+x+1). (1)若a=3,求f(x)的單調區(qū)間; (2)證明:f(x)只有一個零點. 2.已知函數f(x)=ax+x2-xln a-b(a,b∈R,a>1),e是自然對數的底數. (1)當a=e,b=4時,求函數f(x)零點個數; (2)若b=1,求f(x)在[-1,1]上的最大值. 3.已知函數f(x)=xln x,g(x)=-x2+ax-2(e為自然對數的底數,a∈R). (1)判斷曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線與曲線y=g(x)的公共點個數; (2)當x∈1e,e時,若函數y=f(x)-g(x)有兩個零點,求a的取值范圍. 4.(2018天津,文20)設函數f(x)=(x-t1)(x-t2)(x-t3),其中t1,t2,t3∈R,且t1,t2,t3是公差為d的等差數列. (1)若t2=0,d=1,求曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程; (2)若d=3,求f(x)的極值; (3)若曲線y=f(x)與直線y=-(x-t2)-63有三個互異的公共點,求d的取值范圍. 專題對點練8答案 1.解 (1)當a=3時,f(x)=13x3-3x2-3x-3,f(x)=x2-6x-3. 令f(x)=0,解得x=3-23或x=3+23. 當x∈(-∞,3-23)∪(3+23,+∞)時,f(x)>0; 當x∈(3-23,3+23)時,f(x)<0. 故f(x)在(-∞,3-23),(3+23,+∞)單調遞增,在(3-23,3+23)單調遞減. (2)由于x2+x+1>0,所以f(x)=0等價于x3x2+x+1-3a=0. 設g(x)=x3x2+x+1-3a,則g(x)=x2(x2+2x+3)(x2+x+1)2≥0,僅當x=0時g(x)=0,所以g(x)在(-∞,+∞)單調遞增,故g(x)至多有一個零點,從而f(x)至多有一個零點. 又f(3a-1)=-6a2+2a-13=-6a-162-16<0,f(3a+1)=13>0,故f(x)有一個零點. 綜上,f(x)只有一個零點. 2.解 (1)由題意f(x)=ex+x2-x-4, ∴f(x)=ex+2x-1,∴f(0)=0, 當x>0時,ex>1,∴f(x)>0,故f(x)是(0,+∞)上的增函數; 當x<0時,ex<1,∴f(x)<0,故f(x)是(-∞,0)上的減函數. f(1)=e-4<0,f(2)=e2-2>0,∴存在x1∈(1,2)是f(x)在(0,+∞)上的唯一零點; f(-2)=1e2+2>0,f(-1)=1e-2<0,∴存在x2∈(-2,-1)是f(x)在(-∞,0)上的唯一零點. ∴f(x)的零點個數為2. (2)當b=1時,f(x)=ax+x2-xln a-1,∴f(x)=axln a+2x-ln a=2x+(ax-1)ln a, 當x>0時,由a>1,可知ax-1>0,ln a>0,∴f(x)>0; 當x<0時,由a>1,可知ax-1<0,ln a>0,∴f(x)<0; 當x=0時,f(x)=0,∴f(x)是[-1,0]上的減函數,[0,1]上的增函數. ∴當x∈[-1,1]時,f(x)min=f(0),f(x)max為f(-1)和f(1)中的較大者. 而f(1)-f(-1)=a-1a-2ln a, 設g(x)=x-1x-2ln x(x>0). ∵g(x)=1+1x2-2x=1x-12≥0(當且僅當x=1時等號成立), ∴g(x)在(0,+∞)上單調遞增,而g(1)=0, ∴當x>1時,g(x)>0,即當a>1時,a-1a-2ln a>0, ∴f(1)>f(-1). ∴f(x)max=f(1)=a+1-ln a-1=a-ln a. 3.解 (1)f(x)=ln x+1,所以切線斜率k=f(1)=1. 又f(1)=0, 所以曲線在點(1,0)處的切線方程為y=x-1. 由y=-x2+ax-2,y=x-1,得x2+(1-a)x+1=0. 由Δ=(1-a)2-4=a2-2a-3=(a+1)(a-3),可知: 當Δ>0,即a<-1或a>3時,有兩個公共點; 當Δ=0,即a=-1或a=3時,有一個公共點; 當Δ<0,即-1
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