2020高考數(shù)學(xué)刷題首選卷 第六章 立體幾何 考點(diǎn)測(cè)試42 空間點(diǎn)、直線(xiàn)、平面間的位置關(guān)系 文(含解析).docx
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測(cè)試42空間點(diǎn)、直線(xiàn)、平面間的位置關(guān)系高考概覽考綱研讀1理解空間直線(xiàn)、平面位置關(guān)系的定義2了解可以作為推理依據(jù)的公理和定理3能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間位置關(guān)系的簡(jiǎn)單命題一、基礎(chǔ)小題1若空間中有兩條直線(xiàn),則“這兩條直線(xiàn)為異面直線(xiàn)”是“這兩條直線(xiàn)沒(méi)有公共點(diǎn)”的()A充分非必要條件 B必要非充分條件C充分必要條件 D既非充分又非必要條件答案A解析“兩條直線(xiàn)為異面直線(xiàn)”“兩條直線(xiàn)無(wú)公共點(diǎn)”“兩直線(xiàn)無(wú)公共點(diǎn)”“兩直線(xiàn)異面或平行”故選A2下列命題正確的個(gè)數(shù)為()經(jīng)過(guò)三點(diǎn)確定一個(gè)平面;梯形可以確定一個(gè)平面;兩兩相交的三條直線(xiàn)最多可以確定三個(gè)平面;如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn),則這兩個(gè)平面重合A0 B1 C2 D3答案C解析經(jīng)過(guò)不共線(xiàn)的三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面,不正確;兩條平行線(xiàn)可以確定一個(gè)平面,正確;兩兩相交的三條直線(xiàn)可以確定一個(gè)或三個(gè)平面,正確;命題中沒(méi)有說(shuō)清三個(gè)點(diǎn)是否共線(xiàn),不正確3若直線(xiàn)上有兩個(gè)點(diǎn)在平面外,則()A直線(xiàn)上至少有一個(gè)點(diǎn)在平面內(nèi)B直線(xiàn)上有無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)在平面內(nèi)C直線(xiàn)上所有點(diǎn)都在平面外D直線(xiàn)上至多有一個(gè)點(diǎn)在平面內(nèi)答案D解析根據(jù)題意,兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn),那么由于直線(xiàn)上有兩個(gè)點(diǎn)在平面外,則直線(xiàn)在平面外,只能是直線(xiàn)與平面相交,或者直線(xiàn)與平面平行,那么可知直線(xiàn)上至多有一個(gè)點(diǎn)在平面內(nèi)4如圖,l,A,B,C,且Cl,直線(xiàn)ABlM,過(guò)A,B,C三點(diǎn)的平面記作,則與的交線(xiàn)必通過(guò)()A點(diǎn)A B點(diǎn)BC點(diǎn)C但不過(guò)點(diǎn)M D點(diǎn)C和點(diǎn)M答案D解析A,B,MAB,M又l,Ml,M根據(jù)公理3可知,M在與的交線(xiàn)上同理可知,點(diǎn)C也在與的交線(xiàn)上5若a和b是異面直線(xiàn),b和c是異面直線(xiàn),則a和c的位置關(guān)系是()A異面或平行 B異面或相交C異面 D相交、平行或異面答案D解析異面直線(xiàn)不具有傳遞性,可以以長(zhǎng)方體為載體加以說(shuō)明,a,b異面,直線(xiàn)c的位置如圖(可有三種情況)所示,故a,c可能相交、平行或異面6以下四個(gè)命題中:不共面的四點(diǎn)中,其中任意三點(diǎn)不共線(xiàn);若點(diǎn)A,B,C,D共面,點(diǎn)A,B,C,E共面,則點(diǎn)A,B,C,D,E共面;若直線(xiàn)a,b共面,直線(xiàn)a,c共面,則直線(xiàn)b,c共面;依次首尾相接的四條線(xiàn)段必共面正確命題的個(gè)數(shù)是()A0 B1 C2 D3答案B解析正確,否則三點(diǎn)共線(xiàn)和第四點(diǎn)必共面;錯(cuò)誤,如圖三棱錐,能符合題意但A,B,C,D,E不共面;錯(cuò)誤,從的幾何體知;空間四邊形為反例可知,錯(cuò)誤7已知異面直線(xiàn)a,b分別在平面,內(nèi),且c,那么直線(xiàn)c一定()A與a,b都相交B只能與a,b中的一條相交C至少與a,b中的一條相交D與a,b都平行答案C解析如果c與a,b都平行,那么由平行線(xiàn)的傳遞性知a,b平行,與異面矛盾故選C8如圖,平行六面體ABCDA1B1C1D1中既與AB共面又與CC1共面的棱有_條答案5解析依題意,與AB和CC1都相交的棱有BC;與AB相交且與CC1平行的棱有AA1,BB1;與AB平行且與CC1相交的棱有CD,C1D1故符合條件的棱有5條二、高考小題9(2018全國(guó)卷)在正方體ABCDA1B1C1D1中,E為棱CC1的中點(diǎn),則異面直線(xiàn)AE與CD所成角的正切值為()A B C D答案C解析在正方體ABCDA1B1C1D1中,CDAB,所以異面直線(xiàn)AE與CD所成的角為EAB,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2a,則由E為棱CC1的中點(diǎn),可得CEa,所以BEa,則tanEAB故選C10(2015廣東高考)若空間中n個(gè)不同的點(diǎn)兩兩距離都相等,則正整數(shù)n的取值()A至多等于3 B至多等于4C等于5 D大于5答案B解析首先我們知道正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)滿(mǎn)足兩兩距離相等,于是可以排除C,D又注意到正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)也滿(mǎn)足兩兩距離相等,于是排除A,故選B11(2016山東高考)已知直線(xiàn)a,b分別在兩個(gè)不同的平面,內(nèi),則“直線(xiàn)a和直線(xiàn)b相交”是“平面和平面相交”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件答案A解析因?yàn)橹本€(xiàn)a和直線(xiàn)b相交,所以直線(xiàn)a與直線(xiàn)b有一個(gè)公共點(diǎn),而直線(xiàn)a,b分別在平面,內(nèi),所以平面與必有公共點(diǎn),從而平面與相交;反之,若平面與相交,則直線(xiàn)a與直線(xiàn)b可能相交、平行、異面故選A三、模擬小題12(2018武昌調(diào)研)已知直線(xiàn)l和平面,無(wú)論直線(xiàn)l與平面具有怎樣的位置關(guān)系,在平面內(nèi)總存在一條直線(xiàn)與直線(xiàn)l()A相交 B平行 C垂直 D異面答案C解析當(dāng)直線(xiàn)l與平面平行時(shí),在平面內(nèi)至少有一條直線(xiàn)與直線(xiàn)l垂直,當(dāng)直線(xiàn)l平面時(shí),在平面內(nèi)至少有一條直線(xiàn)與直線(xiàn)l垂直,當(dāng)直線(xiàn)l與平面相交時(shí),在平面內(nèi)至少有一條直線(xiàn)與直線(xiàn)l垂直,所以無(wú)論直線(xiàn)l與平面具有怎樣的位置關(guān)系,在平面內(nèi)總存在一條直線(xiàn)與直線(xiàn)l垂直13(2018福州五校聯(lián)考)如圖,已知在正方體ABCDA1B1C1D1中,ACBDF,DC1CD1E,則直線(xiàn)EF是平面ACD1與()A平面BDB1的交線(xiàn)B平面BDC1的交線(xiàn)C平面ACB1的交線(xiàn)D平面ACC1的交線(xiàn)答案B解析連接BC1因?yàn)镋DC1,F(xiàn)BD,所以EF平面BDC1,故平面ACD1平面BDC1EF故選B14(2018湖北七市(州)聯(lián)考)設(shè)直線(xiàn)m與平面相交但不垂直,則下列說(shuō)法中正確的是()A在平面內(nèi)有且只有一條直線(xiàn)與直線(xiàn)m垂直B過(guò)直線(xiàn)m有且只有一個(gè)平面與平面垂直C與直線(xiàn)m垂直的直線(xiàn)不可能與平面平行D與直線(xiàn)m平行的平面不可能與平面垂直答案B解析對(duì)于A,在平面內(nèi)可能有無(wú)數(shù)條直線(xiàn)與直線(xiàn)m垂直,這些直線(xiàn)是互相平行的,A錯(cuò)誤;對(duì)于B,因?yàn)橹本€(xiàn)m與平面相交但不垂直,所以過(guò)直線(xiàn)m必有并且也只有一個(gè)平面與平面垂直,B正確;對(duì)于C,類(lèi)似于A,在平面外可能有無(wú)數(shù)條直線(xiàn)垂直于直線(xiàn)m并且平行于平面,C錯(cuò)誤;對(duì)于D,與直線(xiàn)m平行且與平面垂直的平面有無(wú)數(shù)個(gè),D錯(cuò)誤故選B15(2018蘭州市高考實(shí)戰(zhàn)模擬)已知長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中,AA1AB,AD1,則異面直線(xiàn)B1C和C1D所成角的余弦值為()A B C D答案A解析如圖,連接A1D,A1C1,由題易知B1CA1D,C1DA1是異面直線(xiàn)B1C與C1D所成的角,又AA1AB,AD1,A1D2,DC1,A1C12,由余弦定理,得cosC1DA1,故選A16(2018河北石家莊質(zhì)檢)下列正方體或四面體中,P,Q,R,S分別是所在棱的中點(diǎn),這四點(diǎn)不共面的一個(gè)圖是()答案D解析(利用“經(jīng)過(guò)兩條平行直線(xiàn),有且只有一個(gè)平面”判斷)對(duì)選項(xiàng)A,易判斷PRSQ,故點(diǎn)P,Q,R,S共面;對(duì)選項(xiàng)B,易判斷QRSP,故點(diǎn)P,Q,R,S共面;對(duì)選項(xiàng)C,易判斷PQSR,故點(diǎn)P,Q,R,S共面;而選項(xiàng)D中的RS,PQ為異面直線(xiàn),故選D17(2018武漢調(diào)研)如圖為正方體表面的一種展開(kāi)圖,則圖中的AB,CD,EF,GH在原正方體中互為異面直線(xiàn)的有_對(duì)答案3解析平面圖形的翻折應(yīng)注意翻折前后相對(duì)位置的變化,則AB,CD,EF和GH在原正方體中,顯然AB與CD,EF與GH,AB與GH都是異面直線(xiàn),而AB與EF相交,CD與GH相交,CD與EF平行故互為異面直線(xiàn)的有3對(duì)18(2018山西四校聯(lián)考)如圖所示,在空間四邊形ABCD中,點(diǎn)E,H分別是邊AB,AD的中點(diǎn),點(diǎn)F,G分別是邊BC,CD上的點(diǎn),且,則下列說(shuō)法正確的是_(填寫(xiě)所有正確說(shuō)法的序號(hào))EF與GH平行;EF與GH異面;EF與GH的交點(diǎn)M可能在直線(xiàn)AC上,也可能不在直線(xiàn)AC上;EF與GH的交點(diǎn)M一定在直線(xiàn)AC上答案解析連接EH,F(xiàn)G(圖略),依題意,可得EHBD,F(xiàn)GBD,故EHFG,所以E,F(xiàn),G,H共面因?yàn)镋HBD,F(xiàn)GBD,故EHFG,所以四邊形EFGH是梯形,EF與GH必相交,設(shè)交點(diǎn)為M因?yàn)辄c(diǎn)M在EF上,故點(diǎn)M在平面ACB上同理,點(diǎn)M在平面ACD上,所以點(diǎn)M是平面ACB與平面ACD的交點(diǎn),又AC是這兩個(gè)平面的交線(xiàn),所以點(diǎn)M一定在直線(xiàn)AC上一、高考大題1(2017全國(guó)卷)如圖,四面體ABCD中,ABC是正三角形,ADCD(1)證明:ACBD;(2)已知ACD是直角三角形,ABBD,若E為棱BD上與D不重合的點(diǎn),且AEEC,求四面體ABCE與四面體ACDE的體積比解(1)證明:如圖,取AC的中點(diǎn)O,連接DO,BO因?yàn)锳DCD,所以ACDO又由于ABC是正三角形,所以ACBO從而AC平面DOB,故ACBD(2)連接EO由(1)及題設(shè)知ADC90,所以DOAO在RtAOB中,BO2AO2AB2又ABBD,所以BO2DO2BO2AO2AB2BD2,故DOB90由題設(shè)知AEC為直角三角形,所以EOAC又ABC是正三角形,且ABBD,所以EOBD故E為BD的中點(diǎn),從而E到平面ABC的距離為D到平面ABC的距離的,四面體ABCE的體積為四面體ABCD的體積的,即四面體ABCE與四面體ACDE的體積之比為112(2015四川高考)一個(gè)正方體的平面展開(kāi)圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖所示(1)請(qǐng)將字母F,G,H標(biāo)記在正方體相應(yīng)的頂點(diǎn)處(不需說(shuō)明理由);(2)判斷平面BEG與平面ACH的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論;(3)證明:直線(xiàn)DF平面BEG解(1)點(diǎn)F,G,H的位置如圖所示(2)平面BEG平面ACH,證明如下:因?yàn)锳BCDEFGH為正方體,所以BCFG,BCFG,又FGEH,F(xiàn)GEH,所以BCEH,BCEH,于是四邊形BCHE為平行四邊形,所以BECH又CH平面ACH,BE平面ACH,所以BE平面ACH同理BG平面ACH又BEBGB,所以平面BEG平面ACH(3)證明:連接FH因?yàn)锳BCDEFGH為正方體,所以DH平面EFGH因?yàn)镋G平面EFGH,所以DHEG又EGFH,DHFHH,所以EG平面BFHD又DF平面BFHD,所以DFEG同理DFBG又EGBGG,所以DF平面BEG二、模擬大題3(2018河南洛陽(yáng)月考)如圖所示,正方體ABCDA1B1C1D1中,E,F(xiàn)分別是AB和AA1的中點(diǎn)求證:(1)E,C,D1,F(xiàn)四點(diǎn)共面;(2)CE,D1F,DA三線(xiàn)共點(diǎn)證明(1)如圖所示,連接CD1,EF,A1B,E,F(xiàn)分別是AB和AA1的中點(diǎn),F(xiàn)EA1B且EFA1BA1D1綊BC,四邊形A1BCD1是平行四邊形,A1BD1C,F(xiàn)ED1C,EF與CD1可確定一個(gè)平面,即E,C,D1,F(xiàn)四點(diǎn)共面(2)由(1)知EFCD1,且EFCD1,四邊形CD1FE是梯形,直線(xiàn)CE與D1F必相交,設(shè)交點(diǎn)為P,則PCE平面ABCD,且PD1F平面A1ADD1,P平面ABCD且P平面A1ADD1又平面ABCD平面A1ADD1AD,PAD,CE,D1F,DA三線(xiàn)共點(diǎn)4(2018河南焦作一模)如圖所示,平面四邊形ADEF所在的平面與梯形ABCD所在的平面垂直,ADCD,ADED,AFDE,ABCD,CD2AB2AD2EDxAF(1)若四點(diǎn)F,B,C,E共面,ABa,求x的值;(2)求證:平面CBE平面EDB解(1)AFDE,ABDC,AFABA,DEDCD,平面ABF平面DCE四點(diǎn)F,B,C,E共面,F(xiàn)BCE,ABF與DCE相似ABa,EDa,CD2a,AF,由相似比得,即,所以x4(2)證明:不妨設(shè)AB1,則ADAB1,CD2,在RtBAD中,BD,取CD中點(diǎn)為M,則MD與AB平行且相等,連接BM,可得BMD為等腰直角三角形,因此BC,因?yàn)锽D2BC2CD2,所以BCBD,又因?yàn)槠矫嫠倪呅蜛DEF所在的平面與梯形ABCD所在的平面垂直,平面ADEF平面ABCDAD,EDAD,所以ED平面ABCD,所以BCDE,又因?yàn)锽DDED,所以BC平面EDB,因?yàn)锽C平面CBE,所以平面CBE平面EDB5(2018沈陽(yáng)質(zhì)檢)如圖,在三棱錐SABC中,平面SAB平面SBC,ABBC,ASAB過(guò)A作AFSB,垂足為F,點(diǎn)E,G分別是棱SA,SC的中點(diǎn)求證:(1)平面EFG平面ABC;(2)BCSA證明(1)因?yàn)锳SAB,AFSB,垂足為F,所以F是SB的中點(diǎn)又因?yàn)镋是SA的中點(diǎn),所以EFAB因?yàn)镋F平面ABC,AB平面ABC,所以EF平面ABC同理EG平面ABC又EFEGE,所以平面EFG平面ABC(2)因?yàn)槠矫鍿AB平面SBC,且交線(xiàn)為SB,又AF平面SAB,AFSB,所以AF平面SBC,因?yàn)锽C平面SBC,所以AFBC又因?yàn)锳BBC,AFABA,AF,AB平面SAB,所以BC平面SAB因?yàn)镾A平面SAB,所以BCSA6(2018河南鄭州模擬)如圖,四棱錐PABCD中,側(cè)面PAD是邊長(zhǎng)為2的正三角形,且與底面垂直,底面ABCD是ABC60的菱形,M為PC的中點(diǎn)(1)求證:PCAD;(2)在棱PB上是否存在一點(diǎn)Q,使得A,Q,M,D四點(diǎn)共面?若存在,指出點(diǎn)Q的位置并證明;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;(3)求點(diǎn)D到平面PAM的距離解(1)證明:取AD的中點(diǎn)O,連接OP,OC,AC,因?yàn)樗倪呅蜛BCD是ABC60的菱形,所以ADC60,ADCD,所以ACD是正三角形,所以O(shè)CAD,又PAD是正三角形,所以O(shè)PAD,又OCOPO,OC平面POC,OP平面POC,所以AD平面POC,又PC平面POC,所以PCAD(2)存在當(dāng)點(diǎn)Q為棱PB的中點(diǎn)時(shí),A,Q,M,D四點(diǎn)共面證明如下:取棱PB的中點(diǎn)Q,連接QM,QA,因?yàn)镸為PC的中點(diǎn),所以QMBC,在菱形ABCD中,ADBC,所以QMAD,所以A,Q,M,D四點(diǎn)共面(3)點(diǎn)D到平面PAM的距離即為點(diǎn)D到平面PAC的距離,由(1)可知POAD,因?yàn)槠矫鍼AD平面ABCD,平面PAD平面ABCDAD,PO平面PAD,所以PO平面ABCD,即PO為三棱錐PACD的高,在RtPOC中,POOC,則PC,在PAC中,PAAC2,PC,所以邊PC上的高AM,所以SPACPCAM,設(shè)點(diǎn)D到平面PAC的距離為h,由VDPACVPACD,得SPAChSACDPO,即h22,解得h,所以點(diǎn)D到平面PAM的距離為- 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