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專題十五 排列組合問題 【母題原題1】【2018浙江，16】從1，3，5，7，9中任取2個數(shù)字，從0，2，4，6中任取2個數(shù)字，一共可以組成___________個沒有重復數(shù)字的四位數(shù).(用數(shù)字作答) 【答案】1260 【解析】分析:按是否取零分類討論，若取零，則先排首位，最后根據分類與分步計數(shù)原理計數(shù). 詳解：若不取零，則排列數(shù)為若取零，則排列數(shù)為 因此一共有個沒有重復數(shù)字的四位數(shù). 【母題原題2】【2017浙江，16】從6男2女共8名學生中選出隊長1人，副隊長1人，普通隊員2人組成4人服務隊，要求服務隊中至少有1名女生，共有________種不同的選法．(用數(shù)字作答) 【答案】600 【命題意圖】考查排列數(shù)、組合數(shù)公式，考查運算求解能力、分類討論的思想及分析問題與解決問題的能力． 【命題規(guī)律】縱觀近幾年的高考試題，排列組合問題往往以實際問題為背景，考查排列數(shù)、組合數(shù)、分類分步計數(shù)原理．除了以選擇、填空的形式考查，也往往在解答題中與古典概型概率計算相結合進行考查．難度基本穩(wěn)定在中等. 【答題模板】求解排列組合問題，一般考慮： 第一步：分清分類和分步. 第二步：分清排列與組合，確定解題方向.根據問題有序和無序，確定是排列問題還是組合問題； 第三步：正確應用公式運算求解. 【方法總結】 1. 求解排列、組合問題的思路：排組分清，加乘明確；有序排列，無序組合；分類相加，分步相乘． 具體地說，解排列、組合的應用題，通常有以下途徑： (1)以元素為主體，即先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素． (2)以位置為主體，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置． (3)先不考慮附加條件，計算出排列或組合數(shù)，再減去不符合要求的排列或組合數(shù)． 2. 解答排列、組合問題的角度： 解答排列、組合應用題要從“分析”、“分辨”、“分類”、“分步”的角度入手． (1)“分析”就是找出題目的條件、結論，哪些是“元素”，哪些是“位置”； (2)“分辨”就是辨別是排列還是組合，對某些元素的位置有、無限制等； (3)“分類”就是將較復雜的應用題中的元素分成互相排斥的幾類，然后逐類解決； (4)“分步”就是把問題化成幾個互相聯(lián)系的步驟，而每一步都是簡單的排列、組合問題，然后逐步解決． 3. 有條件的排列問題大致分四種類型． (1)某元素不在某個位置上問題，①可從位置考慮用其它元素占上該位置，②可考慮該元素的去向(要注意是否是全排列問題)；③可間接計算即從排列總數(shù)中減去不符合條件的排列個數(shù)． (2)某些元素相鄰，可將這些元素排好看作一個元素(即捆綁法)然后與其它元素排列． (3)某些元素互不相鄰，可將其它剩余元素排列，然后用這些元素進行插空(即插空法)． (4)某些元素順序一定，可在所有排列位置中取若干個位置，先排上剩余的其它元素，這個元素也就一種排法． 4. 對于有條件的組合問題，可能遇到含某個(些)元素與不含某個(些)元素問題；也可能遇到“至多”或“至少”等組合問題的計算，此類問題要注意分類處理或間接計算，切記不要因為“先取再后取”產生順序造成計算錯誤． 5.不同元素分組：將個不同元素放入個不同的盒中 6、相同元素分組：將個相同元素放入個不同的盒內，且每盒不空，則不同的方法共有種.解決此類問題常用的方法是“擋板法”，因為元素相同，所以只需考慮每個盒子里所含元素個數(shù)，則可將這個元素排成一列，共有個空，使用個“擋板”進入空檔處，則可將這個元素劃分為個區(qū)域，剛好對應那個盒子. 7、涂色問題：涂色的規(guī)則是“相鄰區(qū)域涂不同的顏色”，在處理涂色問題時，可按照選擇顏色的總數(shù)進行分類討論，每減少一種顏色的使用，便意味著多出一對不相鄰的區(qū)域涂相同的顏色（還要注意兩兩不相鄰的情況），先列舉出所有不相鄰區(qū)域搭配的可能，再進行涂色即可. 1．【2018屆貴州省凱里市第一中學《黃金卷》第四套】集合A={1,2,3,4,5},B={3,4,5,6,7,8,9}，從集合A、B中各取一個數(shù)，能組成（ ）個沒有重復數(shù)字的兩位數(shù)？ A. 52 B. 58 C. 64 D. 70 【答案】B 【解析】分析：分別從集合A，B取一個數(shù)字，再全排列，根據分步計數(shù)原理即可得到答案． 詳解：C21?C31+C41?C31+C21?C41+C32?A22=58 故選：B 2．【2018屆浙江省金麗衢十二校第二次聯(lián)考】用0，1，2，3，4可以組成的無重復數(shù)字的能被3整除的三位數(shù)的個數(shù)是（　?。? A. 20 B. 24 C. 36 D. 48 【答案】A 點睛：求解排列、組合問題常用的解題方法： (1)元素相鄰的排列問題——“捆邦法”；(2)元素相間的排列問題——“插空法”；(3)元素有順序限制的排列問題——“除序法”；(4)帶有“含”與“不含”“至多”“至少”的排列組合問題——間接法. 3．【2018屆浙江省臺州市高三上期末】有3位男生，3位女生和1位老師站在一起照相，要求老師必須站中間，與老師相鄰的不能同時為男生或女生，則這樣的排法種數(shù)是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】第一步，老師站中間，分別選一個男生與一個女生站在老師兩邊，共有 種排法；第二步剩余的學生全排列，共有種排法，所以根據分步計數(shù)乘法原理可得，符合題意的排法共有 種，故選D. 4．【2017屆黑龍江省齊齊哈爾市一?！坑?、2、3、4、5、6、7七個數(shù)字組成七位數(shù)，要求沒有重復數(shù)字且6、7均不得排在首位與個位，1與6必須相鄰，則這樣的七位數(shù)的個數(shù)是（ ） A. 300 B. 338 C. 600 D. 768 【答案】D 【解析】當1在首位時，6只有一種排法，7有四種排法，余下四數(shù)共有中排法，共有種； 當1在個位時，同樣共有96種； 當1即不再首位也不在個位時，先把1和6排好，有種排法，再排7有3種排法，余下四數(shù)共有中排法，共有種 綜上：共有=768 故選：D 點睛：本題是一道帶有限制條件的排列組合題目，這種問題的常用解題策略有：相鄰問題捆繩法，不鄰問題插空法，特殊元素（特殊位置）優(yōu)先分析法，定序問題縮倍法，多排問題單排法，相同元素隔板法等等. 5．【2018屆浙江省臺州中學高三模擬】由1,1,2,2,3,3,4,4可組成不同的四位數(shù)的個數(shù)為__________． 【答案】204 【解析】分析：此問題可以分為以下三種情況：i）選取的4個數(shù)字是1,2,3,4；ii）從四組(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)中任取兩組；iii）從四組(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)中任取一組，再從剩下的3組中的不同的三個數(shù)字中任取2個不同的數(shù)字，利用排列與組合的計算公式及其乘法原理即可得出. 詳解：i）選取的四個數(shù)字是1,2,3,4，則可組成A44個不同的四位數(shù)； ii)從四組(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)中任取兩組有C42種取法，其中每一種取法可組成C42個不同的四位數(shù)，所以此時共有C42C42個不同的四位數(shù)； iii)從四組(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)中任取一組有C41種取法，再從剩下的三組中的不同的三個數(shù)中任取2個不同的數(shù)字有C32種取法，把這兩個不同的數(shù)字安排到四個數(shù)位上共有A42種方法，而剩下的兩個相同數(shù)字只有一種方法，由乘法原理可得此時共有C41?C32?A42?C22個不同的四位數(shù)； 綜上可知，用8個數(shù)字1,1,2,2,3,3,4,4可以組成不同的四位數(shù)個數(shù)是A44+C42?C42+C41?C32?A42?C22=204，故答案是204. 6．【2018屆浙江省杭州市第二中學6月熱身】有6張卡片分別寫有數(shù)字1,1,1，2,3,4，從中任取3張，可排出不同的三位數(shù)的個數(shù)是__________．（用數(shù)字作答） 【答案】34. 點睛：對于排數(shù)問題，我們有如下策略：（1）特殊位置、特殊元素優(yōu)先考慮，比如偶數(shù)、奇數(shù)等，可考慮末位數(shù)字的特點，還有零不能排首位等；（2）先選后排，比如要求所排的數(shù)字來自某個范圍，我們得先選出符合要求的數(shù)字，在把它們放置在合適位置；（3）去雜法，也就是從反面考慮． 7．【2018屆浙江省金華市浦江縣高考適應性考試】聯(lián)合國際援助組織計劃向非洲三個國家援助糧食和藥品兩種物資，每種物資既可以全部給一個國家，也可以由其中兩個或三個國家均分，若每個國家都要有物資援助，則不同的援助方案有__________種． 【答案】25. 【解析】分析：按照每個國家都要有物資援助，分類型，求解即可． 詳解：聯(lián)合國際援助組織計劃向非洲三個國家援助糧食和藥品兩種物資， 每種物資既可以全部給一個國家， 也可以由其中兩個或三個國家均分，若每個國家都要有物資援助， 需要分為：糧食和藥品都有，方法1種； 一個國家糧食，兩個國家藥品，有3種方法； 一個國家藥品，兩個國家糧食，有3種方法； 兩個國家糧食，三個國家藥品，有3種方法； 兩個國家藥品，三個國家糧食，有3種方法； 一個國家糧食和藥品，另兩個國家各一種，有3（2+2）=12種方法； 方法總數(shù)是：25． 故答案為：25． 8．【2018年天津市十二重點中學聯(lián)考（一）】用0，1，2，3，4組成沒有重復數(shù)字的五位偶數(shù)，要求奇數(shù)不相鄰，且0不與另外兩個偶數(shù)相鄰，這樣的五位數(shù)一共有_______個.（用數(shù)字作答） 【答案】 【解析】①若末位數(shù)字為時，則共有個五位數(shù)； ②若末位數(shù)字為時，則當十位數(shù)字為時，只有；當十位數(shù)字為時，只有；當十位數(shù)字為時，有和兩個五位數(shù)，共有個五位數(shù). ③若末位數(shù)為時，則當十位數(shù)字為時，只有,；當十位數(shù)字為時，有和兩個五位數(shù)；當十位數(shù)字為時，只有，共有個五位數(shù). 綜上，這樣的五位數(shù)共有個. 故答案為. 9．【騰遠2018年（浙江卷）紅卷】2018北京兩會期間，有甲、乙、丙、丁、戊5位國家部委領導人要去3個分會場發(fā)言（每個分會場至少1人），其中甲和乙要求不再同一分會場，甲和丙必須在同一分會場，則不同的安排方案共有__________種（用數(shù)字作答）. 【答案】30 【解析】分析：由題意甲和丙在同一分會場，甲和乙不在同一分會場，所以有“2,2,1”和“3,1,1”兩種分配方案，利用分類計數(shù)原理和排列組合的知識，即可求解. 詳解：因為甲和丙在同一分會場，甲和乙不在同一分會場， 所以有“2,2,1”和“3,1,1”兩種分配方案： 當“2,2,1”時，甲和丙為一組，余下3人選出2人為一組，有C32A33=18種方案； 當“3,1,1”時，在丁和戊中選出1人與甲丙組成一組，有C21A33=12種方案， 所以不同的安排方案共有18+12=30種. 點睛：本題主要考查分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理及排列組合的應用，有關排列組合的綜合問題，往往是兩個原理及排列組合問題交叉應用才能解決問題，解答這類問題理解題意很關鍵，一定多讀題才能挖掘出隱含條件．解題過程中要首先分清“是分類還是分步”、“是排列還是組合”，在應用分類計數(shù)加法原理討論時，既不能重復交叉討論又不能遺漏，這樣才能提高準確率．在某些特定問題上，也可充分考慮“正難則反”的思維方式． 10．【2018屆浙江省教育綠色評價聯(lián)盟5月測試】有7個球，其中紅色球2個（同色不加區(qū)分），白色，黃色，藍色，紫色，灰色球各1個，將它們排成一行，要求最左邊不排白色，2個紅色排一起，黃色和紅色不相鄰，則有______種不同的排法（用數(shù)字回答）． 【答案】408 【解析】分析：把紅色球看做一個處理，利用分類計數(shù)原理結合分步計數(shù)原理，由左至右逐一排放，然后求和即可. 詳解： 1 2 3 4 5 6 紅色球2個（同色不加區(qū)分），2個紅色排一起，把紅色球看做一個， 本題相當于6個球的排列，將它們排成一行， 最左邊不排白色，2個紅色排一起，黃色和紅色不相鄰， 左側1號位置，放紅色球，有：C41?A44=96， 2號位置放紅色球，則放球方法有：C31?C31?A33=54， 3,4,5號位置放紅色球，則放球方法有：3A44+C31?A32?A22=180， 6號位置放紅色球，則放球方法有：A44+C31?A31?A33=78， ∴排列方法有：96+54+180+78=408，故答案為408. 11．【2018年浙江省普通高等學校全國招生統(tǒng)一考試模擬】分配4名水暖工去3個不同的民居家里檢查暖氣管道，要求4名水暖工部分配出去，并每名水暖工只能去一個居民家，且每個居民家都要有人去檢查，那么分配的方案共有__________種（用數(shù)字作答）. 【答案】36. 【解析】分析：根據題意，分2步分析：①，將4名水暖工分成3組，②，將分好的三組全排列，對應3個不同的居民家，由分步計數(shù)原理計算可得答案． 詳解：根據題意，分2步分析：①將4名水暖工分成3組，有C42=6種分組方法； ②將分好的三組全排列，對應3個不同的居民家，有A33=6種分配方法. ∴共有66=36種不同的分配方案 故答案為36． 點睛：解答排列、組合問題的角度：解答排列、組合應用題要從“分析”、“分辨”、“分類”、“分步”的角度入手；(1)“分析”就是找出題目的條件、結論，哪些是“元素”，哪些是“位置”；(2)“分辨”就是辨別是排列還是組合，對某些元素的位置有、無限制等；(3)“分類”就是將較復雜的應用題中的元素分成互相排斥的幾類，然后逐類解決；(4)“分步”就是把問題化成幾個互相聯(lián)系的步驟，而每一步都是簡單的排列、組合問題，然后逐步解決． 12.【浙江省金華十校2018年4月高考模擬】3名男生和3名女生站成一排，要求男生互不相鄰，女生也互不相鄰且男生甲和女生乙必須相鄰，則這樣的不同站法有__________種（用數(shù)字作答）． 【答案】40 點睛：(1)解排列組合問題要遵循兩個原則：一是按元素(或位置)的性質進行分類；二是按事情發(fā)生的過程進行分步．具體地說，解排列組合問題常以元素(或位置)為主體，即先滿足特殊元素(或位置)，再考慮其他元素(或位置)． (2)不同元素的分配問題，往往是先分組再分配．在分組時，通常有三種類型：①不均勻分組；②均勻分組；③部分均勻分組，注意各種分組類型中，不同分組方法的求法．