(通用版)2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第17講 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)學(xué)案 理 新人教A版.docx
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第17講任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)1.角的概念的推廣(1)定義:角可以看成平面內(nèi)的一條射線(xiàn)繞著從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所形成的圖形. (2)分類(lèi):按旋轉(zhuǎn)方向分為、和零角;按終邊位置分為和軸線(xiàn)角.(3)終邊相同的角:所有與角終邊相同的角,連同角在內(nèi),構(gòu)成的角的集合是S=. 2.弧度制的定義和公式(1)定義:把長(zhǎng)度等于的弧所對(duì)的圓心角叫作1弧度的角.弧度記作rad. (2)公式:角的弧度數(shù)的絕對(duì)值|=lr(弧長(zhǎng)用l表示)角度與弧度的換算1=180 rad,1 rad=180弧長(zhǎng)公式弧長(zhǎng)l=扇形面積公式S=12lr=12|r23.任意角的三角函數(shù)(1)定義:設(shè)是一個(gè)任意角,它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x,y),則sin =,cos =,tan =yx(x0).(2)幾何表示(單位圓中的三角函數(shù)線(xiàn)):圖3-17-1中的有向線(xiàn)段OM,MP,AT分別稱(chēng)為角的、和.() ()() ()圖3-17-1常用結(jié)論象限角與軸線(xiàn)角(1)象限角(2)軸線(xiàn)角題組一常識(shí)題1.教材改編 終邊落在第一象限角平分線(xiàn)上的角的集合是.2.教材改編 (1)6730=rad;(2)12= .3.教材改編 半徑為120 mm的圓上長(zhǎng)為144 mm的弧所對(duì)圓心角的弧度數(shù)是.4.教材改編 若角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(-1,2),則sin -cos +tan =.題組二常錯(cuò)題索引:對(duì)角的范圍把握不準(zhǔn);不能據(jù)函數(shù)值的符號(hào)確定角所在的象限;不熟悉角在不同象限時(shí)對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)值的符號(hào);求弧長(zhǎng)或者扇形面積把角化為弧度數(shù)時(shí)出錯(cuò).5.在A(yíng)BC中,若sin A=22,則A=.6.已知P(-3,y)為角的終邊上的一點(diǎn),且sin =1313,則y=.7.當(dāng)為第二象限角時(shí),|sin|sin-cos|cos|的值是.8.若一扇形的圓心角為72,半徑為20 cm,則扇形的面積為cm2.探究點(diǎn)一角的集合表示及象限角的判定例1 (1)2018長(zhǎng)春一模 若角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),始邊在x軸的非負(fù)半軸上,終邊在直線(xiàn)y=-3x上,則角的所有取值的集合是()A.=2k-3,kZB.|=2k+23,kZC.|=k-23,kZD.|=k-3,kZ(2)集合|k+4k+2,kZ中的角所表示的范圍(陰影部分)是()ABCD圖3-17-2總結(jié)反思 (1)角(02)與角2k+(kZ)的終邊相同;(2)要求角所在的象限,只需將角表示成2k+(kZ,02)的形式,則角所在的象限即為角所在的象限.變式題 (1)設(shè)集合M=x|x=k2180+45,kZ,N=x|x=k4180+45,kZ,那么()A.M=NB.MNC.NMD.MN=(2)若角的終邊在x軸的上方,則2是第象限角.探究點(diǎn)二扇形的弧長(zhǎng)、面積公式例2 (1)若圓弧長(zhǎng)度等于該圓內(nèi)接等腰直角三角形的周長(zhǎng),則其圓心角的弧度數(shù)是.(2)已知扇形的圓心角為60,其弧長(zhǎng)為,則此扇形的面積為.總結(jié)反思 應(yīng)用弧度制解決問(wèn)題的策略:(1)利用扇形的弧長(zhǎng)和面積公式解題時(shí),要注意角的單位必須是弧度;(2)涉及求扇形面積最大值的問(wèn)題,常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問(wèn)題,利用配方法使問(wèn)題得到解決;(3)在解決弧長(zhǎng)問(wèn)題和扇形面積問(wèn)題時(shí),要合理地利用圓心角所在的三角形.變式題 (1)將表的分針撥快10分鐘,則分針旋轉(zhuǎn)過(guò)程中形成的角的弧度數(shù)是()A.3B.6C.-3D.-6(2)若扇形的周長(zhǎng)為18,則扇形面積取得最大值時(shí),扇形圓心角的弧度數(shù)是.探究點(diǎn)三三角函數(shù)的定義角度1三角函數(shù)定義的應(yīng)用例3 (1)2018濟(jì)南二模 已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(m,-2m),其中m0,則sin +cos 等于()A.-55B.55C.-35D.35(2)2018北京通州區(qū)三模 在平面直角坐標(biāo)系xOy中,角以O(shè)x為始邊,終邊位于第四象限,且與單位圓交于點(diǎn)12,y,則sin =.總結(jié)反思 三角函數(shù)的定義主要應(yīng)用于兩方面:(1)已知角的終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo),則可先求出點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離,然后用三角函數(shù)定義求解三角函數(shù)值.特別地,若角的終邊落在某條直線(xiàn)上,一般要分類(lèi)討論.(2)已知角的某個(gè)三角函數(shù)值,可依據(jù)三角函數(shù)值設(shè)出角終邊上某一符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)解決相關(guān)問(wèn)題.角度2三角函數(shù)值的符號(hào)判定例4 (1)若sin cos 0,則角是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角(2)若為第二象限角,則cos 2,cos2,1sin2,1cos2中,其值必為正的有()A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)總結(jié)反思 判斷三角函數(shù)值的符號(hào),關(guān)鍵是確定角的終邊所在的象限,然后結(jié)合三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)確定所求三角函數(shù)值的符號(hào),特別要注意不要忽略角的終邊在坐標(biāo)軸上的情況.角度3三角函數(shù)線(xiàn)的應(yīng)用例5 2018嘉興模擬 已知2,34,a=sin ,b=cos ,c=tan ,那么a,b,c的大小關(guān)系是()A.abcB.bacC.acbD.cab總結(jié)反思 利用三角函數(shù)線(xiàn)比較大小或解三角不等式,通常采用數(shù)形結(jié)合的方法,一般來(lái)說(shuō)sin xb,cos xa,只需作直線(xiàn)y=b,x=a與單位圓相交,連接原點(diǎn)與交點(diǎn)即得角的終邊所在的位置,此時(shí)再根據(jù)方向即可確定相應(yīng)的x的范圍.變式題 函數(shù)f(x)=1-2cosx+lnsin x-22的定義域?yàn)?第17講任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)考試說(shuō)明 1.任意角、弧度制(1)了解任意角的概念和弧度制的概念.(2)能進(jìn)行弧度與角度的互化.2.理解任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義.【課前雙基鞏固】知識(shí)聚焦1.(1)端點(diǎn)(2)正角負(fù)角象限角(3)|=+k360,kZ2.(1)半徑長(zhǎng)(2)|r3.(1)yx(2)余弦線(xiàn)正弦線(xiàn)正切線(xiàn)對(duì)點(diǎn)演練1.|=k360+45,kZ解析 終邊落在第一象限角平分線(xiàn)上的最小正角為45,所以與其終邊相同的角的集合為|=k360+45,kZ.2.(1)38(2)15解析 (1)6730=67.5180=38(rad);(2)12=12180=15.3.1.2解析 根據(jù)圓心角弧度數(shù)的計(jì)算公式得,=144120=1.2.4.35-105解析 r=(-1)2+22=5,所以sin =25=255,cos =-15=-55,tan =2-1=-2,所以sin -cos +tan =35-105.5.4或34解析 因?yàn)?A0,cos 0,|sin|sin-cos|cos|=1-(-1)=2.8.80解析 72=25 rad,S扇形=12r2=1225202=80(cm2).【課堂考點(diǎn)探究】例1思路點(diǎn)撥 (1)先求出直線(xiàn)y=-3x的傾斜角,再根據(jù)終邊相同的角的要求得出角的取值集合;(2)對(duì)k分奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況分析角所表示的范圍.(1)D(2)C解析 (1)因?yàn)橹本€(xiàn)y=-3x的傾斜角是23,所以終邊落在直線(xiàn)y=-3x上的角的取值集合為=k-3,kZ.故選D.(2)當(dāng)k=2n(nZ)時(shí),2n+42n+2,此時(shí)表示的范圍與42表示的范圍一樣;當(dāng)k=2n+1(nZ)時(shí),2n+42n+2,此時(shí)表示的范圍與5432表示的范圍一樣.故選C.變式題(1)B(2)一或三解析 (1)M中,x=k2180+45=k90+45=45(2k+1),kZ,2k+1是奇數(shù);N中,x=k4180+45=k45+45=45(k+1),kZ,k+1是整數(shù).綜上可知,必有MN.(2)角的終邊在x軸的上方,k360180+k360,kZ,k180290+k180,kZ.當(dāng)k=2n(nZ)時(shí),有n360290+n360,可知2為第一象限角;當(dāng)k=2n+1(nZ)時(shí),有n360+18020時(shí),sin =-2m5m=-25,cos =m5m=15,sin +cos =-55;當(dāng)m0,得1cos0,所以cos 0.又sin cos 0,所以sin 0,所以為第四象限角,故選D.(2)由題意知,2k+22k+(kZ),則4k+24k+2(kZ),所以2的終邊在第三、第四象限或y軸的負(fù)半軸上,所以sin 20,cos 2可正可負(fù)也可為零.因?yàn)閗+42cos tan ,即abc.方法二:此題也可采用特值法.2,34,可取=23,此時(shí)a=sin =32,b=cos =-12,c=tan =-3,即abc,故選A.變式題x2k+3x0,即cosx12,sinx22,則如圖中陰影部分所示,不等式組的解集為x2k+3x2k+34,kZ.【備選理由】 例1考查判斷弧度制下的角所在的象限問(wèn)題;例2考查弧長(zhǎng)公式與等差數(shù)列的綜合問(wèn)題;例3強(qiáng)化對(duì)三角函數(shù)定義的理解與應(yīng)用,并給出了方法二,即利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系也可求解;例4考查三角函數(shù)線(xiàn)的基本應(yīng)用.例1配合例1使用 若角=-4,則的終邊在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限解析 B因?yàn)?32=-4-,所以依據(jù)負(fù)角的定義可知的終邊在第二象限.故選B.例2配合例2使用 如圖所示,一條螺旋線(xiàn)是用以下方法畫(huà)成的:ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形,曲線(xiàn)CA1,A1A2,A2A3分別是以A,B,C為圓心,以AC,BA1,CA2為半徑畫(huà)的弧,曲線(xiàn)CA1A2A3稱(chēng)為螺旋線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一圈,然后又以A為圓心,AA3為半徑畫(huà)弧這樣畫(huà)到第n圈,則所得整條螺旋線(xiàn)的長(zhǎng)度ln=.(用表示即可)答案 n(3n+1)解析 設(shè)第n段弧的弧長(zhǎng)為an,由弧長(zhǎng)公式可得a1=23,a2=232,a3=233, 所以數(shù)列an是以23為首項(xiàng),23為公差的等差數(shù)列.畫(huà)到第n圈,有3n段弧,故所得整條螺旋線(xiàn)的長(zhǎng)度ln=a1+a2+a3+a3n=23(1+2+3+3n)=n(3n+1).例3配合例3使用 若點(diǎn)P(3,y)是角終邊上的一點(diǎn),且滿(mǎn)足y0,cos =35,則tan =()A.-34B.34C.43D.-43解析 D方法一:由題意知,r=32+y2,所以cos =332+y2=35,解得y=-4或y=4(舍),所以tan =-43.方法二:因?yàn)辄c(diǎn)P(3,y)是角終邊上的一點(diǎn),且滿(mǎn)足y0,cos =35,所以sin =-1-cos2=-45,所以tan =sincos=-43,故選D.例4配合例5使用 2018北京首師大附中月考 已知cos -12,則角的取值范圍為.答案 2k+232k+43,kZ解析 如圖所示,作出直線(xiàn)x=-12,交單位圓于C,D兩點(diǎn),連接OC,OD,則OC與OD圍成的區(qū)域(圖中陰影部分)即為角終邊的范圍,故滿(mǎn)足條件的角的取值范圍為2k+232k+43,kZ.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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