(浙江專用)2020版高考數學一輪復習 專題3 導數及其應用 第24練 高考大題突破練—導數與方程練習(含解析).docx
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第24練 高考大題突破練導數與方程基礎保分練1.已知函數f(x)lnxexaa(e是自然對數的底數).(1)當a0時,求證:f(x)2.(2)若函數f(x)有兩個零點,求a的取值范圍.2.(2019蕭山中學模擬)設函數f(x)x2aln(x2),g(x)xex,且f(x)存在兩個極值點x1,x2,其中x10.3.(2019紹興一中模擬)已知函數f(x)x22lnx2ax(aR).(1)當a0時,求函數f(x)的極值;(2)當x(1,)時,試討論關于x的方程f(x)ax20實數根的個數.能力提升練4.(2019浙江省學軍中學模擬)已知函數f(x)exax22ax1.(1)當a時,討論f(x)的單調性;(2)設函數g(x)f(x),討論g(x)的零點個數;若存在零點,請求出所有的零點或給出每個零點所在的有窮區(qū)間,并說明理由.(注:有窮區(qū)間指區(qū)間的端點不含有和的區(qū)間)答案精析基礎保分練1.(1)證明當a0時,f(x)lnxex,f(x)ex(x0),則f(x)在定義域內單調遞減,又f2e0,f(1)1e0,f(x)單調遞增;當x(x0,)時,f(x)0,f(x)單調遞減.所以f(x)maxf(x0)lnx0x00,因為f(x1)0ex1aln x1x1a,得ax1ln x1,故f(x1)2ln x1x1,令h(x)2ln xx,h(1)0,因為h(x)10,所以當x1時,h(x)0,則x11,又因為yxln x在(0,)上單調遞增,由x11,得ax1ln x11.綜上,a1.2.(1)解由題意知f(x)2x(x2),f(x)存在兩個極值點x1,x2,其中x12),T(x)a,由圖象知當函數S(x)與T(x)有兩個交點,即函數f(x)存在兩個極值點時,2a0,實數a的取值范圍是(2,0).(2)解由(1)知x1x2x1(2x1)2x12,2x1x20,由g(x)xex得g(x)(x1)ex,當x(2,1)時,g(x)0,即g(x)在(1,0)上單調遞增.g(x1x2)ming(1).(3)證明由(1)知x22(x22)ln(x2)4,令x2x,則0x1,且x2(x2)ln x4,令F(x)x2(x2)ln x4(0x1),F(x)12ln x2ln x1(0x1),令G(x)2ln x1(0x1),則G(x),0x1,G(x)F(1)10,F(x)在(0,1)上是增函數,F(x)F(1)1,即0.3.解(1)函數f(x)的定義域為(0,),當a0時,f(x)x22ln x,f(x)2x0,解得x1或x1(舍去),所以當x(0,1)時,f(x)0,所以函數f(x)在(0,1)上單調遞減,在(1,)上單調遞增,所以函數f(x)的極小值為f(1)1,無極大值.(2)設F(x)f(x)ax2(a1)x22ax2ln x,F(x)2(a1)x2a.當a10,即a1時,F(x)2x2ln x,F(x)0(x(1,),故函數F(x)在(1,)上單調遞增,F(x)F(1)20,所以方程f(x)ax20在(1,)上無實根.當a10,即a1時,令F(x)0,解得x1或x(舍去),對任意x(1,),都有F(x)0,故函數F(x)在(1,)上單調遞增,F(x)F(1)1a;當1a0,即10,該函數無零點,即方程無實根;當1a1時,F(1)1a0,此時函數F(x)只有一個零點,即方程有且只有一個實根.當a10,即a1時,令F(x)0,解得x1或x.若1,即a2,則函數F(x)在(1,)上單調遞減,此時F(x)0.令g(x)(a1)x22ax,則F(x)g(x)2ln x,且函數g(x)的零點分別為x10,x2,因為a2,所以x21.故F(x2)g(x2)2ln x22ln x20,所以函數有一個零點,即原方程有一個實根,若1,即2a0,所以F(x)在上沒有零點,方程無解.因為當2a0,所以x21,所以FF(1)1a0,F(x2)g(x2)2ln x22ln x21或a1時,方程只有一個實根.能力提升練4.解(1)當a時,f(x)exx1,易知f(x)在R上單調遞增,且f(0)0,因此,當x0時,f(x)0時,f(x)0,故f(x)在(,0)上單調遞減,在(0,)上單調遞增.(2)由條件可得g(x)ex2ax2a,g(x)ex2a.(i)當a0時,g(x)ex0,g(x)無零點.(ii)當a0時,g(x)0,g(x)在R上單調遞增,g(0)12a,g(1)e0.若12a時,g(0)12a0,即0a時,ge10,g(x)在上有一個零點.(iii)當a0,得xln(2a);令g(x)0,得xln(2a),所以g(x)在(,ln(2a)上單調遞減,在(ln(2a),)上單調遞增,g(x)ming(ln(2a)2aln(2a)2.若ln(2a)20,即a0,g(x)無零點;若ln(2a)20,即a時,g(2)0,g(x)有一個零點x2;若ln(2a)20,即a0,g(ln(2a)0,所以u(x)h(x)在1,)上單調遞增,h(x)h(1)e20,所以h(x)在1,)上單調遞增,h(x)h(1)e10,即x1時,exx2,故g(x)x22ax2a.設k(x)lnxx(x1),則k(x)10,所以k(x)在1,)上單調遞減,k(x)k(1)11時,lnxx.因為ae21,所以ln(2a)(2a)22a(2a)2a2a0,g(x)在(ln(2a),2a)上有一個零點,故g(x)有兩個零點.綜上,當a時,g(x)在(1,ln(2a)和(ln(2a),2a)上各有一個零點,共有兩個零點;當a時,g(x)有一個零點x2;當a0時,g(x)無零點;當0a時,g(x)在(0,1)上有一個零點.- 配套講稿:
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