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母題七 基本初等函數(shù)及其應(yīng)用 【母題原題1】【2018上海卷，7】已知α∈{－2,－1,－,,1,2,3}，若冪函數(shù)為奇函數(shù)，且在(0,+∞)上遞減，則α=_____. 【答案】 【解析】冪函數(shù)為奇函數(shù)，冪指數(shù)只能為，又函數(shù)在上遞減，，所以 【母題原題2】【2017上海卷，9】已知四個(gè)函數(shù)：① ；② ；③ ；④ . 從中任選2個(gè)，則事件“所選2個(gè)函數(shù)的圖像有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)”的概率為________ 【答案】 【母題原題3】【2016上海卷，18】已知點(diǎn)在函數(shù)的圖像上，則． 【答案】 【解析】試題分析： 將點(diǎn)（3，9）代入函數(shù)中得，所以，用表示得，所以. 【考點(diǎn)】反函數(shù)的概念以及指、對(duì)數(shù)式的轉(zhuǎn)化 【名師點(diǎn)睛】指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，求反函數(shù)的基本步驟是：一解（反解x）、二換（x與y互換）、三注（注意定義域）.本題較為容易. 【命題意圖】主要考查基本初等函數(shù)的運(yùn)算與性質(zhì)，以及反函數(shù)的概念，作差或作商法的應(yīng)用，不等式的相關(guān)性質(zhì)以及有關(guān)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用. 【命題規(guī)律】 上海高考近幾年對(duì)這部分的考查主要集中在基本初等函數(shù)與反函數(shù)的綜合，基本初等函數(shù)的一系列運(yùn)算性質(zhì)，對(duì)該部分內(nèi)容考查一般以選擇填空題形式出現(xiàn),難度中等。 【答題模板】解答本類題目,以求解有關(guān)反比例函數(shù)為例，一般考慮如下三步： 第一步：利用解析式反求出x； 第二步：互換式子中的x與y； 第三步：寫出最終解析式，注意定義域。 【方法總結(jié)】 1.指數(shù)函數(shù)圖象的應(yīng)用技巧：對(duì)于有關(guān)指數(shù)型函數(shù)的圖象問題，一般是從最基本的指數(shù)函數(shù)的圖象入手，通過平移、伸縮、對(duì)稱變換而得到．特別地，當(dāng)?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時(shí)應(yīng)注意分類討論． 2.有關(guān)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的問題類型及解題思路 (1)比較指數(shù)冪大小問題．常利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及中間值(0或1)． (2)簡單的指數(shù)不等式的求解問題．解決此類問題應(yīng)利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，要特別注意底數(shù)a的取值范圍，并在必要時(shí)進(jìn)行分類討論． (3)求解與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)問題，首先要熟知指數(shù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性等相關(guān)性質(zhì)，其次要明確復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，涉及值域、單調(diào)區(qū)間、最值等問題時(shí)，都要借助“同增異減”這一性質(zhì)分析判斷，最終將問題歸結(jié)為內(nèi)層函數(shù)相關(guān)的問題加以解決． 3.對(duì)數(shù)運(yùn)算的一般思路 (1)將真數(shù)化為底數(shù)的指數(shù)冪的形式進(jìn)行化簡； (2)將同底對(duì)數(shù)的和、差、倍合并； (3)利用換底公式將不同底的對(duì)數(shù)式轉(zhuǎn)化成同底的對(duì)數(shù)式，要注意換底公式的正用、逆用及變形應(yīng)用． 4.對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)及應(yīng)用中應(yīng)注意的問題 (1)比較對(duì)數(shù)值大小時(shí)，若底數(shù)相同，構(gòu)造相應(yīng)的對(duì)數(shù)函數(shù)，利用單調(diào)性求解；若底數(shù)不同，可以找中間量，也可以用換底公式化成同底的對(duì)數(shù)再比較． (2)解簡單的對(duì)數(shù)不等式時(shí)，先利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化為同底數(shù)的對(duì)數(shù)值，再利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為一般不等式求解． (3)利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的值域和單調(diào)性問題，必須弄清三方面的問題，一是定義域，所有問題都必須在定義域內(nèi)討論；二是底數(shù)與1的大小關(guān)系；三是復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，即它是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成的． 1．【上海市浦東新區(qū)2018屆高三數(shù)學(xué)一?！磕呈称返谋ｕr時(shí)間（單位：小時(shí)）與儲(chǔ)存溫度（單位：℃）滿足函數(shù)關(guān)系（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)， 、為常數(shù)），若該食品在0℃的保鮮時(shí)間是192小時(shí)，在22℃的保鮮時(shí)間是48小時(shí)，則該食品在33℃的保鮮時(shí)間是（ ）小時(shí) A. 22 B. 23 C. 24 D. 33 【答案】C 2．【上海市虹口區(qū)2018屆高三下學(xué)期教學(xué)質(zhì)量監(jiān)控（二模）】已知函數(shù) ，則_________． 【答案】-2 【解析】，則。 3．【上海市松江、閔行區(qū)2018屆高三下學(xué)期質(zhì)量監(jiān)控（二模）】若函數(shù) 沒有最小值，則的取值范圍是____________. 【答案】 【解析】分類討論： 當(dāng)時(shí)，，函數(shù)沒有最小值， 當(dāng)時(shí)，應(yīng)滿足有解，故， 綜上可得，的取值范圍是. 4．【上海市松江、閔行區(qū)2018屆高三下學(xué)期質(zhì)量監(jiān)控（二模）】定義在上的函數(shù)的反函數(shù)為，則________. 【答案】 【解析】求解指數(shù)方程：可得：， 由反函數(shù)的定義與性質(zhì)可得. 5．【上海市普陀區(qū)2018屆高三下學(xué)期質(zhì)量調(diào)研（二模）】設(shè)函數(shù)（且），若是等比數(shù)列（）的公比，且，則的值為_________. 【答案】 【解析】 ， ， ，故答案為. 6．【上海市普陀區(qū)2018屆高三下學(xué)期質(zhì)量調(diào)研（二模）】若函數(shù)的反函數(shù)為，則函數(shù)的零點(diǎn)為________. 【答案】 【解析】 7．【上海市黃浦區(qū)2018屆高三4月模擬（二模）】方程的解_________． 【答案】 【解析】 或（舍） 即，解得 即答案為2. 8．【上海市長寧、嘉定區(qū)2018屆高三第一次質(zhì)量調(diào)研（一模）】已知函數(shù)， 是函數(shù)的反函數(shù)，若的圖象過點(diǎn)，則的值為 . 【答案】4 【解析】試題分析：根據(jù)原函數(shù)與反函數(shù)的關(guān)系進(jìn)行分析，原函數(shù)過點(diǎn)（4,2），代入即可得到a值； 由題f（x）過點(diǎn)（4,2）,所以 考點(diǎn)：反函數(shù) 9．【上海市崇明區(qū)2018屆高三第一次高考模擬】若函數(shù)的反函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則_____． 【答案】 10．【上海市上海師范大學(xué)附屬中學(xué)2017－2018學(xué)年上學(xué)期高三期中考試】已知，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________. 【答案】 【解析】因?yàn)槭荝上的增函數(shù)，所以，解得或，故填. 11．【上海市七寶中學(xué)2017屆高三上學(xué)期第一次月考】若對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________ 【答案】. 【點(diǎn)睛】解對(duì)數(shù)不等式應(yīng)將兩邊都化成同底數(shù)的對(duì)數(shù)，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較真數(shù)的大小。不等式對(duì)任意恒成立，可轉(zhuǎn)化為不等式對(duì)任意恒成立，分與兩種情況討論。時(shí)結(jié)合二次函數(shù)的圖像得結(jié)論。 12．【上海市浦東新區(qū)2017-2018學(xué)年第一學(xué)期高三數(shù)學(xué)期中質(zhì)量檢測】（1）解方程： ； （2）已知關(guān)于的不等式的解集為，求關(guān)于的不等式的解集． 【答案】（1）1；（2） 【解析】試題分析：（1）統(tǒng)一指數(shù)的底數(shù)為5,再把當(dāng)整體，原方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程，可解得t，進(jìn)一步解得x.(2)由題意可得方程的兩個(gè)根為和， 且，進(jìn)一步求得a,b，代入不等式，可求得不等式的解集． 試題解析：（1）令，則，解得或，即或，解得或. （2）由題意可知，方程的兩個(gè)根為和， 且則由韋達(dá)定理可得，于是不等式為，則其解集為． 【點(diǎn)睛】對(duì)于一個(gè)方程或不等式中有多個(gè)指數(shù)形式的，常把指數(shù)化同底，再應(yīng)用整體思想，把指數(shù)結(jié)構(gòu)整體換元。從而進(jìn)一步求解。