(浙江專版)2018-2019高中數(shù)學 第二章 圓錐曲線與方程 2.2.1 橢圓及其標準方程學案 新人教A版選修2-1.doc
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2.2.1橢圓及其標準方程學習目標1.理解橢圓的定義.2.掌握橢圓的標準方程及標準方程的推導過程知識點一橢圓的定義思考給你兩個圖釘,一根無彈性的細繩,一張紙板,一支鉛筆,如何畫出一個橢圓?答案在紙板上固定兩個圖釘,繩子的兩端固定在圖釘上,繩長大于兩圖釘間的距離,筆尖貼近繩子,將繩子拉緊,移動筆尖即可畫出橢圓梳理(1)平面內與兩個定點F1,F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓這兩個定點叫做橢圓的焦點,兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距(2)橢圓的定義用集合語言敘述為:PM|MF1|MF2|2a,2a|F1F2|(3)2a與|F1F2|的大小關系所確定的點的軌跡如下表:條件結論2a|F1F2|動點的軌跡是橢圓2a|F1F2|動點的軌跡是線段F1F22abc一定成立嗎?答案不一定,只需ab,ac即可,b,c的大小關系不確定梳理(1)橢圓標準方程的兩種形式焦點位置標準方程焦點焦距焦點在x軸上1(ab0)F1(c,0),F(xiàn)2(c,0)2c焦點在y軸上1(ab0)F1(0,c),F(xiàn)2(0,c)2c(2)橢圓的標準方程與其在坐標系中的位置的對應關系橢圓在坐標系中的位置標準方程1(ab0)1(ab0)焦點坐標F1(c,0),F(xiàn)2(c,0)F1(0,c),F(xiàn)2(0,c)a,b,c的關系b2a2c2(3)根據方程判斷橢圓的焦點位置及求焦點坐標判斷橢圓焦點在哪個軸上就要判斷橢圓標準方程中x2項和y2項的分母哪個更大一些,即“誰大在誰上”如方程為1的橢圓,焦點在y軸上,而且可求出焦點坐標F1(0,1),F(xiàn)2(0,1),焦距|F1F2|2.(1)已知F1(4,0),F(xiàn)2(4,0),平面內到F1,F(xiàn)2兩點的距離之和等于8的點的軌跡是橢圓()(2)已知F1(4,0),F(xiàn)2(4,0),平面內到F1,F(xiàn)2兩點的距離之和等于6的點的軌跡是橢圓()(3)平面內到點F1(4,0),F(xiàn)2(4,0)兩點的距離之和等于點M(5,3)到F1,F(xiàn)2的距離之和的點的軌跡是橢圓()(4)平面內到點F1(4,0),F(xiàn)2(4,0)距離相等的點的軌跡是橢圓()類型一橢圓定義的應用例1點P(3,0)是圓C:x2y26x550內一定點,動圓M與已知圓相內切且過P點,判斷圓心M的軌跡考點橢圓的定義題點橢圓定義的應用解方程x2y26x550化成標準形式為(x3)2y264,圓心為(3,0),半徑r8.因為動圓M與已知圓相內切且過P點,所以|MC|MP|r8,根據橢圓的定義,動點M到兩定點C,P的距離之和為定值86|CP|,所以動點M的軌跡是橢圓引申探究若將本例中圓C的方程改為:x2y26x0且點P(3,0)為其外一定點,動圓M與已知圓C相外切且過P點,求動圓圓心M的軌跡方程解設M(x,y),由題意可知,圓C:(x3)2y29,圓心C(3,0),半徑r3.由|MC|MP|r,故|MC|MP|r3,即3,整理得1(x0)反思與感悟橢圓是在平面內定義的,所以“平面內”這一條件不能忽視定義中到兩定點的距離之和是常數(shù),而不能是變量常數(shù)2a必須大于兩定點間的距離,否則軌跡不是橢圓,這是判斷一曲線是否為橢圓的限制條件跟蹤訓練1(1)下列命題是真命題的是_(將所有真命題的序號都填上)已知定點F1(1,0),F(xiàn)2(1,0),則滿足|PF1|PF2|的點P的軌跡為橢圓;已知定點F1(2,0),F(xiàn)2(2,0),則滿足|PF1|PF2|4的點P的軌跡為線段;到定點F1(3,0),F(xiàn)2(3,0)的距離相等的點的軌跡為橢圓考點橢圓的定義題點橢圓定義的應用答案解析b0)依題意,有解得由ab0,知不合題意,故舍去;當橢圓焦點在y軸上時,可設橢圓的標準方程為1(ab0)依題意,有解得所以所求橢圓的標準方程為1.方法二設橢圓的方程為mx2ny21(m0,n0,mn)則解得所以所求橢圓的方程為5x24y21,故橢圓的標準方程為1.引申探究求與橢圓1有相同焦點,且過點(3,)的橢圓方程解由題意可設其方程為1(9),又橢圓過點(3,),將此點代入橢圓方程,得11(21舍去),故所求的橢圓方程為1.反思與感悟(1)若橢圓的焦點位置不確定,需要分焦點在x軸上和在y軸上兩種情況討論,也可設橢圓方程為mx2ny21(mn,m0,n0)(2)與橢圓1(ab0)有公共焦點的橢圓方程為1(ab0,b2),與橢圓1(ab0)有公共焦點的橢圓方程為1(ab0,b2)跟蹤訓練2求適合下列條件的橢圓的標準方程(1)橢圓的兩個焦點坐標分別為F1(4,0),F(xiàn)2(4,0),橢圓上一點P到兩焦點的距離之和等于10;(2)橢圓過點(3,2),(5,1);(3)橢圓的焦點在x軸上,且經過點(2,0)和點(0,1)考點橢圓標準方程的求法題點定義法求橢圓的標準方程解(1)設其標準方程為1(ab0)由題意可知2a10,c4,故b2a2c29,故所求橢圓的標準方程為1.(2)設橢圓的一般方程為Ax2By21(A0,B0,AB),則解得故所求橢圓的標準方程為1.(3)設橢圓的標準方程為1(ab0)由解得故所求橢圓的標準方程為y21.類型三求與橢圓有關的軌跡方程例3已知B,C是兩個定點,|BC|8,且ABC的周長等于18.求這個三角形的頂點A的軌跡方程考點橢圓標準方程的求法題點定義法求橢圓的標準方程解以過B,C兩點的直線為x軸,線段BC的垂直平分線為y軸,建立平面直角坐標系xOy,如圖所示由|BC|8可知點B(4,0),C(4,0)由|AB|AC|BC|18,得|AB|AC|108|BC|,因此,點A的軌跡是以B,C為焦點的橢圓,這個橢圓上的點與兩焦點的距離之和2a10,但點A不在x軸上由a5,c4,得b2a2c225169.所以點A的軌跡方程為1(y0)反思與感悟求與橢圓有關的軌跡方程常用的方法:(1)定義法:若動點的軌跡特點符合某一基本軌跡(如橢圓、圓等)的定義,則可用定義直接求解(2)直接法:將動點滿足的幾何條件或者等量關系直接坐標化,列出等式后化簡,得出動點的軌跡方程(3)相關點法:根據相關點所滿足的方程,通過轉換求出動點軌跡的方程跟蹤訓練3如圖,設定點A(6,2),P是橢圓1上的動點,求線段AP的中點M的軌跡方程考點橢圓標準方程的求法題點定義法求橢圓的標準方程解設M(x,y),P(x1,y1)M為線段AP的中點,又1,點M的軌跡方程為.1橢圓y21上一點P到一個焦點的距離為2,則點P到另一個焦點的距離為()A5B6C7D8考點橢圓的標準方程題點由橢圓的標準方程求焦點、焦距答案D解析設橢圓的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,|PF1|2,結合橢圓定義|PF2|PF1|10,可得|PF2|8.2已知橢圓的焦點為(1,0)和(1,0),點P(2,0)在橢圓上,則橢圓的方程為()A.1B.y21C.1D.x21考點橢圓標準方程的求法題點待定系數(shù)法求橢圓的標準方程答案A解析c1,a()2,b2a2c23,橢圓的方程為1.3設F1,F(xiàn)2是橢圓1的兩個焦點,P是橢圓上的點,且|PF1|PF2|21,則F1PF2的面積_.考點橢圓定義及其標準方程的應用題點橢圓定義及其標準方程的綜合應用答案4解析由橢圓方程,得a3,b2,c.|PF1|PF2|2a6且|PF1|PF2|21,|PF1|4,|PF2|2,|PF1|2|PF2|2|F1F2|2,PF1F2是直角三角形,故F1PF2的面積為|PF1|PF2|244.4在橢圓y21中,有一沿直線運動的粒子從一個焦點F2出發(fā)經橢圓反射后經過另一個焦點F1,再次被橢圓反射后又回到F2,則該粒子在整個運動過程中經過的路程為_考點橢圓定義及其標準方程的應用題點橢圓定義及其標準方程的綜合應用答案4解析把粒子運動軌跡表示出來,可知整個路程為4a,即4.5若ABC的三邊長a,b,c成等差數(shù)列,且b6,求頂點B的軌跡方程考點橢圓標準方程的求法題點定義法求橢圓的標準方程解以直線AC為x軸,AC的中點為原點,建立平面直角坐標系,設A(3,0),C(3,0),B(x,y),則|BC|AB|ac2b2|AC|12,B點的軌跡是以A,C為焦點的橢圓,且a6,c3,b227.故所求的軌跡方程為1(y0)1平面內到兩定點F1,F(xiàn)2的距離之和為常數(shù),即|MF1|MF2|2a,當2a|F1F2|時,軌跡是橢圓;當2a|F1F2|時,軌跡是一條線段F1F2;當2a|F1F2|時,軌跡不存在2所謂橢圓的標準方程,指的是焦點在坐標軸上,且兩焦點的中點為坐標原點;在1與1這兩個標準方程中,都有ab0的要求,如方程1(m0,n0,mn)就不能確定焦點在哪個軸上;分清兩種形式的標準方程,可與直線截距式1類比,如1中,由于ab,所以在x軸上的“截距”更大,因而焦點在x軸上(即看x2,y2分母的大小)3對于求解橢圓的標準方程一般有兩種方法:一是通過待定系數(shù)法求解,二是通過橢圓的定義進行求解一、選擇題1平面內,F(xiàn)1,F(xiàn)2是兩個定點,“動點M滿足|為常數(shù)”是“M的軌跡是橢圓”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件考點橢圓的定義題點橢圓定義的應用答案B解析當|時,M的軌跡才是橢圓2已知方程1表示橢圓,則k的取值范圍為()Ak3且kB3k2Dk3答案B解析由題意,知需滿足解得3kb0),M為橢圓上一動點,F(xiàn)1為橢圓的左焦點,則線段MF1的中點P的軌跡是()A圓B橢圓C線段D直線考點橢圓的定義題點橢圓定義的應用答案B解析由題意,知|PO|MF2|,|PF1|MF1|,又|MF1|MF2|2a,所以|PO|PF1|a|F1O|c,故由橢圓的定義,知P點的軌跡是橢圓二、填空題8已知橢圓的焦點在y軸上,其上任意一點到兩焦點的距離和為8,焦距為2,則此橢圓的標準方程為_考點橢圓的標準方程題點由定義求標準方程答案x21解析由已知2a8,2c2,所以a4,c,所以b2a2c216151.又橢圓的焦點在y軸上,所以橢圓的標準方程為x21.9已知中心在原點,長軸在x軸上,一焦點與短軸兩端點連線互相垂直,焦點與長軸上較近頂點的距離為4(1),則此橢圓方程是_答案1解析由題意,得解得所以橢圓方程為1.10設F1,F(xiàn)2分別為橢圓y21的左、右焦點,點A,B在橢圓上,若5,則點A的坐標是_考點橢圓定義及其標準方程的應用題點橢圓標準方程的應用答案(0,1)解析根據題意,設A點坐標為(m,n),B點坐標為(c,d)F1,F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點,其坐標分別為(,0),(,0),可得(m,n),(c,d)5,c,d.點A,B都在橢圓上,n21,21.解得m0,n1,故點A坐標為(0,1)11若點O和點F分別為橢圓y21的中心和右焦點,點P為橢圓上的任意一點,則|OP|2|PF|2的最小值為_考點橢圓定義及其標準方程的應用題點橢圓標準方程的應用答案2解析由題意可知,O(0,0),F(xiàn)(1,0),設P(cos,sin),則|OP|2|PF|22cos2sin2(cos1)2sin22cos22cos3222,所以當cos時,|OP|2|PF|2取得最小值2.三、解答題12已知F1(c,0),F(xiàn)2(c,0)為橢圓1(ab0)的兩個焦點,P在橢圓上,且PF1F2的面積為b2,求cosF1PF2的值考點橢圓定義及其標準方程的應用題點橢圓定義及其標準方程的綜合應用解依題意可得整理得|PF1|PF2|.PF1F2的面積為b2,sinF1PF2b2,1cosF1PF2sinF1PF2,又sin2F1PF2cos2F1PF21,cosF1PF2(cosF1PF21舍去)13已知橢圓1上一點M的縱坐標為2.(1)求M的橫坐標;(2)求過M且與1共焦點的橢圓的方程考點橢圓標準方程的求法題點待定系數(shù)法求橢圓的標準方程解(1)把M的縱坐標代入1,得1,即x29,解得x3,即M的橫坐標為3或3.(2)橢圓1的焦點在x軸上且c2945.設所求橢圓的方程為1(a25),把M點坐標代入橢圓方程,得1,解得a215(a23舍去)故所求橢圓的方程為1.四、探究與拓展14已知橢圓1的兩個焦點為F1,F(xiàn)2,M是橢圓上一點,且|MF1|MF2|1,則MF1F2是()A鈍角三角形B直角三角形C銳角三角形D等邊三角形考點橢圓的定義題點橢圓定義的應用答案B解析由橢圓定義,知|MF1|MF2|2a4,且已知|MF1|MF2|1,所以|MF1|,|MF2|.又|F1F2|2c2,所以有|MF1|2|MF2|2|F1F2|2,因此MF2F190,即MF1F2為直角三角形15如圖所示,ABC的底邊BC12,其他兩邊AB和AC上中線的和為30,求此三角形重心G的軌跡方程,并求頂點A的軌跡方程考點橢圓標準方程的求法題點定義法求橢圓的標準方程解以BC邊所在直線為x軸,BC邊中點為原點,建立如圖所示的平面直角坐標系,則B(6,0),C(6,0),CE,BD為AB,AC邊上的中線,則|BD|CE|30.由重心性質可知,|GB|GC|(|BD|CE|)2012.B,C是兩個定點,G點到B,C的距離和等于定值20,且2012|BC|,G點的軌跡是橢圓,B,C是橢圓焦點,2c|BC|12,c6,2a20,a10,b2a2c21026264,故G點的軌跡方程為1(x10)設G(x,y),A(x,y),則有1.由重心坐標公式知故A點軌跡方程為1,即1(x30).- 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