2019屆高考數學全冊精準培優(yōu)專練(打包20套)理.zip
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培優(yōu)點十六 利用空間向量求夾角1利用面面垂直建系例1:在如圖所示的多面體中,平面平面,四邊形為邊長為2的菱形,為直角梯形,四邊形為平行四邊形,且,(1)若,分別為,的中點,求證:平面;(2)若,與平面所成角的正弦值為,求二面角的余弦值【答案】(1)見解析;(2)【解析】(1)連接,四邊形為菱形,平面平面,平面平面,平面,平面又平面,平面分別為,的中點,平面(2)設,由(1)得平面,由,得,過點作,與的延長線交于點,取的中點,連接,如圖所示,又,為等邊三角形,又平面平面,平面平面,平面,故平面為平行四邊形,平面又,平面,平面平面由(1),得平面,平面,平面,是與平面所成角,平面,平面,平面平面,解得在梯形中,易證,分別以,的正方向為軸,軸,軸的正方向建立空間直角坐標系則,由,及,得,設平面的一個法向量為,由得,令,得設平面的一個法向量為,由得,令,得,又二面角是鈍角,二面角的余弦值是2線段上的動點問題例2:如圖,在中,沿將翻折到的位置,使平面平面(1)求證:平面;(2)若在線段上有一點滿足,且二面角的大小為,求的值【答案】(1)見解析;(2)【解析】(1)中,由余弦定理,可得,作于點,平面平面,平面平面,平面平面,又,平面又平面,又,平面(2)由(1)知,兩兩垂直,以為原點,以方向為軸正方向建立如圖所示空間直角坐標系,則,設,則由,設平面的一個法向量為,則由,取平面的一個法向量可取,3翻折類問題例3:如圖1,在邊長為2的正方形中,為中點,分別將,沿,所在直線折疊,使點與點重合于點,如圖2在三棱錐中,為中點(1)求證:;(2)求直線與平面所成角的正弦值;(3)求二面角的大小【答案】(1)見解析;(2);(3)【解析】(1)在正方形中,為中點,在三棱錐中,平面平面,(2)取中點,連接,取中點,連接過點作的平行線平面,為的中點,如圖所示,建立空間直角坐標系,為的中點,平面,平面,平面平面平面平面,平面,平面平面的法向量設直線與平面所成角為,則直線與平面所成角的正弦值為(3)由(2)知,設平面的法向量為,則有即,令,則,即由題知二面角為銳角,它的大小為對點增分集訓一、單選題1如圖,在所有棱長均為的直三棱柱中,分別為,的中點,則異面直線,所成角的余弦值為( )ABCD【答案】C【解析】設的中點,以,為,軸建立坐標系,則,則,設與成的角為,則,故選C2在三棱柱中,底面是邊長為1的正三角形,側棱底面,點在棱上,且,若與平面所成的角為,則的值是( )ABCD【答案】D【解析】如圖,建立空間直角坐標系,易求點平面的一個法向量是,則故選D3如圖,圓錐的底面直徑,高,為底面圓周上的一點,則空間中兩條直線與所成的角為( )ABCD【答案】B【解析】取中點,以為原點,為軸,為軸,為軸,建立空間直角坐標系,如圖所示,圓錐的底面直徑,高,為底面圓周上的一點,可得,則,設空間兩條直線與所成的角為,即直線與所成的角為,故選B4已知四棱錐的底面是邊長為2的正方形,平面平面,是的中點,是的中點,則直線與平面所成角的正弦值是( )ABCD【答案】D【解析】由題可知,則,是的中點,設平面的法向量,直線與平面所成角為,則可取,故選D5如圖,在直三棱柱中,點與分別是和的中點,點與分別是和上的動點若,則線段長度的最小值為( )ABCD【答案】A【解析】建立如圖所示的空間直角坐標系,則,則,由于,故,當時,線段長度取得最小值,且最小值為故選A6如圖,點分別在空間直角坐標系的三條坐標軸上,平面的法向量為,設二面角的大小為,則( )ABCD【答案】C【解析】由題意可知,平面的一個法向量為:,由空間向量的結論可得:故選C7如圖所示,五面體中,正的邊長為1,平面,且設與平面所成的角為,若,則當取最大值時,平面與平面所成角的正切值為( )AB1CD【答案】C【解析】如圖所示,建立如圖所示的空間直角坐標系,則,取的中點,則,則平面的一個法向量為,由題意,又由,解得,的最大值為,當時,設平面的法向量為,則,取,由平面的法向量為,設平面和平面所成的角為,則,故選C8已知三棱柱的側棱與底面邊長都相等,在底面內的射影為的中心,則與底面所成角的正弦值等于( )ABCD【答案】B【解析】如圖,設在平面內的射影為,以為坐標原點,、分別為軸、軸建立空間直角坐標系如圖設邊長為1,則,又平面的法向量為設與底面所成角為,則故直線與底面所成角的正弦值為故選B9如圖,四棱錐中,平面,底面為直角梯形,點在棱上,且,則平面與平面的夾角的余弦值為( )ABCD【答案】B【解析】以為坐標原點,以、所在直線為、軸,建立空間直角坐標系,則,設平面的一個法向量為,則,取,得,平面的法向量為,平面與平面的夾角的余弦值為故選B10在正方體中,直線與平面所成角的余弦值為( )ABCD【答案】C【解析】分別以,為,軸建立如圖所示空間直角坐標系:設正方體的棱長為1,可得,設是平面的一個法向量,即,取,得,平面的一個法向量為,設直線與平面所成角為,;,即直線與平面所成角的余弦值是故選C11已知四邊形,現將沿折起,使二面角的大小在內,則直線與所成角的余弦值取值范圍是( )ABCD【答案】A【解析】取中點,連結,且,是二面角的平面角,以為原點,為軸,為軸,過點作平面的垂線為軸,建立空間直角坐標系,設二面角的平面角為,則,連、,則,設、的夾角為,則,故,故選A12正方體中,點在上運動(包括端點),則與AD1所成角的取值范圍是( )ABCD【答案】D【解析】以點為原點,、所在直線分別為軸建立空間直角坐標系,設正方體棱長為1,點坐標為,則,設、的夾角為,則,當時,取最大值,當時,取最小值,與所成角的取值范圍是故選D二、填空題13如圖,在直三棱柱中,是的中點,則異面直線與所成角的余弦值為_【答案】【解析】在直三棱柱中,是的中點,以為原點,為軸,為軸,過作的垂線為軸,建立空間直角坐標系,則,設異面直線與所成角為,則異面直線與所成角的余弦值為14已知四棱錐的底面是菱形,平面,且,點是棱的中點,在棱上,若,則直線與平面所成角的正弦值為_【答案】【解析】以點建立如圖所示的空間直角坐標系,設菱形的邊長為2,則, ,平面的一個法向量為,則,即直線與平面所成角的正弦值為15設,是直線,是平面,向量在上,向量在上,則,所成二面角中較小的一個的余弦值為_【答案】【解析】由題意,向量在上,向量在上,所成二面角中較小的一個余弦值為,故答案為16在四棱錐中,底面為平行四邊形,平面,則當變化時,直線與平面所成角的取值范圍是_【答案】【解析】如圖建立空間直角坐標系,得,設平面的法向量,得,又,則三、解答題17如圖所示:四棱錐,底面為四邊形,平面平面,(1)求證:平面;(2)若四邊形中,是否在上存在一點,使得直線與平面所成的角的正弦值為,若存在,求的值,若不存在,請說明理由【答案】(1)見解析;(2)存在,【解析】(1)設,連接,為中點又,平面平面,平面平面平面,而平面在中,由余弦定理得,而平面(2)過作垂線記為軸,為軸,為軸建立空間直角坐標系:,設,設平面法向量為,取,設與平面所成角為,解,18如圖,在斜三棱柱中,底面是邊長為2的正三角形,(1)求證:平面平面;(2)求二面角的正弦值【答案】(1)見解析;(2)【解析】(1)取的中點,連接,底面是邊長為2的正三角形,且,又,又,平面,又平面,平面平面(2)如圖所示,以點為坐標原點,為軸,為軸,為軸建立空間直角坐標系,其中,則,設為平面的法向量,則,即,令,得;設為平面的法向量,則,即,令,得;,二面角的正弦值為22
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類型:共享資源
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