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2018-2019學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試卷 文(含解析) (III) 一．選擇題（125分=60分） 1.一元二次不等式的解集是 ( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 將不等式左邊因式分解，然后利用一元二次不等式的解法，求得不等式的解集. 【詳解】不等式可因式分解為，對(duì)應(yīng)一元二次方程的兩個(gè)根為，故不等式的解集為.故選C. 【點(diǎn)睛】本小題主要考查一元二次不等式的解法，考查二次三項(xiàng)式的因式分解，屬于基礎(chǔ)題. 2.已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)，則的值為（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用乘法的求導(dǎo)法則對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，將x=1代入導(dǎo)函數(shù)，求得正確選項(xiàng). 【詳解】依題意fx=exlnx+exx，故f1=e，所以選B. 【點(diǎn)睛】本小題主要考查兩個(gè)函數(shù)相乘的導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，考查基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題. 3.等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且4a1， 2a2， a3成等差數(shù)列，若a1=1，則s4=（ ） A. 7 B. 8 C. 15 D. 16 【答案】C 【解析】 試題分析：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，4a1,2a2,a3成等差數(shù)列，則4a1+a3=4a2即4a1+a1q2=4a1q，解得q=2，a1=1，則S4=1?241?2=15； 考點(diǎn)：等比數(shù)列；等差中項(xiàng)； 4.ΔABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為，b，，已知b=2，B=π6，C=π4，則ΔABC的面積為（ ） A. 2+23 B. 3+1 C. 23?2 D. 3?1 【答案】B 【解析】 試題分析：根據(jù)正弦定理，，解得，，并且，所以 考點(diǎn)：1．正弦定理；2．面積公式． 【此處有視頻，請(qǐng)去附件查看】 5.設(shè)aab>b2 C. a2b2>ab 【答案】B 【解析】 【分析】 令a=?2,b=?1，計(jì)算a2,ab,b2的值，由此得出正確選項(xiàng). 【詳解】令a=?2,b=?1，則a2=4,b2=1,ab=2故a2>ab>b2，所以選B. 【點(diǎn)睛】本小題主要考查不等式的基本性質(zhì)，考查利用特殊值解法比較大小，屬于基礎(chǔ)題. 6.已知{an}為等差數(shù)列，且a7?2a4=?1，a3=0，則公差d=（ ） A. -2 B. ?12 C. 12 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】 利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合已知條件列出關(guān)于a1，d的方程組，求解即可． 【詳解】設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及已知條件得 a1+6d-2(a1+3d)=-1a1+2d=0，即a1=1a1+2d=0， 解得d=﹣12， 故選：B． 【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，熟記公式是解題的關(guān)鍵，同時(shí)注意方程思想的應(yīng)用． 7.設(shè)F1,F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，且F1F2=8,PF1+PF2=10,則ΔPF1F2面積的最大值為 ( ) A. 6 B. 12 C. 15 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】 根據(jù)F1F2=8,PF1+PF2=10，以及a2=b2+c2，計(jì)算出a,b,c的值.由于ΔPF1F2底邊F1F2長(zhǎng)度一定，故高最高的時(shí)候取得最大值，高最高為b，由此求得三角形面積的最大值. 【詳解】根據(jù)F1F2=8,PF1+PF2=10可知2c=8,2a=10，故b2=a2?c2=9，所以b=3.由于ΔPF1F2底邊F1F2長(zhǎng)度一定，故高最高的時(shí)候取得最大值，高最高為b=3，所以三角形面積的最大值為12?F1F2?b=12.故選B. 【點(diǎn)睛】本小題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查橢圓的定義，考查三角形面積的最大值的求法.屬于基礎(chǔ)題.在橢圓的有關(guān)概念中，橢圓的定義理解為橢圓上的點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為定值，也即是2a，焦距為2c，并且橢圓里面b2=a2?c2，這個(gè)條件經(jīng)常用在求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的題目上. 8.已知數(shù)列an為等差數(shù)列,bn為等比數(shù)列，且滿足：a2+a2018=π，b1?b2019=2，f(x)=cosx,f(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則f(a1+a20191+b2?b2018)= （　 ） A. ?32 B. 12 C. 32 D. ?12 【答案】A 【解析】 【分析】 根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求得a1+a2019，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求得b2?b2018，求得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)后，計(jì)算出相應(yīng)的導(dǎo)數(shù)值. 【詳解】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)由a1+a2019=a2+a2018=π，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)有b2?b2018=b1?b2019=2.fx=?sinx.fa1+a20191+b2?b2018=fπ3=?sinπ3=?32.故本題選A. 【點(diǎn)睛】本小題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查基本初等函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)以及導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題. 等差數(shù)列的性質(zhì)是：若m+n=p+q，則am+an=ap+aq，若m+n=2q，則am+an=2aq.如果數(shù)列是等比數(shù)列，則數(shù)列的性質(zhì)為：若m+n=p+q，則am?an=ap?aq，若m+n=2q，則am?an=aq2 9.已知雙曲線C：??x2a2?y2b2=1(a>0?，??b>0)的離心率為2，則點(diǎn)(4,0)到C的漸近線的距離為 A. 2 B. 2 C. 322 D. 22 【答案】D 【解析】 分析：由離心率計(jì)算出ba，得到漸近線方程，再由點(diǎn)到直線距離公式計(jì)算即可。 詳解：∵e=ca=1+(ba)2=2 ∴ba=1 所以雙曲線的漸近線方程為xy=0 所以點(diǎn)（4，0）到漸近線的距離d=41+1=22 故選D 點(diǎn)睛：本題考查雙曲線的離心率，漸近線和點(diǎn)到直線距離公式，屬于中檔題。 10.若x，y滿足x≤3，x+y≥2，y≤x， 則x + 2y的最大值為 A. 1 B. 3 C. 5 D. 9 【答案】D 【解析】 試題分析：如圖，畫(huà)出可行域， z=x+2y表示斜率為?12的一組平行線，當(dāng)z=x+2y過(guò)點(diǎn)C3,3時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值z(mì)max=3+23=9，故選D. 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃．解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是正確畫(huà)出不等式組表示的可行域，將目標(biāo)函數(shù)賦予幾何意義.求目標(biāo)函數(shù)的最值的一般步驟為：一畫(huà)、二移、三求．常見(jiàn)的目標(biāo)函數(shù)類(lèi)型有：（1）截距型：形如z=ax+by.求這類(lèi)目標(biāo)函數(shù)的最值時(shí)常將函數(shù)z=ax+by轉(zhuǎn)化為直線的斜截式：y=?abx+zb，通過(guò)求直線的截距zb的最值間接求出的最值；（2）距離型：形如z=x?a2+y?b2；（3）斜率型：形如z=y?bx?a，而本題屬于截距形式. 11.以下判斷正確的是 （ ） A. 函數(shù)y=f(x)為R上的可導(dǎo)函數(shù)，則f(x0)=0是x0為函數(shù)f(x)極值點(diǎn)的充要條件 B. 若命題p∧q為假命題，則命題p與命題q均為假命題 C. 若a>b，則1a<1b的逆命題為真命題 D. 在ΔABC中，“a>b”是“sinA>sinB”的充要條件 【答案】D 【解析】 【分析】 根據(jù)極值點(diǎn)的定義，判斷A選項(xiàng)是否正確.根據(jù)含有簡(jiǎn)單邏輯聯(lián)結(jié)詞命題的真假，判斷B選項(xiàng)是否正確.寫(xiě)出原命題的逆命題并判斷真假，由此得出C選項(xiàng)是否正確.根據(jù)三角形大角對(duì)大邊以及正弦定理，判斷D選項(xiàng)是否正確. 【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，由于導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于B選項(xiàng)，由于p∧q為假命題，則p,q至少有一個(gè)為假命題，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于C選項(xiàng)，原命題的逆命題為“若1a<1b，則a>b”，顯然1?1<11，但是?1<1，故逆命題為假命題，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于D選項(xiàng)，根據(jù)三角形中大角對(duì)大邊，及正弦定理有a>b?2RsinA>2RsinB?sinA>sinB，所以D選項(xiàng)正確.故選D. 【點(diǎn)睛】本小題主要考查極值點(diǎn)的概念，考查含有簡(jiǎn)單邏輯聯(lián)結(jié)詞命題真假性判斷，考查逆命題真假性的判斷，考查正弦定理以及充要條件等知識(shí)，屬于中檔題. 12.已知拋物線y2=4x，圓F:(x?1)2+y2=1，過(guò)點(diǎn)F作直線，自上而下順次與上述兩曲線交于點(diǎn)A,B,C,D（如圖所示），則AB?CD的值正確的是 ( ) A. 等于4 B. 最小值是1 C. 等于1 D. 最大值是4 【答案】C 【解析】 【分析】 當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線方程為x=1，代入拋物線和圓的方程，求得A,B,C,D四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，由此求得AB?CD的值.當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線的方程和拋物線的方程，利用拋物線的定義和圓的半徑求得AB?CD的表達(dá)式，由此求得AB?CD的取值范圍，進(jìn)而得出正確選項(xiàng). 【詳解】當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線方程為x=1，代入拋物線方程和圓的方程，求得A,B,C,D的縱坐標(biāo)分別為2,1,?1,?2，故AB?CD=11=1.當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線的方程為y=kx?1，代入拋物線方程并化簡(jiǎn)得k2x2?2k2+4x+k2=0，xA?xB=1.根據(jù)拋物線的定義以及圓的半徑可知AB?CD=xA+p2?r?xB+p2?r x1?x2=x1x2=1.故選C. 【點(diǎn)睛】本小題主要考查直線和拋物線的位置關(guān)系，考查拋物線的幾何性質(zhì)以及圓的性質(zhì)，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法.屬于中檔題.由于題目所給直線沒(méi)有說(shuō)明直線斜率是否存在，所以首先要對(duì)直線斜率分成斜率存在和斜率不存在兩種情況來(lái)討論.拋物線的定義在解有關(guān)過(guò)拋物線焦點(diǎn)的弦問(wèn)題時(shí)，要重點(diǎn)考慮. 二．填空題（45=20分） 13.命題“? x0>?1,x02+x0?2019>0”的否定是_____. 【答案】?x>?1,x2+x?2019≤0 【解析】 【分析】 根據(jù)特稱(chēng)命題的否定是全稱(chēng)命題，寫(xiě)出原命題的否定. 【詳解】原命題是特稱(chēng)命題，故其否定是全稱(chēng)命題，為“?x>-1,x2+x-2019≤0” 【點(diǎn)睛】本小題主要考查全稱(chēng)命題與特稱(chēng)命題，考查特稱(chēng)命題的否定是全稱(chēng)命題.屬于基礎(chǔ)題. 14.若雙曲線x2?y2m=1的離心率為3，則實(shí)數(shù)m=__________． 【答案】2 【解析】 a2=1,b2=m,e2=c2a2=a2+b2a2=1+m=3，m=2.漸近線方程是y=mx=2x. 15.若直線xa+yb=1(a＞0，b＞0)過(guò)點(diǎn)（1,2）,則2a+b的最小值為_(kāi)_____. 【答案】8 【解析】 ∵1a+2b=1∴2a+b=(2a+b)(1a+2b)=4+ba+4ab≥4+2ba?4ab=8 ，當(dāng)且僅當(dāng)b=2a 時(shí)取等號(hào). 點(diǎn)睛：在利用基本不等式求最值時(shí)，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號(hào)取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤. 16.已知直線y=kx+b與曲線y=ax2+2019?lnx相切于點(diǎn)P1,2020，則b的值為_(kāi)___. 【答案】xx 【解析】 【分析】 將切點(diǎn)代入曲線方程求得，將切點(diǎn)代入直線方程，將切點(diǎn)橫坐標(biāo)代入曲線對(duì)應(yīng)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，求得切線的斜率，由此列方程組，解方程組求得k,b的值. 【詳解】將點(diǎn)P坐標(biāo)代入曲線方程得2020=a+2019,a=1，曲線方程為y=x2+2019?lnx，對(duì)應(yīng)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為fx=2x?1x.依題意得2020=k+b2?11=k，解得k=1，b=2019. 【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)與切線方程，考查待定系數(shù)法求曲線的解析式，屬于中檔題. 三．解答題（70分） 17.已知an是公差不為零的等差數(shù)列,a1=1,a1,a3,a9成等比數(shù)列. （1）求數(shù)列an的通項(xiàng); （2）求數(shù)列bn=1anan+1的前n項(xiàng)和. 【答案】(1)an=n(2) nn+1 【解析】 分析：（1）由題設(shè)知公差d≠0，由a1=1，a1，a3，a9 成等比數(shù)列，可得1+2d1?=1+8d1+2d，解出即可得出． (2) 1an?an+1=1n(n+1)=1n-1n+1，利用“裂項(xiàng)求和”即可求得Sn． 詳解： (1)由題設(shè)知公差d≠0， 由a1=1,???a1,???a3,??a9?成等比數(shù)列得1+2d1?=1+8d1+2d, 解得d＝1，d＝0(舍去)， 故{an}的通項(xiàng)an=1+(n-1)1=n. (2) ∵1an?an+1=1n(n+1)=1n-1n+1, ∴Sn=(11-12)+(12-13)+?+(1n-1n+1)=1-1n+1=nn+1. 點(diǎn)睛：本題考查了“裂項(xiàng)求和”方法、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題． 18.?ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知2cosC(acosB+bcosA)=c. （1）求C； （2）若a=1,b=2，求c. 【答案】（1）π3（2）3 【解析】 【分析】 （1）利用正弦定理化簡(jiǎn)已知條件，求得cosC的值，由此求得C的大小.（2）利用余弦定理求得的值. 【詳解】由正弦定理得2cosCsinAcosB+sinBcosA=sinC，即2cosCsinA+B=sinC，即2cosCsinC=sinC，由于在三角形中sinC>0，故2cosC=1,cosC=12,C=π3.（2）由余弦定理得c=a2+b2?2abcosC=1+4?2=3. 【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用正弦定理解三角形，考查兩角和的正弦公式以及余弦定理解三角形，屬于基礎(chǔ)題. 19.設(shè)A，B為曲線C：y=x24上兩點(diǎn)，A與B的橫坐標(biāo)之和為4. （1）求直線AB的斜率； （2）設(shè)M為曲線C上一點(diǎn)，C在M處的切線與直線AB平行，求M點(diǎn)的坐標(biāo)及切線方程. 【答案】（1）1（2）M(2,1),y=x?1 【解析】 【分析】 （1）設(shè)出直線AB的方程，代入拋物線方程，化簡(jiǎn)后寫(xiě)出韋達(dá)定理，利用A,B橫坐標(biāo)和為4列方程，求得直線AB的斜率.（2）令導(dǎo)數(shù)等于直線AB的斜率，解方程求得切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，進(jìn)而求得切點(diǎn)坐標(biāo)以及切線方程. 【詳解】（1）由于直線和開(kāi)口向上的拋物線相交于兩點(diǎn)，故直線AB的斜率存在，設(shè)直線方程為y=kx+b，代入拋物線方程并整理得x2?4kx?4b=0，所以xA+xB=4k=4,k=1，即直線AB斜率為1.（1）依題意fx=x2=1,x=2，代入拋物線方程求得y=1，故切點(diǎn)坐標(biāo)為2,1，且斜率為1，由點(diǎn)斜式得y?1=x?2，即y=x?1. 【點(diǎn)睛】本小題主要考查直線和拋物線的位置關(guān)系，考查利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切點(diǎn)坐標(biāo)以及切線方程，屬于中檔題. 20.設(shè)函數(shù)f(x)=x3+ax2?12x. （1）當(dāng)a=0時(shí)，求f(x)的極值; （2）是否存在，使f(x)在R上恒為增函數(shù)，如存在，求出的范圍，如不存在，說(shuō)明理由. 【答案】（1）當(dāng)x=2時(shí)取極小值-16，當(dāng)x=?2時(shí)取極大值16，（2）不存在 【解析】 【分析】 （1）當(dāng)a=0時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，由此求得函數(shù)的極值.（2）求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用判別式判斷函數(shù)導(dǎo)數(shù)必定有減區(qū)間，由此判斷出不存在相應(yīng)的值. 【詳解】（1）當(dāng)a=0時(shí)，fx=x3?12x，fx=3x2?12=3x+2x?2，故函數(shù)在區(qū)間?∞,?2,2,+∞上遞增，在?2,2上遞減，所以當(dāng)x=2時(shí)取得極小值為f2=?16，當(dāng)x=?2時(shí)取得極大值f?2=16.（2）由于fx=3x2+2ax?12，其判別式Δ=4a2+144>0，故導(dǎo)函數(shù)圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，原函數(shù)必有減區(qū)間，故不存在，使得fx為R上遞增函數(shù). 【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及極值，考查存在性問(wèn)題的判斷，屬于中檔題. 21.已知橢圓M:x2a2+y2b2=1a>b>0的離心率為63，焦距為22．斜率為k的直線與橢圓M有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A,B． （1）求橢圓M的方程； （2）若過(guò)橢圓左焦點(diǎn)且k=1，求AB. 【答案】（1）x23+y2=1，（2）3 【解析】 【分析】 （1）利用離心率和焦距列方程組，結(jié)合a2=b2+c2，解方程組求得a,b的值，即求得橢圓方程.（2）求得直線的方程，聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程，化簡(jiǎn)后寫(xiě)出韋達(dá)定理，利用弦長(zhǎng)公式求得弦長(zhǎng)AB. 【詳解】（1）依題意得a2=b2+c2ca=632c=22，解得a2=3,b2=1,c2=2，所以橢圓方程為x23+y2=1.（2）由（1）知，橢圓左焦點(diǎn)坐標(biāo)為?2,0，故直線的方程為y=x+2，代入橢圓方程并化簡(jiǎn)得4x2+62x+3=0，x1+x2=?322,x1?x2=34，故AB=1+12??3222?434=3. 【點(diǎn)睛】本小題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查直線和橢圓相交所得弦長(zhǎng)公式的求法，屬于中檔題. 22.已知函數(shù)f(x)=lnxx． （1）求在處的切線方程； （2）求的單調(diào)區(qū)間. 【答案】（1）（2）在上遞增，在上遞減 【解析】 【分析】 （1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后求得函數(shù)在點(diǎn)處切線的斜率，根據(jù)點(diǎn)斜式寫(xiě)出切線方程.（2）求導(dǎo)后，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，求得函數(shù)的遞減區(qū)間. 【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?（1），由點(diǎn)斜式得切線方程為.（2）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí).故函數(shù)在上遞增，在上遞減. 【點(diǎn)睛】本小題主要考查除法的導(dǎo)數(shù)，考查切線方程的求法，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，屬于基礎(chǔ)題.