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2018-2019學年高二數(shù)學上學期期末考試試卷 理(含解析) 一、選擇題（本大題共14道小題，每小題5分，共70分） 1.在等比數(shù)列中，如果公比，那么等比數(shù)列是 (　　) A. 遞增數(shù)列 B. 遞減數(shù)列 C. 常數(shù)列 D. 無法確定數(shù)列的增減性 【答案】D 【解析】 【分析】 表示出，從差值的正負來判斷即可。 【詳解】 無法判斷正負 與的大小無法比較， 故選：D。 【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列的通項公式及數(shù)列的增減性判斷。 2.若則下列不等關(guān)系中不一定成立的是 ( 　 ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 試題分析：由同向不等式的相加性可知a+c>b+d∴a?b>d?c，由a>b可得a?c>b?c，由c>d∴?c0，下列不等式一定成立的是( 　) A. a+b2≤ab≤a2+b22 B. a+b2≤a2+b22≤ab C. ab≤a2+b22≤a+b2 D. ab≤a+b2≤a2+b22 【答案】D 【解析】 【分析】 由基本不等式得a+b2≥ab，由a+b22≤a2+b22即可判斷三個數(shù)的大小關(guān)系。 【詳解】∵ a+b2≥ab，又a+b22=a2+2ab+b24≤a2+a2+b2+b24=a2+b22， ∴ ab≤a+b2≤a2+b22 故選：D 【點睛】本題主要考查了基本不等式及等價轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題。 6.設{an}是遞增等差數(shù)列，前三項的和為12，前三項的積為48，則它的首項是（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 試題分析：設{an}的前三項為a1,a2,a3，則由等差數(shù)列的性質(zhì)，可得a1+a3=2a2，所以a1+a2+a3=3a2， 解得a2=4，由題意得a1+a3=8a1a3=12，解得a1=2a3=6或a1=6a3=2，因為{an}是遞增的等差數(shù)列，所以 a1=2,a3=6，故選B． 考點：等差數(shù)列的性質(zhì)． 7.等比數(shù)列an中，a1+a2=40，a3+a4=60，則a7+a8=（ ） A. 135 B. 100 C. 95 D. 80 【答案】A 【解析】 分析：由等比數(shù)列的性質(zhì)求解較方便． 詳解：∵{an}是等比數(shù)列，∴a1+a2,a3+a4,a5+a6,a7+a8也是等比數(shù)列， ∴a7+a8=40(6040)3=135． 故選A． 點睛：本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，本題可以用基本量法求解，即求出首項和公比后，再計算a7+a8，當然應用性質(zhì)求解更應提倡．本題所用性質(zhì)為：數(shù)列{an}是等比數(shù)列，則{ank?k+1+ank?k+2+?+ank}（k為常數(shù)）仍是等比數(shù)列． 8.不等式x2?2x+1>0的解集為 ( 　) A. R B. {x|x∈R，且x≠1} C. {x|x>1} D. {x|x<1} 【答案】B 【解析】 【分析】 由x2-2x+1>0變形為x?12>0即可求得不等式解集 【詳解】∵ x2-2x+1>0，∴ x?12>0，∴ x≠1 所以不等式x2-2x+1>0的解集為：{x|x∈R，且x≠1} 故選：B 【點睛】本題主要考查了一元二次不等式得解法，屬于基礎(chǔ)題 9.當x>3時，函數(shù)y=x+1x?3的最小值為 ( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】 對y=x+1x-3變形為y=x?3+1x?3+3，利用基本不等式求解。 【詳解】∵ y=x+1x-3可化為y=x?3+1x?3+3， 又y=x?3+1x?3+3≥2x?3?1x?3+3=5 當且僅當x=4時，ymin=5 故選：C 【點睛】本題主要考查了基本不等式的應用，注意一正二定三相等，屬于基礎(chǔ)題。 10.設變量x,y滿足x+y≤2x?y≤0x≥?2，則z=x+2y的最大值為 ( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】 作出x+y≤2x-y≤0x≥-2表示的平面區(qū)域，求出區(qū)域的頂點坐標，分別代入z=x+2y即可求得最大值。 【詳解】作出x+y≤2x-y≤0x≥-2表示的平面區(qū)域，如圖： 將A,B,C三點坐標分別代入得：z1=1+21=3，z2=?2+24=6，z3=?2+2?2=?6，所以zmax=6， 故選：C 【點睛】本題考查了線性規(guī)劃問題，作出可行域，當不等式組為線性約束條件，目標函數(shù)是線性函數(shù)，可行域為多邊形區(qū)域時（或有頂點的無限區(qū)域），直接代端點即可求得目標函數(shù)的最值。 11.雙曲線x24?y29=1的漸近線方程為 ( ) A. 4x9y=0 B. 9x4y=0 C. 2x3y=0 D. 3x2y=0 【答案】D 【解析】 【分析】 由雙曲線x24-y29=1的漸近線方程公式直接求解。 【詳解】∵雙曲線x24-y29=1的漸近線方程為：y=bax=32x ∴雙曲線x24-y29=1的漸近線方程為：3x2y=0。 故選：D。 【點睛】本題主要考查了雙曲線的簡單性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題。 12.已知向量a=(1,2,3),b=(1,1,1)，|a+b|= A. 25 B. 29 C. 5 D. 29 【答案】D 【解析】 【分析】 求出a+b的坐標，利用向量的模的公式求解即可。 【詳解】∵ a=(1,2,3),b=(1,1,1)，∴ a+b=2,3,4 ∴ |a+b|= 22+32+42=29 故選：D 【點睛】本題主要考查了向量的坐標運算及模的計算，屬于基礎(chǔ)題。 13.已知正方體ABCD?A1B1C1D1中，E,F分別為棱AB,CC1 的中點，則直線EF與BD1所成角的余弦值為 ( 　) A. ?23 B. ?23 C. 23 D. 23 【答案】D 【解析】 【分析】 如圖建立空間直角坐標系，求出E,F,B,D1點的坐標，利用直線夾角的向量求法求解。 【詳解】如圖，以D為原點建立空間直角坐標系，設正方體的邊長為2， 則E2,1,0，F(xiàn)0,2,1,B2,2,0，D10,0,2 ∴ EF=?2,1,1,BD1=?2,?2,2, ∴直線EF與BD1所成角的余弦值為：cosθ=EF?BD1EF?BD1=?2?2+1?2+12?22+12+12?22+?22+22=23. 故選：D 【點睛】本題主要考查了空間向量的應用及向量夾角的坐標運算，屬于基礎(chǔ)題。 14.直線l經(jīng)過橢圓的一個頂點和一個焦點，若橢圓中心到l的距離為其短軸長的14，則該橢圓的離心率為 (　　) A. 13 B. 12 C. 23 D. 34 【答案】B 【解析】 試題分析：不妨設直線l:xc+yb=1，即bx+cy?bc=0?橢圓中心到的距離|?bc|b2+c2=2b4 ?e=ca=12，故選B. 考點：1、直線與橢圓；2、橢圓的幾何性質(zhì). 【方法點晴】本題考查直線與橢圓、橢圓的幾何性質(zhì)，涉及方程思想、數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化化歸思想，考查邏輯思維能力、等價轉(zhuǎn)化能力、運算求解能力，綜合性較強，屬于較難題型. 不妨設直線l:xc+yb=1，即bx+cy?bc=0?橢圓中心到的距離|?bc|b2+c2=2b4?e=ca=12，利用方程思想和數(shù)形結(jié)合思想建立方程|?bc|b2+c2=2b4是本題的關(guān)鍵節(jié)點. 【此處有視頻，請去附件查看】 二、填空題(本大題共4道小題，每小題5分,共20分) 15.不等式x?1x?2<0解集為________. 【答案】{x|13，不等式f(x)≤6可化為：x<14?2x≤6或1≤x≤32≤6或x>32x?4≤6，解得：?1≤a<1或1≤x≤3或33的圖像如下圖： 要使得f(x)≥a恒成立，則fxmin≥a，即：a≤2 【點睛】（1）考查了絕對值不等式得解法—去絕對值，轉(zhuǎn)化成一元一次不等式組求解即可。 （2）考查了恒成立問題，還考查了轉(zhuǎn)化思想，把問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)f(x)的最值問題解決即可。 21.已知：雙曲線C: x216?y29=1. （1）求雙曲線C的焦點坐標、頂點坐標、離心率； （2）若一條雙曲線與已知雙曲線C有相同的漸近線，且經(jīng)過點A(23,?3)，求該雙曲線的方程. 【答案】(1)a=4,b=3,c=5，焦點(5,0)，頂點(4,0)，離心率e=54；(2)4y29-x24=1 【解析】 【分析】 （1）由雙曲線C: x216-y29=1可得：a=4,b=3，從而求得：c=5，問題得解。 （2）設所求雙曲線的方程為：x216-y29=，將A(23,-3)代入即可求得，問題得解。 【詳解】∵雙曲線C: x216-y29=1，所以a=4,b=3，∴ c=a2+b2=5， ∴雙曲線C的焦點坐標?5,0，5,0，頂點坐標?4,0，4,0，離心率e=ca=54。 （2）設所求雙曲線的方程為：x216-y29=， 將A(23,-3)代入上式得：23216??329=λ，解得：λ=?14 ∴所求雙曲線的方程為：4y29-x24=1。 【點睛】（1）主要考查了雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題。 （2）主要考查了共漸近線的雙曲線方程的特征-若雙曲線方程為：x2a2?y2b2=1 a>0,b>0 則與它共共漸近線的雙曲線方程可設為：x2a2?y2b2=λ，屬于基礎(chǔ)題。 22.如下圖所示，在四棱錐S?OABC中，SO ⊥底面四邊形OABC，四邊形OABC是直角梯形，且∠COA=∠OAB=90，OA=OS=AB=1,OC=4，點M是棱SB的中點，N是OC上的點，且ON:NC=1:3. (1)求異面直線MN與BC所成的角的余弦值； (2)求MN與平面SBC所成的角的正弦值． 【答案】（1）23015； （2）63. 【解析】 【分析】 （1）建立空間直角坐標系，求出M,N,B,C,S各點的坐標，從而求出MN,BC的坐標，利用向量夾角的坐標運算公式求解。 （2）求出平面SAB的法向量n=(1,0,1)，求出MN與n=(1,0,1)的夾角余弦值，從而求出MN與平面SBC所成的角的正弦值。 【詳解】(1)建系以o為原點，如圖，S(0,0,1),B(1,1,0),M(12,12,12),N(0,1,0),C(0,4,0)， 所以MN=(-12,12,-12),BC=(-1,3,0) cosθ=|cos?MN,BC?|=MN?BC|MN||BC|=23015 (2）A(1,0,0)，SA=(1,0,-1),AB=(0,1,0)，設n=(x,y,z)是平面SAB的法向量， 則n?SA=0n?AB=0，即x-z=0y=0，取n=(1,0,1) cos?n,MN?=n?MN|n||MN|=-63 所以MN與平面SBC所成的角的正弦值63. 【點睛】（1）主要考查了空間向量的應用---空間直線夾角問題轉(zhuǎn)化成空間向量夾角問題，還考查了向量的坐標運算。 （2）主要考查了空間向量的應用---空間線面角問題轉(zhuǎn)化成向量夾角問題求解，還考查了向量的坐標運算。 23.已知橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)且與過焦點的直線x+y?1=0相交于A,B兩點，C是AB的中點， OC的斜率為12. （1）求橢圓E的方程； （2）求△OAB的面積. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】 （1）由直線過焦點求得：，聯(lián)立直線與橢圓方程得：，表示出，再由是的中點， 的斜率為列方程即可解決問題。 （2）聯(lián)立直線與橢圓方程，求得.從而求得，再利用兩點距離公式求得，求出點到直線的距離，利用三角形面積公式求解。 【詳解】(1)因直線過橢圓的焦點， 所以，，又由得，代入橢圓方程得 ，即 設，則，所以 ，而， ，所以橢圓 (2）聯(lián)立消去得，解得. ， 又點到直線的距離，所以 【點睛】（1）本題主要考查了設而不求方法，考查了方程思想，兩點斜率公式及韋達定理，計算量一般，屬于中檔題。 （2）考查了方程思想，兩點距離公式及三角形面積公式，屬于中檔題。