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2018-2019學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試卷 理(含解析) (III)
一、單選題（每小題5分，共60分）
1.在 中，內(nèi)角 和 所對的邊分別為和 ，則 是 的（ ）
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】
在中，由正弦定理可得，則，即
又，則，即，
所以是的充要條件，故選C．
2.設(shè)橢圓的左、右焦點分別為，是上任意一點，則的周長為
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
由題意的周長為: ,故選D.
3.已知實數(shù)x,y滿足2x+y≥4x?y≥1x?2y≤2，則z=x+2y的最小值是
A. 2 B. ?2 C. 4 D. ?4
【答案】A
【解析】
分析：由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)得答案．
詳解：由約束條件2x+y≥4x-y≥1x-2y≤2，寫出可行域如圖，
化z=x+2y為y=?x2+z2，由圖可知，當(dāng)直線y=?x2+z2過A（2，0）時，直線在y軸上的截距最小，z有最小值等于z=2+20=2．
故答案為：A．
點睛：（1）本題主要考查線性規(guī)劃求函數(shù)的最值，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和數(shù)形結(jié)合思想方法.(2) 解答線性規(guī)劃時，要加強理解，不是縱截距最小，就最小，要看函數(shù)的解析式，如：y=2x?z,直線的縱截距為?z,所以縱截距?z最小時，最大.
4.已知數(shù)列{an}滿足：a1=2，an>0，an+12-an2=4(n∈N*)，那么使an<5成立的n的最大值為（ ）
A. 4 B. 5 C. 24 D. 25
【答案】C
【解析】
分析：由題意知an2為首項為1，公差為1的等差數(shù)列，由此可知an=n，再結(jié)合題設(shè)條件解不等式即可得出答案．
詳解：由題意an+12﹣an2=1，
∴an2為首項為1，公差為1的等差數(shù)列，
∴an2=1+（n﹣1）1=n，又an＞0，則an=n，
由an＜5得n＜5，
∴n＜25．
那么使an＜5成立的n的最大值為24．
故選：C．
點睛：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，考查了不等式的解法，解題時要注意整體數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用．
5.定義：離心率e=1+52的雙曲線為“黃金雙曲線”，對于雙曲線E：x2a2?y2b2=1(a>0, b>0)，為雙曲線的半焦距，如果a,b,c成等比數(shù)列，則雙曲線E
A. 可能是“黃金雙曲線” B. 可能不是“黃金雙曲線”
C. 一定是“黃金雙曲線” D. 一定不是“黃金雙曲線
【答案】C
【解析】
分析：由a,b,c成等比數(shù)列可得b2=ac，而b2=c2?a2，∵e=ca,∴e2?e?1=0解方程求得雙曲線的離心率，即可判斷雙曲線是否為“黃金雙曲線”.
詳解：∵雙曲線的方程為x2a2?y2b2=1a>0,b>0，
設(shè)為雙曲線的半焦距，∵a,b,c成等比數(shù)列，
b2=ac，又b2=c2?a2，
∴c2?a2=ac，∴c2?ac?a2=0，
∵e=ca,∴e2?e?1=0，
又e>1，∴e1+12?4?12=5+12，
所以雙曲線一定是“黃金雙曲線”，故選C.
點睛：本題考查等比中項的性質(zhì)，雙曲線的簡單性質(zhì)與離心率、新定義問題，屬于難題.新定義題型的特點是：通過給出一個新概念，或約定一種新運算，或給出幾個新模型來創(chuàng)設(shè)全新的問題情景，要求考生在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識和方法，實現(xiàn)信息的遷移，達到靈活解題的目的.遇到新定義問題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、驗證、運算，使問題得以解決.本題定義“黃金雙曲線”達到考查雙曲線的簡單性質(zhì)與離心率的目的.
6.已知x>0,y>0，若2yx+8xy>m2+2m恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是
A. m≥4或m≤?2 B. m≥2或m≤?4
C. ?2
0時，函數(shù)也單調(diào)遞減函數(shù)，應(yīng)選答案C。
點睛：解答本題的關(guān)鍵是搞清楚函數(shù)的圖像的變化情況與題設(shè)的要求，將每一個函數(shù)解析式的導(dǎo)數(shù)求出，再運用比較對比的方法將函數(shù)的解析式選出，從而使得問題獲解。
11.設(shè)函數(shù)f(x)=ex(x?1)，函數(shù)g(x)=mx?m(m>0)，若對任意的x1∈[?2,2]，總存在x2∈[?2,2]，使得f(x1)=g(x2)，則實數(shù)m的取值范圍是（ ）
A. [?3e?2,13] B. [13,e2] C. [13,+∞) D. [e2,+∞)
【答案】D
【解析】
分析：求出f(x)(x∈[?2,2]的值域A，及g(x)=mx?m,x∈[?2,2]的值域B，由A?B可得結(jié)論．
詳解：f(x)=xex，∴x∈[?2,0)時，f(x)<0，f(x)遞減，x∈(0,2]時，f(x)>0，f(x)遞增，f(x)的極小值也是最小值為f(0)=?1，當(dāng)x∈[?2,0)時，f(x)<0，f(2)=e2，∴f(x)的值域為[?1,e2]，又m>0，∴當(dāng)x∈[?2,2]時，g(x)的值域為[?3m,m]，由題意?3m≤?1m≥e2，解得m≥e2．
故選D．
點睛：本題考查轉(zhuǎn)化與化歸思想．解題關(guān)鍵是對“存在”和“任意”的理解與轉(zhuǎn)化．在集合D上：設(shè)f(x)的值域為A，g(x)的值域為B，
若對任意x1 ∈D，總存在x2∈D，使得f(x1)=g(x2)，則有A?B．
12.設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點，直線過F1交橢圓C于A，B兩點，交y軸于C點，若滿足F1C=32AF1且∠CF1F2=30°，則橢圓的離心率為
A. 33 B. 36 C. 13 D. 16
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)橢圓中線段關(guān)系，表示出AF1=43c9，F(xiàn)1F2=2c，AF2=2a?43c9。由余弦定理即可求得a與c的關(guān)系，進而求得離心率。
【詳解】因為F1是橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦點，直線過F1交y軸于C點
所以F1?c,0 ，即OF1=c
因為∠CF1F2=30°，所以CF1=23c3
又因為F1C=32AF1
所以AF1=43c9
在三角形AF1F2中，AF1=43c9，F(xiàn)1F2=2c，AF2=2a?43c9，根據(jù)余弦定理可得
cos∠AF1F2=AF12+F1F22?AF222AF1F1F2 ，代入得
?32=43c92+2c2?2a?43c92243c92c，化簡得a=3c
所以離心率為e=ca=33
所以選A
【點睛】本題考查了橢圓的基本性質(zhì)及其綜合應(yīng)用，余弦定理求橢圓斜率的用法，計算量較大，易出錯，屬于難題。
二、填空題（每小題5分，共20分）
13.設(shè)ΔABC的內(nèi)角A,B,C所對邊的長分別為a,b,c,若b+c=2a,3sinA=5sinB,則角C=_________．
【答案】2π3
【解析】
分析：利用正弦定理得a=53b，結(jié)合條件得c=73b，由余弦定理可得cosC=a2+b2-c22ab，代入求解即可.
詳解：由正弦定理，3sinA=5sinB可得：3a=5b，即a=53b.
又b+c=2a，可得c=2a-b=103b-b=73b.
由余弦定理可得cosC=a2+b2-c22ab=(53b)2+b2-(73b)22?53b2=-12.
所以C=23π.
故答案為：23π.
點睛：本題主要考查了運用正弦定理邊角互化，余弦定理求解三角形內(nèi)角，屬于基礎(chǔ)題.
14.設(shè)公比不為1的等比數(shù)列{an}滿足a1a2a3=?18，且a2,a4,a3成等差數(shù)列，則數(shù)列{an}的前4項和為_____．
【答案】58
【解析】
【分析】
：由等比中項求解a2，由等差中項求解q，由等比數(shù)列的求和公式求解S4。
【詳解】：公比不為1的等比數(shù)列{an}滿足a1a2a3=-18，所以a23=-18，解得a2=-12，a3=-12q，a4=-12q2，a2,a4,a3成等差數(shù)列，故2a4=a2+a3，解得q=-12，a1=1，由Sn=a1(1-qn)1-q可得：S4=58。
【點睛】：等比中項的性質(zhì)：an2=an-1an+1，等差中項的性質(zhì)：2an=an-1+an+1，等比數(shù)列的前n項和公式Sn=a1(1-qn)1-q。
15.如圖，點P在正方形ABCD所在的平面外，PD⊥底面ABCD，PD=AD，則PA與BD所成角的度數(shù)為____________.
【答案】60°
【解析】
【分析】
以D為坐標(biāo)原點，DA所在的直線為x軸，DC所在的直線為y軸，DP所在的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，令PD=AD=1，求得PA=(1,0,-1),BD=(-1,-1,0)，利用向量的夾角公式，即可求解.
【詳解】如圖所示，以D為坐標(biāo)原點，DA所在的直線為x軸，DC所在的直線為y軸，DP所在的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
因為點P在正方形ABCD所在平面外，PD⊥平面ABCD,PD=AD，
令PD=AD=1，所以A(1,0,0),P(0,0,1),B(1,1,0),D(0,0,0)，
所以PA=(1,0,-1),BD=(-1,-1,0),
所以cosθ=|PA?BD|PA?BD=122=12，所以θ=600，
即異面直線PA與BD所成的角為600
【點睛】本題主要考查了異面直線所成的角的求解，其中解答中根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，利用空間向量的夾角公式求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.
16.已知函數(shù)f(x)，x∈(0,+∞)的導(dǎo)函數(shù)為f(x)，且滿足xf(x)?2f(x)=x3ex,f(1)=e?1,則f(x)在(2,f(2))處的切線為________
【答案】y=(8e2?4)x?12e2+4
【解析】
∵xf′x?2fx=x3ex，
∴xf′x?2fxx3=ex．
令g(x)=f(x)x2，則g′(x)=xf′x?2fxx3=ex，
∴g(x)=f(x)x2=ex+c（為常數(shù)），
∴f(x)=x2(ex+c)，
又f(1)=e+c=e?1，
∴c=?1．
∴f(x)=x2(ex?1)，
∴f′(x)=2x(ex?1)+x2ex=(x2+2x)ex?2x，
∴f′(2)=8e2?4．
又f(2)=4(e2?1)，
∴所求切線方程為y?4(e2?1)=(8e2?4)(x?2)，即y=(8e2?4)x?12e2+4．
答案：y=(8e2?4)x?12e2+4
點睛：
（1）解答本題的關(guān)鍵是求出函數(shù)f(x)的解析式，對于條件中含有導(dǎo)函數(shù)的等式或不等式的問題，一般要根據(jù)題意構(gòu)造出函數(shù)，然后再結(jié)合題意進行解題．
（2）本題中已知導(dǎo)數(shù)g′(x)=ex構(gòu)造函數(shù)g(x)時，不要忘了把g(x)設(shè)為g(x)=ex+c的形式，否則構(gòu)造出的函數(shù)不會具有一般性．
三、解答題
17.ΔABC中，三個內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c，若m=(cosB,cosC)，n=(2a+c,b)，且m⊥n.
（1）求角B的大?。?
（2）若b=7，a+c=8，求ΔABC的面積.
【答案】（1）2π3；（2）1534.
【解析】
試題分析：（1）根據(jù)題意，由向量數(shù)量積的坐標(biāo)計算公式可得若m⊥n，則有cosB?（2a+c）+cosC?b=0，結(jié)合正弦定理可得cosB?（2sinA+sinC）+cosC?sinB=0，將其整理變形可得cosB=-12，由B的范圍分析可得答案；（2）結(jié)合題意，根據(jù)余弦定理分析可得49=a2+c2+ac，又由a+c=8，變形可得ac=15，由三角形面積公式計算可得答案．
詳解：
（1）∵m⊥n，∴cosB?(2a+c)+cosC?b=0，
∴cosB?(2sinA+sinC)+cosC?sinB=0，
∴2cosBsinA=-(sinC?cosB+cosC?sinB) =-sin(B+C)=-sinA，
∴cosB=-12，∴B=2π3.
（2）根據(jù)余弦定理可知b2=a2+c2-2accosB，∴49=a2+c2+ac，
又因為a+c=8，∴(a+c)2=64，∴a2+c2+2ac=64，∴ac=15，
則S=12ac?sinB=1534.
點睛：本題主要考查正弦定理及余弦定理的應(yīng)用以及三角形面積公式，屬于難題.在解與三角形有關(guān)的問題時，正弦定理、余弦定理是兩個主要依據(jù). 解三角形時，有時可用正弦定理，有時也可用余弦定理，應(yīng)注意用哪一個定理更方便、簡捷一般來說 ,當(dāng)條件中同時出現(xiàn)ab 及b2 、a2 時，往往用余弦定理，而題設(shè)中如果邊和正弦、余弦函數(shù)交叉出現(xiàn)時，往往運用正弦定理將邊化為正弦函數(shù)再結(jié)合和、差、倍角的正余弦公式進行解答.
18.如圖，四面體ABCD中，O是BD的中點，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=2．
（1）求證：AO⊥平面BCD；
（2）求二面角O﹣AC﹣D的余弦值．
【答案】（1）證明略（2）217
【解析】
【分析】
（1）由題意，求得AO⊥BD,CO⊥BD,AO=1,CO=3，利用勾股定理證得AO⊥CO，利用線面垂直的判定定理，即可得到AO⊥平面BCD.
（2）由（1）知OB,OC,OA兩兩垂直，以O(shè)點為原點建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面ACD和平面ACO的法向量為m,n，利用向量的夾角公式，即可求解.
【詳解】（1）因為四面體ABCD中，O是BD的中點，所以CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=2,
所以AO⊥BD,CO⊥BD,AO=1,CO=3，
所以AO2+CO2=AC2，所以AO⊥CO，
因為BD∩CO=O，所以AO⊥平面BCD.
（2）由（1）知OB,OC,OA兩兩垂直，以O(shè)點為原點建立空間直角坐標(biāo)系，
則O(0,0,0),A(0,0,1),C(0,3,0),D(-1,0,0),
∴AC=(0,3,-1),AD=(-1,0,-1)，
設(shè)平面ACD的法向量為m=(x,y,z)，
則m?AC=0m?AD=0?3y-z=0-x-z=0，取y=1，則m=(-3,1,3)，
又由平面ACO的一個法向量為n=(1,0,0)，
設(shè)二面角O-AC-D的平面角為，易知為銳角，
則cosθ=|m?n|m?n=37=217，
所以二面角O-AC-D的余弦值為217.
【點睛】本題考查了立體幾何中的線面垂直判定和二面角的求解問題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力，解答本題關(guān)鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，通過嚴(yán)密推理.同時對于立體幾何中角的計算問題，往往可以利用空間向量法，通過求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.
19.已知動點P(x,y) (其中y≥0)到x軸的距離比它到點F(0,1)的距離少1.
（1）求動點P的軌跡方程；
（2）若直線l:x?y+1=0與動點P的軌跡交于A、B兩點，求ΔOAB的面積.
【答案】(1)y=x24；（2）S△OAB=22
【解析】
試題分析：(1)由題意易得：|y|+1=|PF| 坐標(biāo)化后化簡即可得到動點P的軌跡方程；(2)聯(lián)立方程，得到：x2-4x-4=0，借助韋達定理表示△OAB的面積.
試題解析：
（1）由已知，|y|+1=|PF|即：y2+2y+1=x2+(y-1)2，
又∵y≥0，∴y=x24.
（2）設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，不妨令x1<0，x2>0，
∵l：x-y+1=0過點F(0,1)，
∴S△AOB=S△AOF+S△BOF=12(x2-x1)
聯(lián)立y=x24， x-y+1=0
則x2-4x-4=0滿足△>0，且x1-x2=x1+x22-4x1x2=42
∴S△OAB=22
20.已知公比為整數(shù)的正項等比數(shù)列{an}滿足：a3?a1=24，a1a9=310．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）令bn=(n+1)an，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn．
【答案】（1）an=3n；（2）14[(2n+1)3n+1?3]
【解析】
【試題分析】（1）利用基本元的思想，將兩個已知條件轉(zhuǎn)化為a1,q的形式，解方程組可求得a1,q和通項公式.（2）由于bn是由一個等差數(shù)列乘以一個等比數(shù)列組合而成，故用錯位相減求和法求其前n項和Sn.
【試題解析】
（1）設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，
由a1a9=310，有a12q8=310可得a1q4=35，由a3-a1=24可得a1(q2-1)=24，
兩式相除可得：8q4-81q2+81=0，整理為：(8q2-9)(q2-9)=0，由q>0，且q為整數(shù)，可解得q=3，數(shù)列{an}的通項公式為an=3n．
（2）由bn=(n+1)3n，
Sn=23+332+433+ ?+n3n-1+(n+1)3n，
有3Sn=232+333+434+ ?+n3n+(n+1)3n+1，
兩式作差有：-2Sn=6+32+33+? +3n-(n+1)3n+1，
得2Sn=(n+1)3n+1-3-3(1-3n)1-3 =(2n+1)3n+1-32，
故Sn=14[(2n+1)3n+1-3]．
21.已知橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0的離心率為22，且經(jīng)過點A2,0.
1求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
2過點A的動直線交橢圓于另一點B，設(shè)D-2,0，過橢圓中心O作直線BD的垂線交于點C，求證：OB?OC為定值.
【答案】1 x24+y22=1 24，證明見解析
【解析】
【分析】
（1）利用橢圓C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的離心率為22，且經(jīng)過點M（2，0），可求橢圓的幾何量，從而可求橢圓方程；
（2）直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理，求得B點坐標(biāo)，再結(jié)合條件求出C的坐標(biāo)，計算OB?OC，得出定值4.
【詳解】1因為橢圓的離心率e=ca=22，且a=2，所以c=2.
又b2=a2-c2=2.故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24+y22=1.
2設(shè)直線的方程為x=ty+2（一定存在，且t≠0）.
代入x2+2y2=4，并整理得t2+2y2+4ty=0.
解得yB=-4tt2+2，于是xB=tyB+2=4-2t2t2+2.
又D-2,0，所以BD的斜率為-4t2+24-2t2t2+2+2=-t2.
因為OC⊥BD，所以直線的方程為y=2xt.
與方程x=ty+2聯(lián)立，解得C-2,-4t.
故OB?OC=4t2-8t2+2+16t2+2=4t2+8t2+2=4為定值.
【點睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查定值問題，正確運用韋達定理是關(guān)鍵．
22.已知函數(shù)fx=12x2?a+1x+alnx.
（1）當(dāng)a>1時，求fx的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)a<1且a≠0時，若fx有兩個零點，求的取值范圍.
【答案】（1）fx在0,1，a,+∞上單調(diào)遞增，在1,a上單調(diào)遞減； （2）?12,0.
【解析】
【分析】
（1）求出導(dǎo)函數(shù)，分兩種情況討論，分別利用fx>0，fx<0求得x的范圍，從而可得結(jié)果；（2）討論a<0時，可得fxmin=f1=-a-12，利用?m∈0,1，fm>0，且f2=a-2+ln2>0，只需f1=-a-12<0，解得-120.
當(dāng)a>1時，由fx>0，得0a；
由fx<0，得1
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-
2018-2019學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試卷
理含解析
III
2018
2019
年高
數(shù)學(xué)
上學(xué)
期末考試
試卷
解析
III
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2018-2019學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試卷 理(含解析) (III).doc
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