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滾軸絲桿系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)優(yōu)化
D. Mundo，機(jī)械系，大學(xué)的卡拉布里亞， 87036（政務(wù)司司長(zhǎng)） ，意大利
H.S. Yan，機(jī)械工程學(xué)系，國(guó)立成功大學(xué)，臺(tái)南70101 ，中華民國(guó)
摘要：本篇文章提出了一種方法來(lái)對(duì)傳動(dòng)機(jī)構(gòu)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)優(yōu)化，過(guò)去常常通過(guò)非圓形的齒輪進(jìn)行機(jī)械系統(tǒng)的控制來(lái)完成運(yùn)動(dòng)的輸出。通過(guò)調(diào)查研究，本文將運(yùn)用滾軸絲桿系統(tǒng)進(jìn)行機(jī)械系統(tǒng)的控制來(lái)完成運(yùn)動(dòng)的輸出。設(shè)計(jì)的目標(biāo)函數(shù)是通過(guò)設(shè)計(jì)一對(duì)變半徑的齒輪作為輸入機(jī)構(gòu)，從而使得螺桿的加速度峰值最小。為了去進(jìn)行機(jī)構(gòu)的優(yōu)化問(wèn)題，滾軸絲桿系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)需要借助于無(wú)量綱的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程來(lái)分析。遺傳算法也被運(yùn)用來(lái)進(jìn)行目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化，并且在設(shè)計(jì)方法中添加了懲罰函數(shù)。
最優(yōu)機(jī)制的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析發(fā)現(xiàn)了在恒定速度上帶有恒定螺距螺桿的螺絲加速度有37 ％削減峰值。運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真就是用來(lái)驗(yàn)證該方法的。
關(guān)鍵詞：滾珠絲杠傳動(dòng);運(yùn)動(dòng)學(xué)優(yōu)化;遺傳算法;數(shù)控齒輪
1. 引言
在業(yè)界追求高生產(chǎn)力和高品質(zhì)敦促著研究者去探討有效的機(jī)制設(shè)計(jì)方法，以提高機(jī)器自動(dòng)操作性能。
提高輸出運(yùn)動(dòng)特性的傳統(tǒng)方法是假設(shè)輸入速度恒定，并建議重新設(shè)計(jì)和制造不同的機(jī)制，更好的運(yùn)動(dòng)或動(dòng)態(tài)表演。其中一個(gè)例子是Mills etal提出的柔性凸輪機(jī)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)。
處理問(wèn)題的不同辦法就是積極控制機(jī)制的輸入速度，設(shè)計(jì)了一個(gè)可變輸入/輸出駕駛系統(tǒng)。1956年，Rothbart 建議使用一種withworth快速回報(bào)機(jī)制，以提供一個(gè)凸輪可變輸入速度，從而減少凸輪尺寸，壓力角。后來(lái)，特薩和馬修為分析變量投入高速凸輪從動(dòng)機(jī)制導(dǎo)出運(yùn)動(dòng)方程。
變速裝置的快速發(fā)展及伺服控制系統(tǒng)表明了，研究者應(yīng)該設(shè)計(jì)伺服一體化機(jī)制，其特點(diǎn)是輸入速度由計(jì)算機(jī)控制。 1994年，Chew and Plan用dcservo電機(jī)減少殘余振動(dòng)高速機(jī)電在機(jī)器的殘余振動(dòng)，而Yanetal發(fā)現(xiàn)了依靠凸輪的速度曲線的運(yùn)動(dòng)學(xué)特征。此外，他們提出了通過(guò)開(kāi)發(fā)設(shè)計(jì)方法優(yōu)化電腦控制和輸入速度來(lái)主動(dòng)控制凸輪機(jī)構(gòu)的理論。
1990年， kochev提出了在平面連接老化處積極平衡搖矩和扭矩波動(dòng)，而最近Yaoetal研究了動(dòng)態(tài)變速平面機(jī)制。
作為一個(gè)平均數(shù)運(yùn)動(dòng)優(yōu)化，盡管有廣泛的文獻(xiàn)關(guān)于可變輸入速度函數(shù)，很少研究重點(diǎn)應(yīng)用這一技術(shù)的滾珠絲杠傳動(dòng)。這種機(jī)制，基本形成了由滾珠絲杠連鎖帶動(dòng)滑塊曲柄系統(tǒng)，是用在幾個(gè)工業(yè)應(yīng)用。其中一個(gè)例子是用于紡織機(jī)械的螺桿傳動(dòng)機(jī)構(gòu)。由于改善了凱恩斯-馬泰行為，可變螺距螺絲常用于商業(yè)應(yīng)用。 1993年，Yan and Liu提出了設(shè)計(jì)和制造可變螺距，導(dǎo)致了螺釘嚙合圓柱的組成。他們還提出了三次多項(xiàng)式關(guān)系直線位移滑塊和旋轉(zhuǎn)螺絲。最近，Liu etal用一個(gè)伺服曲柄滑塊機(jī)構(gòu)積極控制輸入速度，以降低峰值加速度的螺絲。
本文介紹的工作目標(biāo)是優(yōu)化輸出運(yùn)動(dòng)滾珠絲杠透射外，設(shè)計(jì)一個(gè)驅(qū)動(dòng)機(jī)制，來(lái)基本形成了一個(gè)滑塊曲柄驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)有一對(duì)非圓齒輪。然后提出聯(lián)合機(jī)制，其中輸入是不斷旋轉(zhuǎn)的速度駕駛數(shù)控齒輪，螺絲是被迫遷往最優(yōu)運(yùn)動(dòng)。純機(jī)械控制螺桿是基于運(yùn)動(dòng)學(xué)合成的可變螺距半徑線，起始于最優(yōu)輸入/輸出關(guān)系。自從一個(gè)靈活的控制不需要這種應(yīng)用，一個(gè)便宜而有效的一雙數(shù)控齒輪可取代各類(lèi)計(jì)算機(jī)控制伺服。
為了設(shè)計(jì)一個(gè)最佳的驅(qū)動(dòng)機(jī)制，非維運(yùn)動(dòng)方程被導(dǎo)出了。然后確定設(shè)計(jì)約束作為刑罰功能插入的目標(biāo)函數(shù)，而優(yōu)化問(wèn)題，是通過(guò)進(jìn)化理論解決的。遺傳算法被廣泛使用于涉及全局優(yōu)化問(wèn)題。主要優(yōu)點(diǎn)進(jìn)化技術(shù)簡(jiǎn)單，在執(zhí)行程序的數(shù)值及其很低的成本計(jì)算。此外，深層知識(shí)的數(shù)學(xué)特征搜索空間是不需要的。
一旦數(shù)控齒輪的優(yōu)化設(shè)計(jì)出來(lái)，虛擬樣機(jī)聯(lián)合機(jī)制和運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真將會(huì)用來(lái)驗(yàn)證所提出的控制策略。
2. 運(yùn)動(dòng)方程
滾珠絲杠傳動(dòng)基本由兩個(gè)合并機(jī)制形成：滾珠絲杠的聯(lián)系通過(guò)曲柄滑塊機(jī)構(gòu)帶動(dòng)。曲柄旋轉(zhuǎn)是機(jī)械系統(tǒng)的輸入，而往復(fù)旋轉(zhuǎn)螺桿是輸出。圖1機(jī)制是由五個(gè)部分組成：連桿1是基座，連桿2、 3、4，分別擔(dān)負(fù)曲軸，連桿和滑塊的驅(qū)動(dòng)機(jī)制，連桿5是螺絲杠。因次運(yùn)動(dòng)方程可以通過(guò)考慮兩個(gè)基本機(jī)制來(lái)推導(dǎo)，如圖2所示
圖2（a） ，表達(dá)出了曲柄滑塊機(jī)構(gòu)的位置方程有以下幾方面：
上式中，r2、 r3分別為曲柄和連桿的長(zhǎng)度， 2、 3分別為曲柄和連桿及r2、 r3桿與X軸之間的夾角。
聯(lián)合（1）和（2） ，位移s的滑塊，可確定為
（3）
當(dāng)曲柄旋轉(zhuǎn)角度為角度時(shí)，所用的時(shí)間為機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)的半個(gè)周期，滑塊運(yùn)動(dòng)了2r2.的距離，則可以根據(jù)關(guān)系式定義出下面幾個(gè)表達(dá)式：
（4），（5），（6）
聯(lián)合（4）和（6），并把結(jié)果帶入（3），得出，位移s的滑塊，可確定為
（7）
這兒把 r3/2r2.定義為R3。
分別對(duì)公式（7）對(duì)變量T進(jìn)行微分，分別得到了滑塊的速度、加速度、和加加速度的表達(dá)式：（8），（9），（10）
參考 2（b） ，并假設(shè)螺絲桿斜度P為常數(shù)，輸出旋轉(zhuǎn)為
（11）
從而螺絲桿的旋轉(zhuǎn)可以進(jìn)一步的表達(dá)為：
（12）
因此，自旋轉(zhuǎn)恒定螺距螺桿是沿著滑塊的位移，螺釘和滑塊量綱運(yùn)動(dòng)方程都是一樣的。螺桿的速度、加速度、和加加速度的表達(dá)式（8） -（10）
因次運(yùn)動(dòng)方程表明運(yùn)動(dòng)學(xué)恒螺距螺桿球變速器，根據(jù)最優(yōu)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的h（t）可迫使曲柄按照要求的角度來(lái)旋轉(zhuǎn)。在以后有優(yōu)化策略將被實(shí)施以設(shè)計(jì)一個(gè)最優(yōu)控制功能。
一旦非維運(yùn)動(dòng)特性的優(yōu)化螺桿決定，但實(shí)際運(yùn)動(dòng)曲線可以由以下幾個(gè)關(guān)系來(lái)確定（8）-（10）
（13），（14），（15），（16）
在這兒 , v, a ，j分別為滑塊的角位移，速度，加速度，加加速度
3. 優(yōu)化控制方案
最優(yōu)控制螺桿運(yùn)動(dòng)要求目標(biāo)函數(shù)和一套給出的設(shè)計(jì)規(guī)則。一旦優(yōu)化問(wèn)題被制定出來(lái)了，遺傳算法將用來(lái)減低成本函數(shù)。刑罰方法確保最優(yōu)解滿(mǎn)足設(shè)計(jì)規(guī)則。
3.1制定優(yōu)化問(wèn)題
優(yōu)化問(wèn)題的主要目標(biāo)是設(shè)計(jì)一個(gè)旋轉(zhuǎn)速度功能曲柄以積極控制螺旋運(yùn)動(dòng)，并盡量在滑塊前進(jìn)沖程中減少其峰值加速度，使得在工作期慣性載荷問(wèn)題可以減少。然而，無(wú)論是螺釘和曲柄運(yùn)動(dòng)特性應(yīng)履行一套運(yùn)動(dòng)學(xué)要求和一般設(shè)計(jì)規(guī)則。螺桿速度和加速度變化曲線必須連續(xù)，其值必須滿(mǎn)足要求。 因此，曲柄旋轉(zhuǎn)速度x（t）必須至少有一個(gè)二階可微函數(shù)是從輸出（7） -（10）得到的。如果曲柄旋轉(zhuǎn)的h（t）被選擇作為一種控制功能，在第四或高階多項(xiàng)式表達(dá)可以界定，然后在下列形式：
(17)
根據(jù)減少其峰值加速度為目標(biāo)函數(shù)，設(shè)計(jì)變量為a0, . . ., aN已經(jīng)確定出來(lái)了，下面根據(jù)要求來(lái)確定約束條件，并且約束條件必須滿(mǎn)足公式（6）的要求：
(18),(19)
根據(jù)公式(17)–(19)，約束條件為：
(20),(21)
為了完成制定的優(yōu)化問(wèn)題，成本函數(shù)必須界定。主要目的是為了減少螺絲的加速度峰值。然而，優(yōu)化控制功能，必須履行下列設(shè)計(jì)規(guī)則：
1.一個(gè)典型的曲柄旋轉(zhuǎn)不斷改變方向。因此，時(shí)間導(dǎo)控功能不能改變跡象。不喪失普遍性，在這項(xiàng)工作中曲柄速度將保持正的。
2.第二次導(dǎo)控功能必須溫和，因?yàn)榉菆A齒輪將用來(lái)提供有變速功能的曲柄和將決定不規(guī)則線間距的角度的突然變化值。
在設(shè)計(jì)的要求的基礎(chǔ)上，價(jià)值函數(shù)能夠被定義為
（22）
當(dāng)有一個(gè)或更多的變化，周期p用來(lái)懲罰控制功能時(shí)，根據(jù)不同的優(yōu)化策略，權(quán)值w1和w2可以調(diào)整。處罰方法保證了設(shè)計(jì)的實(shí)現(xiàn)，因?yàn)槿魏我惶仔胁煌ǖ脑O(shè)計(jì)參數(shù)比一個(gè)容許的解決方案會(huì)有更大的價(jià)值。明顯的，如果下式成立，那么公式（22）中的懲罰函數(shù)應(yīng)該被置為0.
3.2 優(yōu)化方法
為了解決在上一節(jié)基礎(chǔ)上制定的優(yōu)化問(wèn)題，一種改進(jìn)的方法被使用了。一種改進(jìn)的遺傳算法，如圖3所示。第一步設(shè)計(jì)開(kāi)始的數(shù)目，形成Np對(duì)個(gè)體。每個(gè)組成有一套設(shè)計(jì)容許的變量值。因此，一般每個(gè)個(gè)體是解決優(yōu)化問(wèn)題的一個(gè)可能，可以作為真實(shí)數(shù)字形式的一個(gè)載體。
其中n是一些獨(dú)立設(shè)計(jì)變量
進(jìn)化優(yōu)化方案使得那些滿(mǎn)足要求的優(yōu)化結(jié)果被保留了下來(lái)。這些要求的優(yōu)化結(jié)果經(jīng)歷了一套遺傳操作，以使得在以后的運(yùn)算中能夠繼續(xù)保留下來(lái)。這個(gè)過(guò)程稱(chēng)為自然選擇。再生產(chǎn)的第一步是復(fù)制過(guò)的Np對(duì)個(gè)體的選擇，其遺傳信息將合并產(chǎn)生新的Np對(duì)個(gè)體。
因此，個(gè)體規(guī)模是保持恒定的?？梢曰诓煌母怕史植?，包括均勻分布來(lái)挑選個(gè)別復(fù)制。標(biāo)準(zhǔn)化幾何排序選擇方法用于這項(xiàng)工作的算法中。每個(gè)個(gè)體按照他們的特點(diǎn)不同，不被選到的可能性 ，按下列表達(dá)
（24）
Pb是一個(gè)恒量，是與選擇最佳個(gè)體的概率成正比的， r是個(gè)體的一個(gè)排列。排列1是最佳個(gè)體， Np是最差的一個(gè)選擇。因此，進(jìn)行篩選的過(guò)程中，成本函數(shù)中的每個(gè)個(gè)體必須評(píng)估以保證最后選擇的是最好的。
一旦兩個(gè)體X1和X2被選定復(fù)制，遺傳操作（交叉）會(huì)產(chǎn)生一個(gè)新的個(gè)體X1，其基因是來(lái)自原有X1和X2的一些特點(diǎn)。在這項(xiàng)工作中的新的個(gè)體所創(chuàng)造的手段啟發(fā)式交叉操作如下：
（25）
而rn是一個(gè)實(shí)數(shù),隨機(jī)選取范圍[ 0,1 ]
根據(jù)精密計(jì)劃，新個(gè)體中有比在他之前的兩個(gè)組合更加優(yōu)越才會(huì)進(jìn)入下一選擇。否則新個(gè)體將會(huì)被拒絕，X1和X2之間的最佳染色體會(huì)被保留。
復(fù)制的最后一步是突變，變更新個(gè)體的部分遺傳信息。突變是必要的，以防止算法收斂趨近當(dāng)?shù)氐淖畹蜅l件，是、而且突變需帶有概率 PM 2 [0,1]一起進(jìn)行 。在這項(xiàng)工作中非均勻突變也是要利用的。個(gè)體基因的突變是按下列計(jì)劃隨意改變的：
（26）
ri是范圍[ 0,1 ]內(nèi)的隨機(jī)數(shù) ; ui 和 li是基因邊界上和下界的;f（g）是一個(gè)函數(shù)，定義如下：
（27）
其中rn2范圍[ 0,1 ]內(nèi)的一個(gè)隨機(jī)數(shù)，b是形狀變化參數(shù)，G是循環(huán)次數(shù)； Gmax是最高迭代次數(shù)。
序列健身評(píng)價(jià)，選擇個(gè)人復(fù)制，交叉和變異是迭代，根據(jù)該圖3所示，直到人數(shù)最多的幾代人出現(xiàn)或?qū)崿F(xiàn)低成本。
3.3 優(yōu)化控制函數(shù)
在開(kāi)始進(jìn)行程序的迭代之前，遺傳參數(shù)必須初始化。開(kāi)始個(gè)體數(shù)目的選擇應(yīng)該建立數(shù)字
化設(shè)計(jì)變量的基礎(chǔ)之上。
在應(yīng)用中存在著被選為控制功能的第七次多項(xiàng)式函數(shù)。因此，根據(jù)均衡方程式 （17），（20）和（21） ， 6個(gè)設(shè)計(jì)變量必須運(yùn)用進(jìn)化理論。開(kāi)始的個(gè)體數(shù)目是 60個(gè)。設(shè)置Pb = 0.5, PM =0.1,Gmax=100和b=0.85 ，最佳個(gè)體數(shù)目被認(rèn)定為如下
（28）
優(yōu)化控制功能，即因次曲柄旋轉(zhuǎn)由平衡方程（17）-（21）和最佳個(gè)人基因所決定，就是：
如圖4所示，從優(yōu)化的過(guò)程中得出了曲柄的位移，速度，加速度和加加速度曲線，
由 OPT(T)和其對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)方程式 （7）-（10）得出 ，螺絲桿的最佳曲線量綱角位移，速度，加速度和加加速度的曲線。
在如圖5中，進(jìn)行了輥軸絲杠為變速度的輸入進(jìn)行了優(yōu)化，并將這些曲線與輥軸絲杠為恒定速度的輸入相比。
當(dāng)以一個(gè)變量投入高速傳輸時(shí)，機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特點(diǎn)和文獻(xiàn)Liu [12]得出的結(jié)果基本上是一致的。
在表1中，總結(jié)出來(lái)了在不同的結(jié)構(gòu)參數(shù)組合下，得到了螺桿的位移、速度、加速度、及加加速度曲線，在表1中并對(duì)不同的結(jié)構(gòu)參數(shù)組合曲線的峰值進(jìn)行了比較。
目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化的主要是問(wèn)題，如公式3所示 ，降低峰值加速度的螺絲。從表1中可以看出，輥軸絲杠為變速度的輸入與輥軸絲杠為恒定速度的輸入相比，螺絲加速度的峰值減小了36.9%，而當(dāng)使用伺服控制機(jī)械系統(tǒng)時(shí)，螺絲加速度的峰值減小了19.4%。而使用上面的兩種方法時(shí)，螺桿的速度、加加速度與原來(lái)的比較都有所減小，因此上面提出的機(jī)構(gòu)的優(yōu)化方法得到了證明。為了去評(píng)價(jià)本文所提出的優(yōu)化算法的性能，優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，在圖6中，找出了快速收斂至近最優(yōu)解，最快的收斂算法和最好的接近目標(biāo)函數(shù)的算法被找到了，并且在經(jīng)過(guò)了僅僅68步迭代運(yùn)算以后，函數(shù)值與目標(biāo)函數(shù)值達(dá)到了98.9%。最終的結(jié)果被得到了在100步迭代的時(shí)候。因此，該算法能做出6000份合適的不同解決辦法的評(píng)價(jià)，因?yàn)閭€(gè)體數(shù)是60。計(jì)算算法的時(shí)間，在AMD Athlon XP 3000上執(zhí)行的，是54.32s。
變機(jī)構(gòu)的效果也經(jīng)過(guò)了上面優(yōu)化算法的幾次檢測(cè)，盡管在優(yōu)化過(guò)程中，開(kāi)始的各個(gè)值選擇不同，但是，最后的解決方法基本上都是類(lèi)似。因此，開(kāi)始提出的目標(biāo)函數(shù)能夠得到很好擺脫當(dāng)?shù)氐淖畹蜅l件。
fig 6
4.驅(qū)動(dòng)機(jī)制的設(shè)計(jì)
為了使得曲柄旋轉(zhuǎn)按照上面最優(yōu)化的方案來(lái)運(yùn)動(dòng)，如圖4所示，一對(duì)非圓齒輪可以用來(lái)代替更昂貴的電腦控制伺服系統(tǒng)。在此應(yīng)用中，事實(shí)上，運(yùn)用一對(duì)非圓齒輪這種具體的機(jī)械控制螺桿運(yùn)動(dòng)學(xué)是有效的，因?yàn)殪`活的控制系統(tǒng)，在這里是不需要的。
設(shè)計(jì)一對(duì)非圓齒輪是基于輸入/輸出關(guān)系的要求。在這個(gè)應(yīng)用中，持續(xù)的旋轉(zhuǎn)速度假定為傳動(dòng)齒輪的轉(zhuǎn)速，而從動(dòng)齒輪，必須按照優(yōu)化曲柄運(yùn)動(dòng)規(guī)律所決定的來(lái)運(yùn)動(dòng)，如公式（29）。此外，雖然機(jī)械控制螺旋運(yùn)動(dòng)在前一段行程的沖擊中是必要的，但是，利用非圓齒輪在后一段行程的沖擊設(shè)計(jì)中也是需要的。因?yàn)椴话ň唧w的要求，履行連續(xù)性傳輸?shù)奈ㄒ粭l件，曲柄后段行程的設(shè)計(jì)中，可以用多項(xiàng)式表達(dá)，如下：
（30）
a0到a7必須依靠下面的幾個(gè)表達(dá)式定義：
（31），（32），（33），（34）
一旦曲柄的兩個(gè)行程被定義了，變量齒輪的函數(shù)表達(dá)式如下：
（35）
Xout是從動(dòng)齒輪角速度，Xin = 1是傳動(dòng)齒輪輸入速度的量綱恒速。圖7顯示可變齒輪比規(guī)定了具體控制任務(wù)以及與此相關(guān)的應(yīng)用程序。注意到，在結(jié)果（31）中，齒輪比的傳動(dòng)比為一。
fig 7
fig 8
綜合的螺桿線斜度能夠按照以下的公式定義：
（36），（37）
其中ψ（T）= T是傳動(dòng)齒輪的因次旋轉(zhuǎn)，R1和R2是從動(dòng)齒輪的可變半徑，D是軸心之間的距離，其軸線如圖8所示。結(jié)合公式（36）及（37），在應(yīng)用中，D設(shè)置為100毫米，，可變螺距半徑在圖9（a）進(jìn)行了合成的。設(shè)計(jì)過(guò)程的最后一步，是齒廓。在本文的數(shù)學(xué)模型中，齒廓是基于以下微分方程[19] ：
（38）
dψ是傳動(dòng)齒輪旋轉(zhuǎn)的角速度，dy是位移值，即組成相應(yīng)的接觸點(diǎn)沿位移線的位移，α是一個(gè)壓力角，沿各剖面保持恒定。
為了產(chǎn)生第一個(gè)配對(duì)的齒輪副，當(dāng)前接觸點(diǎn)的坐標(biāo)值必須由公式（38）計(jì)算得出 ，從任意一個(gè)齒形的交點(diǎn)開(kāi)始。基于兩個(gè)matrices旋轉(zhuǎn)矩陣，角度ψ和h（ψ）包含在內(nèi)進(jìn)行坐標(biāo)變換，然后進(jìn)行操作，獲得兩個(gè)不同點(diǎn)，從當(dāng)前的接觸點(diǎn)，進(jìn)行對(duì)共軛分布。當(dāng)下列情形之一發(fā)生時(shí)，這個(gè)綜合的優(yōu)化過(guò)程將停止下來(lái)，：徑向輪齒的尺寸超過(guò)既定的增值;距離目前聯(lián)絡(luò)點(diǎn)和齒輪中心固定。最后條件，實(shí)際上意味著削弱。
這個(gè)數(shù)值程序，然后將這個(gè)數(shù)值程序運(yùn)用到每一個(gè)輪齒上，下面已知直徑螺距和齒輪數(shù)的基礎(chǔ)上，對(duì)第一個(gè)嚙合點(diǎn)進(jìn)行修改。壓力角也進(jìn)行了一定的修改，使該夾角壓力線與螺距曲線的正常線保持恒定。顯然，對(duì)不同齒輪設(shè)計(jì)時(shí)，兩嚙合齒要假設(shè)同一壓力角。
在如圖9（a）中所示，假設(shè)齒數(shù)nZ = 35，平均值壓力角等于20°,在圖9（b）中產(chǎn)生了齒輪.
5.虛擬樣機(jī)及運(yùn)動(dòng)仿真
虛擬運(yùn)動(dòng)學(xué)分析是對(duì)模型進(jìn)行運(yùn)動(dòng)仿真，以驗(yàn)證提出的優(yōu)化方法。列圖10中所示 ，一個(gè)結(jié)合機(jī)制的三維模型，是借助計(jì)算機(jī)輔助軟件，PTC- ProEngineer 造出的。虛擬滾珠絲杠傳動(dòng)列的規(guī)格在表2中列出了。
結(jié)合機(jī)制的運(yùn)動(dòng)學(xué)是通過(guò)相同軟件的機(jī)制模塊模擬的。驅(qū)動(dòng)齒輪軸提供一個(gè)恒速驅(qū)動(dòng)，而從動(dòng)齒輪根據(jù)最優(yōu)運(yùn)動(dòng)規(guī)律轉(zhuǎn)動(dòng)，由公式（29）及（30）中確定。滾珠絲杠傳動(dòng)的曲柄是根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)曲線圖4被迫運(yùn)動(dòng)。用兩個(gè)旋轉(zhuǎn)接頭連接桿和曲柄以及桿和滑塊，而后者則是用一個(gè)圓柱副連接螺桿。第三旋轉(zhuǎn)副把螺桿與地面的框架連接在一起。
為了再現(xiàn)滾珠絲杠傳動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)，使關(guān)系得以確立，根據(jù)公式（11）中，螺桿旋轉(zhuǎn)和滑塊線性位移（螺桿聯(lián)合），兩者的關(guān)系需要設(shè)立。
在對(duì)虛擬樣機(jī)的運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真時(shí)，測(cè)量了螺絲桿的運(yùn)動(dòng)學(xué)特征。結(jié)果如圖11 ，如圖所示，對(duì)沒(méi)有進(jìn)行優(yōu)化時(shí)的螺桿恒定輸入和優(yōu)化后的機(jī)構(gòu)進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)學(xué)特性的比較。
螺桿加速度曲線不斷輸入速度配置顯示峰值4693.4 rad/s2 ，而最高值3002.3 rad/s2已計(jì)算出作為最優(yōu)機(jī)制。因此，運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真證實(shí)了最優(yōu)控制的結(jié)果，從而驗(yàn)證方法的有效性。
6.結(jié)論
本篇文章提出了一種方法來(lái)對(duì)滾軸絲桿傳動(dòng)機(jī)構(gòu)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)優(yōu)化，優(yōu)化控制的方法已經(jīng)被應(yīng)用了，即通過(guò)設(shè)計(jì)一對(duì)變半徑的齒輪來(lái)作為輸入機(jī)構(gòu)來(lái)進(jìn)行了機(jī)械系統(tǒng)的控制來(lái)完成運(yùn)動(dòng)的輸出。
首先，通過(guò)對(duì)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，得到了一些無(wú)量綱的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，通過(guò)機(jī)構(gòu)的優(yōu)化來(lái)使得螺桿的加速度峰值減小，當(dāng)機(jī)構(gòu)的加速度峰值減小了，則機(jī)構(gòu)在工作行程中的機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)的慣性力也就減小了，工作也就更穩(wěn)定了。運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，要求對(duì)雙方，即輸入和輸出機(jī)制，進(jìn)行分析和考慮，同時(shí)還要運(yùn)用到界定的控制功能和實(shí)施優(yōu)化程序中去。進(jìn)化理論一直作為一種全局優(yōu)化技術(shù)用來(lái)運(yùn)行遺傳算法，同時(shí)用處罰法來(lái)進(jìn)行程序的優(yōu)化，這樣就使得優(yōu)化法變?yōu)榱艘粋€(gè)可行的解決辦法。
提出控制方法的最后一步，是在最優(yōu)解的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)出一對(duì)非圓齒輪。
通過(guò)分析結(jié)合機(jī)制的運(yùn)動(dòng)學(xué)，提出的最優(yōu)控制策略表明其能有效地改善輸出運(yùn)動(dòng)特性。在不斷的投入高速螺旋傳輸中，螺絲加速度峰值減小了36.9%，最終的結(jié)果也通過(guò)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真得到了證實(shí)。
由于通過(guò)簡(jiǎn)單的組合機(jī)構(gòu)而達(dá)到了很好的效果，作者認(rèn)為本文提出的這種最優(yōu)控制方法，對(duì)于設(shè)計(jì)和制造工業(yè)涉及機(jī)械螺桿傳動(dòng)機(jī)構(gòu)，特別是重載應(yīng)用，是一個(gè)重大的貢獻(xiàn)。