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2019屆高三數(shù)學(xué)12月月考試題 文(含解析) 說(shuō)明：本試卷分為第Ⅰ、Ⅱ卷兩部分，請(qǐng)將第Ⅰ卷選擇題的答案填在機(jī)讀卡上 第Ⅱ卷可在各題后直接作答。全卷共150分，考試時(shí)間120分鐘. 一．選擇題(本大題共12題，每小題5分，共60分) 1.設(shè)全集為R，函數(shù)的定義域?yàn)镸，則為 （ ） A. (－∞，1) B. (1，＋∞) C. (－∞，1] D. [1，＋∞) 【答案】A 【解析】 【分析】 求出函數(shù)f（x）的定義域M，再寫出它的補(bǔ)集即可． 【詳解】全集為R，函數(shù)的定義域?yàn)? M＝{x|0}＝{x|x1}， 則?RM＝{x|x<1}＝(－∞，1)． 故選：A． 【點(diǎn)睛】本題考查了補(bǔ)集的定義與應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目． 2.已知復(fù)數(shù) ，則的值為 （ ） A. 3 B. C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由z求出，然后直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算求解． 【詳解】由z＝，得z?（2﹣i）（2+i）＝4﹣i2＝5． 故選：C． 【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算，是基礎(chǔ)的計(jì)算題． 3.“1＜x＜2”是“x＜2”成立的 （ ） A. 充分必要條件 B. 充分不必要條件 C. 必要不充分條件 D. 既不充分也不必要條件 【答案】A 【解析】 試題分析：若成立，則成立；反之，若成立，則不一定成立，因此“”是“”成立的充分不必要條件； 考點(diǎn)：充分必要條件； 4.已知,則值為（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 分析：由題意結(jié)合誘導(dǎo)公式求得的值，然后求解其平方即可. 詳解：由誘導(dǎo)公式可得：， 則. 本題選擇D選項(xiàng). 點(diǎn)睛：本題主要考查誘導(dǎo)公式及其應(yīng)用，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力. 5.函數(shù)的圖象大致是（ ） 【答案】A 【解析】 試題分析：因?yàn)?所以函數(shù)為奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,故排除BC,當(dāng)時(shí)，,故排除D．故A正確． 考點(diǎn)：函數(shù)圖像． 6.已知為兩個(gè)平面，l為直線，若，則下面結(jié)論正確的是（ ） A. 垂直于平面的平面一定平行于平面 B. 垂直于平面的平面一定平行于平面 C. 垂直于平面的平面一定平行于直線 D. 垂直于直線l的平面一定與平面都垂直 【答案】D 【解析】 因?yàn)橄嘟徊灰欢ù怪?，所以垂直于的平面可能與平面相交，A不正確； 垂直于直線的直線可能在平面內(nèi)，B不正確； 如圖可知，垂直于的平面與垂直，C不正確； 設(shè)，而，由面面垂直判定可得，D正確，故選D 7.設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)?，在區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)，則此點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于1的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 試題分析：由表示的平面區(qū)域?yàn)?，為一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，而在內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)，則此點(diǎn)到點(diǎn)的距離大于1，可轉(zhuǎn)而找出到點(diǎn)的距離小于等于1的點(diǎn)為；以為圓心，半徑為1的圓，落在內(nèi)的面積為，而距離大于1的面積為：，由幾何概型，化為面積比得：． 考點(diǎn)：幾何概型的算法． 8.已知，（），則數(shù)列的通項(xiàng)公式是 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 由，得：， ∴為常數(shù)列，即，故 故選：C 9.若函數(shù)與在區(qū)間上都是減函數(shù)，則的取值范圍 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 略 10.若f(x)＝x2－2x－4lnx，則f′(x)＞0的解集為（ ） A. (0，＋∞) B. (－1，0)∪(2，＋∞) C. (－1，0) D. (2，＋∞) 【答案】C 【解析】 試題分析：函數(shù)的定義域?yàn)?，所以，解? 考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)與不等式. 11.正項(xiàng)等比數(shù)列中,，若, 則的最小值等（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由等比數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合已知條件可求q，結(jié)合通項(xiàng)公式可求m+n，代入所求式子，利用基本不等式即可求． 【詳解】∵正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，axx＝axx+2axx， axxq4＝axxq2+2axx， ∵axx＞0， ∴q4＝q2+2， 解可得，q2＝2， ∴， ∵， 4 qm+n﹣2＝4， ∴m+n＝6， 則（）（m+n）， 當(dāng)且僅當(dāng)且m+n＝6即m＝n＝3時(shí)取等號(hào)． 故選：C． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列的 性質(zhì)及基本不等式的簡(jiǎn)單應(yīng)用，求解最值的關(guān)鍵是進(jìn)行1的代換． 12.已知直線l的傾斜角為，直線與雙曲線 的左、右兩支分別交于M、N兩點(diǎn)，且都垂直于x軸（其中 分別為雙曲線C的左、右焦點(diǎn)），則該雙曲線的離心率為( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根據(jù)題意設(shè)點(diǎn)，，則，又由直線的傾斜角為，得，結(jié)合點(diǎn)在雙曲線上，即可求出離心率. 【詳解】直線與雙曲線的左、右兩支分別交于、兩點(diǎn)，且、都垂直于軸， 根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性，設(shè)點(diǎn)，， 則，即，且， 又直線的傾斜角為， 直線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，， ，整理得，即，解方程得，（舍） 故選D. 【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)、直線與雙曲線的位置關(guān)系及雙曲線離心率的求法，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題. 圓錐曲線離心率的計(jì)算，常采用兩種方法： 1、通過(guò)已知條件構(gòu)建關(guān)于的齊次方程，解出. 根據(jù)題設(shè)條件（主要用到：方程思想，余弦定理，平面幾何相似，直角三角形性質(zhì)等）借助之間的關(guān)系，得到關(guān)于的一元方程，從而解得離心率. 2、通過(guò)已知條件確定圓錐曲線上某點(diǎn)坐標(biāo)，代入方程中，解出. 根據(jù)題設(shè)條件，借助表示曲線某點(diǎn)坐標(biāo)，代入曲線方程轉(zhuǎn)化成關(guān)于的一元方程，從而解得離心率. 第Ⅱ卷（非選擇題90分） 二．填空題（本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分） 13.已知函數(shù)f（x）=的圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線過(guò)點(diǎn)（-1,1），則a=_______． 【答案】-5 【解析】 【分析】 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=3x2+a，f′（1）=3+a，而f（1）=a+2,根據(jù)點(diǎn)斜式得到程，利用切線的方程經(jīng)過(guò)的點(diǎn)求解即可． 【詳解】函數(shù)f（x）=x3+ax+1的導(dǎo)數(shù)為：f′（x）=3x2+a，f′（1）=3+a，而f（1）=a+2， 切線方程為：y﹣a﹣2=（3+a）（x﹣1），因?yàn)榍芯€方程經(jīng)過(guò)（-1，1）， 所以1﹣a﹣2=（3+a）（-1﹣1）， 解得a=-5． 故答案為：-5. 【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在某一點(diǎn)處的切線方程；步驟一般為：一，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，代入已知點(diǎn)得到在這一點(diǎn)處的斜率；二，求出這個(gè)點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)；三，利用點(diǎn)斜式寫出直線方程. 14.“斐波那契”數(shù)列由十三世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家斐波那契發(fā)現(xiàn)．?dāng)?shù)列中的一系列數(shù)字常被人們稱之為神奇數(shù)．具體數(shù)列為1，1，2，3，5，8，即從該數(shù)列的第三項(xiàng)數(shù)字開(kāi)始，每個(gè)數(shù)字等于前兩個(gè)相鄰數(shù)字之和．已知數(shù)列為“斐波那契”數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)和，若則__________．(用M表示) 【答案】 【解析】 分析：由“斐波那契”數(shù)列定義找與的關(guān)系。由定義可得，依次迭代可得 。進(jìn)而可得。可求得。 詳解：由“斐波那契”數(shù)列可知 。 所以 ， 所以 點(diǎn)睛：有關(guān)數(shù)列求和問(wèn)題，若是等差、等比數(shù)列，應(yīng)根據(jù)等差、等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式求解；若不是等差、等比數(shù)列，看能否構(gòu)造等差、等比數(shù)列，再用等差、等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式求解；其它特殊數(shù)列，應(yīng)根據(jù)特殊數(shù)列的定義求解，如“斐波那契”數(shù)列，應(yīng)根據(jù)其定義，依次迭代尋找前項(xiàng)和與的關(guān)系，進(jìn)而求解。 15.學(xué)校藝術(shù)節(jié)對(duì)同一類的四項(xiàng)參賽作品，只評(píng)一項(xiàng)一等獎(jiǎng)，在評(píng)獎(jiǎng)揭曉前，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)對(duì)這四項(xiàng)參賽作品預(yù)測(cè)如下: 甲說(shuō)：“作品獲得一等獎(jiǎng)”；乙說(shuō)：“作品獲得一等獎(jiǎng)” 丙說(shuō)：“兩項(xiàng)作品未獲得一等獎(jiǎng)” 丁說(shuō)：“是或作品獲得一等獎(jiǎng)” 若這四位同學(xué)中只有兩位說(shuō)的話是對(duì)的，則獲得一等獎(jiǎng)的作品是__________． 【答案】C. 【解析】 若獲得一等獎(jiǎng),則甲、丙、丁的話是對(duì)的,與已知矛盾;若獲得一等獎(jiǎng),則四人的話是錯(cuò)誤的,與已知矛盾;若獲得一等獎(jiǎng),則乙、丙的話是對(duì)的,滿足題意;所以獲得一等獎(jiǎng)的作品是. 16.已知直線交拋物線于E和F兩點(diǎn)，以EF為直徑的圓被x軸截得的弦長(zhǎng)為，則k=__________ . 【答案】 【解析】 由消去y整理得， 設(shè)， 則， ∴． 由拋物線的定義可得， ∴以為直徑的圓的半徑為，圓心到x軸的距離為． 由題意得， 解得． 答案： 三.解答題 （本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.） 17.已知，為的反函數(shù)，不等式的解集為 (I)求集合； (II)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域. 【答案】（1）；（2） 【解析】 試題分析： （1）由題意得不等式，解不等式即可得到集合M；（2）先求反函數(shù)，進(jìn)而得到的解析式，再求函數(shù)的值域。 試題解析： （1）∵ ，即， ∴ 解得。 故。 （2）∵， ∴，即。 ∴， ∵， ∴， ∴， ∴函數(shù)的值域?yàn)椤? 18.中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知a=3，cosA=,B=A+， (I)求b的值； (II)求的面積. 【答案】（1）（2） 【解析】 試題分析：（1）借助題設(shè)條件運(yùn)用正弦定理及同角三角函數(shù)之間的關(guān)系求解；（2）借助題設(shè)運(yùn)用誘導(dǎo)公式及三角變換公式求解. 試題解析： （1）因，故……1分 因，故.……3分 由正弦定理，得.……6分 （2）……8分 ……10分 的面積為.……12分 考點(diǎn)：誘導(dǎo)公式、三角變換公式及正弦定理等有關(guān)知識(shí)的綜合運(yùn)用. 19.如圖，多面體中，,平面，且. （Ⅰ）為線段中點(diǎn)，求證：平面； （Ⅱ）求多面體的體積. 【答案】(1)見(jiàn)解析；（2） . 【解析】 試題分析：（Ⅰ）通過(guò)證明面面平行得到線面平行；（Ⅱ）將多面體分割成三棱錐和四棱錐，再分別算出它們的體積。它們之和即為所求。 試題解析：（Ⅰ）證明：取中點(diǎn)，由平面平面∴平面 （Ⅱ） 20.已知數(shù)列前項(xiàng)和為，滿足， (I)求證：存在實(shí)數(shù)數(shù)使得列是等比數(shù)列； (II)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和 【答案】（1）見(jiàn)解析；（2） 【解析】 試題分析：(1)由得到數(shù)列 的遞推關(guān)系，利用等比數(shù)列的定義加以證明；(2)由（1）問(wèn)明確數(shù)列的通項(xiàng)，進(jìn)而利用錯(cuò)位相減法求和. 試題解析： (1）（1）當(dāng)時(shí)，，（2）當(dāng)時(shí)， ， 設(shè)，則 是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列. (2)由(1）得，， 點(diǎn)睛：用錯(cuò)位相減法求和應(yīng)注意的問(wèn)題(1)要善于識(shí)別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形；(2)在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“Sn－qSn”的表達(dá)式；(3)在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解. 21.已知函數(shù)f(x)＝ex＋e－x，g(x)＝2x＋ax3，a為實(shí)常數(shù)． (I)求g(x)的單調(diào)區(qū)間； (II)當(dāng)a＝－1時(shí)，證明：存在x0∈(0，1)，使得y＝f(x)和y＝g(x)的圖象在x＝x0處的切線互相平行. 【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析. 【解析】 【分析】 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可； （2）代入a的值，令h（x）＝f′（x）﹣g′（x）＝ex﹣e﹣x﹣2+3x2，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可． 【詳解】（1）g′(x)＝3ax2+2， 當(dāng)a≥0時(shí)，g′(x)＞0故g(x)的單調(diào)增區(qū)間為（﹣∞，+∞）. 當(dāng)a＜0時(shí)，令g′(x)≥0得x，g(x)的單調(diào)增區(qū)間為[x]， g（x）的單調(diào)減區(qū)間為：（﹣∞，），（，+∞） （2）當(dāng)a＝﹣1時(shí)，f′(x)＝ex﹣e﹣x，g′(x)＝2﹣3x2， x0∈（0，1），使得y＝f(x)和y＝g(x)的圖象在x＝x0處的切線互相平行． 即x0∈（0，1）使得f′（x0）＝g′（x0），且f（x0）≠g（x0）， 令h(x)＝f′(x)﹣g′(x)＝ex﹣e﹣x﹣2+3x2， h（0）＝﹣2＜0，h（1）＝e2+3＞0， ∴x0∈（0，1）使得f′（x0）＝g′（x0）. ∵當(dāng)x∈（0，）時(shí),g′(x)＞0，當(dāng)x∈（，1）時(shí)g′(x)＜0， ∴所以g(x)在區(qū)間（0，1）的最大值為g（），g（）2. 而f(x)＝ex+e﹣x≥22， ∴x∈（0，1）時(shí)f(x)＞g(x)恒成立，∴f（x0）≠g（x0）． 從而當(dāng)a＝﹣1時(shí)，：?x0∈（0，1），使得y＝f(x)和y＝g(x)的圖象在x＝x0處的切線互相平行． 【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題． 請(qǐng)考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分． 22.【選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】 已知某圓的極坐標(biāo)方程為：． (I)將極坐標(biāo)方程化為普通方程，并選擇恰當(dāng)?shù)膮?shù)寫出它的參數(shù)方程； (II)若點(diǎn)P（x，y）在該圓上，求x+y的最大值和最小值． 【答案】（1）；（2）最大值為6，最小值為2． 【解析】 試題分析：（1）極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間的關(guān)系是，以及，應(yīng)用此公式可相互轉(zhuǎn)化；（2）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因此可設(shè)的坐標(biāo)為，即則有，最大（小）值即得.這實(shí)質(zhì)是圓的參數(shù)方程的應(yīng)用. 試題解析：（1）； （2）圓的參數(shù)方程為所以， 那么x＋y最大值為6，最小值為2． 考點(diǎn)：極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，圓的參數(shù)方程，三角函數(shù)的最值. 23.【選修4-5：不等式選講】 已知函數(shù)，P為不等式f（x）>4的解集． (I)求P； (II)證明：當(dāng)m，時(shí)，． 【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）見(jiàn)解析;　 【解析】 試題分析：（Ⅰ）利用絕對(duì)值的代數(shù)意義和零點(diǎn)分段討論法去掉絕對(duì)值符號(hào)，得到分段函數(shù)，再利用函數(shù)的單調(diào)性得到不等式的解集；（Ⅱ）通過(guò)平方、作差、分解因式進(jìn)行證明即可． 試題解析：（Ⅰ） 由的單調(diào)性及得，或．　 所以不等式的解集為. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，所以，， ， 所以， 從而有．