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大題精做四 圓周運(yùn)動(dòng)問(wèn)題 精選大題 1．【2018年浙江省模擬】如圖1所示。游樂(lè)場(chǎng)的過(guò)山車可以底朝上在豎直圓軌道上運(yùn)行.可抽象為圖2的模型。傾角為45的直軌道AB、半徑R=10m的光滑豎直圓軌道和傾角為37的直軌道EF，分別通過(guò)過(guò)水平光滑街接軌道BC.C‘E平滑連接，另有水平減速直軌道FG與EF平滑連接EG間的水平距離l=40m.現(xiàn)有質(zhì)量m<500kg的過(guò)山車，從高h(yuǎn)=40m的A點(diǎn)靜止下滑，經(jīng)BCDC‘EF最終停在G點(diǎn)，過(guò)山車與軌道AB、EF的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ1=0.2與減速直軌道FG的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ2=0.75，過(guò)山車可視為質(zhì)點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)中不脫離軌道，求 （1）過(guò)山車運(yùn)動(dòng)至圓軌道最低點(diǎn)C時(shí)的速度大小； （2）過(guò)山車運(yùn)動(dòng)至圓軌道最高點(diǎn)D時(shí)對(duì)軌道的作用力； （3）減速直軌道FG的長(zhǎng)度x（已知sin37=0.6，cos37=0.8） 【解析】 (1)過(guò)山車到達(dá)C點(diǎn)的速度為vc,由動(dòng)能定理 mgh-μ1mgcos45hcos45=12mvC2 代入數(shù)據(jù)可得vC=810m/s (2)過(guò)山車到達(dá)D點(diǎn)的速度為vD,由機(jī)械能守恒定律 2mgR+12mvC2=12mvC2 由牛頓第二定律 mg+FD=mvD2R 聯(lián)立代人數(shù)據(jù)可得：FD = 7000N 由牛頓第三定律可知.軌道受到的力F’D = 7000N (3)過(guò)山車從A到達(dá)G點(diǎn).由動(dòng)能定理可得 mgh-mg(l-x)tan37-μ1mghcot45-μ1mg(l-x)-μ2mgx=0 代人數(shù)據(jù)可得x = 30m 故本題答案是： （1）vC=810m/s；（2）7000N；（3）x=30m 1．【2019浙江省模擬】三維彈球（3D Pinball）是Window里面附帶的一款使用鍵盤(pán)操作的電腦游戲，小王同學(xué)受此啟發(fā)，在學(xué)校組織的趣味運(yùn)動(dòng)會(huì)上，為大家提供了一個(gè)類似的彈珠游戲。如圖所示，將一質(zhì)量為0.1kg的小彈珠（可視為質(zhì)點(diǎn)）放在O點(diǎn)，用彈簧裝置將其彈出，使其沿著光滑的半圓形軌道OA和AB運(yùn)動(dòng)，BC段為一段長(zhǎng)為L(zhǎng)=2.0m的粗糙水平面，DEFG為矩形墊子(墊子邊緣的高度忽略不計(jì))。圓弧OA和AB的半徑分別為r=0.2m，R=0.4m，滑塊與BC段的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ= 0.4，C點(diǎn)離墊子的高度為h=0.8m，水平距離為x=0.6m，墊子的長(zhǎng)度EF為1m，求： （1）要使小滑塊恰好不脫離圓弧軌道，在B位置小滑塊受到半圓軌道的支持力; （2）在滿足第⑴問(wèn)的情況下，小滑塊能否落入墊子？若能，則落入墊子時(shí)距左邊緣DE的距離； （3）為了不讓小滑塊飛出墊子，滑塊被彈射離開(kāi)彈簧時(shí)的最大初速度。 【解析】（1）對(duì)大圓弧AB的A點(diǎn)：mg=mvA2R A到B的過(guò)程機(jī)械能守恒：12mvA2+2mgR=12mvB2 對(duì)B點(diǎn)：FN-mg=mvB2R 由以上三式可得：FN=6N （2）從B至C由動(dòng)能定理：-μmgL=12mvC2-12mvB2 得到vC=2m/s 由平拋運(yùn)動(dòng)：h=12gt2 s=vCt 聯(lián)立以上各式解得：s=0.8m>0.6m 所以小滑塊能落入盒子中。 落入的位置距離E點(diǎn)：Δx=s-x=0.2m （3）由平拋運(yùn)動(dòng)：h=12gt2 x+xEF=vCt 由O至C用動(dòng)能定理：mgR-μmgL=12mvC2-12mv02 解得：v0=26m/s 2．【2019四川省成都市模擬】轉(zhuǎn)動(dòng)裝置如圖所示，四根輕桿OA、OC、AB和CB與兩小球以及一小環(huán)通過(guò)鉸鏈連接，輕桿長(zhǎng)均為l，球的質(zhì)量均為m，環(huán)質(zhì)量為2m，O端固定在豎直的輕質(zhì)轉(zhuǎn)軸上，套在轉(zhuǎn)軸上的輕質(zhì)彈簧連接在O與小環(huán)之間，原長(zhǎng)為L(zhǎng)，裝置靜止時(shí)，彈簧長(zhǎng)為3L2，轉(zhuǎn)動(dòng)該裝置并緩慢增大轉(zhuǎn)速，小環(huán)緩慢上升。彈簧始終在彈性限度內(nèi)，忽略一切摩擦和空氣阻力，重力加速度為g，求： (1)彈簧的勁度系數(shù)k； (2)AB桿中彈簧長(zhǎng)度為L(zhǎng)2時(shí)，裝置轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度。 【解析】(1)裝置靜止時(shí)，設(shè)OA、AB桿中的彈力分別為F1、T1，OA桿與轉(zhuǎn)軸的夾角為θ1。 小環(huán)受到彈簧的彈力為：F彈1=k?L3， 小環(huán)受力平衡，則有：F彈1=mg+2T1cosθ1， 小球受力平衡，則豎直方向有：F1cosθ1+T1cosθ1=mg， 水平方向有：F1sinθ1=T1sinθ1， 解得：k=6mgL； (2)彈簧長(zhǎng)度為12L時(shí)，設(shè)OA、AB桿中的彈力分別為F2、T2，OA桿與轉(zhuǎn)軸的夾角為θ2。 小環(huán)受到的彈力為：F彈2=12kL=3mg， 小環(huán)受力平衡，有：2T2cosθ2=mg+F彈2，且cosθ2=L4l， 對(duì)小球，豎直方向有：F2cosθ2=T2cosθ2+mg， 水平方向有：F2sinθ2+T2sinθ2=mω2lsinθ2， 解得：ω=25gL． 3．【2019四川省瀘州市模擬】如圖所示，長(zhǎng)為l的輕質(zhì)細(xì)線固定在O1點(diǎn)，細(xì)線的下端系一質(zhì)量為m的小球，固定點(diǎn)O1的正下方0.5l處的P點(diǎn)可以垂直于豎直平面插入一顆釘子，現(xiàn)將小球從細(xì)線處于水平狀態(tài)由靜止釋放，此時(shí)釘子還未插入P點(diǎn)，在B點(diǎn)右下方水平地面上固定有一半徑為R=516l的光滑圓弧形槽，槽的圓心在O2，D點(diǎn)為最低點(diǎn)，且∠CO2D=37，重力加速度為g，不計(jì)空氣阻力(已知sin37=0.6，cos37=0.8) (1)小球運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)的速度大小 (2)如果釘子插入P點(diǎn)后，小球仍然從A點(diǎn)靜止釋放，到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，繩子恰好被拉斷，求繩子能承受的最大拉力； (3)在第(2)問(wèn)的情況下，小球恰好從槽的C點(diǎn)無(wú)碰撞地進(jìn)入槽內(nèi)，求整個(gè)過(guò)程中小球?qū)Σ鄣淖畲髩毫Α? 【解析】(1)小球從A到B運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，根據(jù)機(jī)械能守恒有： mgl=12mvB2-0 小球運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)的速度vB=2gl (2)插入釘子后，小球再次經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)有： F-mg=mvB20.5l vB=2gl 解得繩子能承受的最大拉力F=5mg (3)小球從B點(diǎn)開(kāi)始做平拋運(yùn)動(dòng)，在C點(diǎn)時(shí)速度方向巧好沿軌道切線方向，即： vC=vBcos370 小球沿槽運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力最大，小球從C到D過(guò)程中機(jī)械能守恒有： mgR(1-cos370)=12mvD2-12mvC2 在D點(diǎn)有：FN-mg=mvD2R 解得槽對(duì)小球的支持力FN=11.4mg 由牛頓第三定律得小球?qū)Σ鄣淖畲髩毫镕N=11.4mg，方向豎直向下。 4．【2019吉林省長(zhǎng)春市模擬】有一水平放置的圓盤(pán)面水平放一勁度系數(shù)為k的彈簧，如圖所示，彈簧的一端固定于軸O上，另一端連接一個(gè)可視為質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)量為m的物體A，物體與盤(pán)面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ（已知μ≤kl02mg），開(kāi)始時(shí)彈簧未發(fā)生形變，長(zhǎng)度為l0，設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦，重力加速度為g求： （1）物體A能與轉(zhuǎn)盤(pán)相對(duì)靜止，求圓盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)角速度的最大值ω0； （2）使彈簧的長(zhǎng)度變?yōu)?2l0，為使物體A能與轉(zhuǎn)盤(pán)相對(duì)靜止，求圓盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω應(yīng)滿足的條件。 【解析】(1) 圓盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)角速度取最大值ω0時(shí)A需要的向心力大小等于最大靜摩擦力，則有 μmg=mω02l0 解得：ω0=μgl0； (2)因?yàn)閗l02≥μmg，角速度取最小值ω1時(shí)，向心力的大小為彈力與最大靜摩擦力之差， kl02-μmg=mω123l02 解得：ω1=kl0-2μmg3ml0 角速度取最大值ω2時(shí)，向心力的大小為彈力與最大摩擦力之和 kl02+μmg=mω223l02 解得：ω2=kl0+2μmg3ml0 所以kl0-2μmg3ml0≤ω≤kl0+2μmg3ml0。 5．【2018廣東省模擬】如圖所示，物體A、B之間有一根被壓縮鎖定的輕彈簧，整個(gè)裝置靜止在光滑軌道abc上，其中bc是半徑為R= 0．1 m的半圓形軌道。長(zhǎng)為L(zhǎng)=0．4 m的傳送帶順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)的速度為v=2 m/s，忽略傳送帶的d端與軌道c點(diǎn)之間的縫隙寬度，物體B與傳送帶之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ =0．5。已知物體A、B可以看成質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)量分別為2kg、1kg。彈簧解除鎖定后，A獲得的速度大小為vA =1.5 m/s，試分析物體B能否到達(dá)e點(diǎn)，如果不能請(qǐng)說(shuō)明理由；如果能請(qǐng)求出物體B飛出后的落地點(diǎn)到e點(diǎn)間的水平距離。 (g=10 m/s2，不計(jì)空氣阻力) 【解析】解除彈簧的鎖定后，設(shè)B獲得的速度大小為vB，對(duì)A、B和彈簧系統(tǒng)機(jī)械能守恒，得EP=12mBvB2+12mAvA2 代入數(shù)據(jù)：6.75=121vB2+1221．52，解得vB=3m/s 假設(shè)物體B能通過(guò)半圓形軌道最高點(diǎn)c點(diǎn)并到達(dá)e點(diǎn)，設(shè)物體B運(yùn)動(dòng)至c點(diǎn)時(shí)的速度為vc，運(yùn)動(dòng)至e點(diǎn)時(shí)速度為ve，由圓周運(yùn)動(dòng)知識(shí)可知，物體B在c點(diǎn)時(shí)應(yīng)有mvc2R≥mg，即vC≥gR=1m/s 物體B從彈簧解除鎖定到運(yùn)動(dòng)至e點(diǎn)的過(guò)程中，根據(jù)動(dòng)能定理得?mBg?2R-μmBgL=12mBv32-12mBvB2 解得ve=1m/s，易知vc>ve，即vc>1m/s，故物體B能到達(dá)e點(diǎn) 物體B離開(kāi)c點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)，豎直方向2R=12gt2，水平方向x=vet，聯(lián)立解得x=0.2m 物體B再次落到水平軌道ab上時(shí)與e點(diǎn)間的水平距離為0.2m 6．【2019安徽省模擬】如圖所示，一光滑直桿上套了A、B兩個(gè)質(zhì)量均為m的圓環(huán)，OB＝L，OA＝2L．桿的一端O有固定銨鏈，可自由轉(zhuǎn)動(dòng)．現(xiàn)在使桿繞豎直軸做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)．試證明：A、B兩環(huán)不可能同時(shí)隨桿穩(wěn)定轉(zhuǎn)動(dòng)，并說(shuō)明，若B環(huán)能隨桿穩(wěn)定轉(zhuǎn)動(dòng)，則A環(huán)沿桿有怎樣的運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象？ 【解析】對(duì)小圓環(huán)受力分析，其受重力、支持力，如圖所示： FNsinθ=mg FNcosθ=mω2r 則a=gcotθ=ω2Lsinθ 解得：ω=1cosθgcosθL， L越大，對(duì)應(yīng)的ω越小，L與ω存在著一一對(duì)應(yīng)，光滑桿具有確定的角速度只能有唯一的圓環(huán)與它共同運(yùn)動(dòng)。 若B環(huán)能隨桿穩(wěn)定轉(zhuǎn)動(dòng)，則A環(huán)將沿光滑桿一直向上滑動(dòng)，直至滑離。 7．【2018江蘇省模擬】如圖所示，ABDO是處于豎直平面內(nèi)的光滑軌道，AB是半徑為R=15m的1/4圓周軌道，半徑OA處于水平位置，BDO是半徑為r=7.5m的半圓軌道，D為BDO軌道的中央。一個(gè)小球從A點(diǎn)正上方距A點(diǎn)H=10m處的P點(diǎn)自由落下，經(jīng)A點(diǎn)進(jìn)入豎直平面內(nèi)的軌道，取g=10m/s2，不計(jì)空氣阻力。 （1）求小球經(jīng)過(guò)D點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力的大小是重力的多少倍？ （2）試討論此球能否到達(dá)BDO軌道的O點(diǎn)，并說(shuō)明理由。 （3）小球沿軌道運(yùn)動(dòng)后再次落到軌道上的速度的大小是多少？ 【解析】(1)從P到D由動(dòng)能定理得： mg(H+r)=12mvD2 由圓周運(yùn)動(dòng)知識(shí)得： ND=mvD2r 解得：ND=143mg； (2) 設(shè)小球能夠沿豎直半圓軌道運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)的最小速度為vc，有： mvC2r=mg 小球至少應(yīng)從Hc高處落下，mgHC=12mvC2 解得：HC=R4 由H＞HC，小球可以通過(guò)O點(diǎn)； (3) 小球從O點(diǎn)水平飛出后打在圓弧軌道上時(shí)間為t 這個(gè)過(guò)程小球的水平位移為x=v0t 豎直位移為y=12gt2 由幾何知識(shí)得：x2+y2=R2 解得t=1s 物體豎直方向速度vy=gt=10m/s 落在圓弧上速度v=vx2+vy2=103ms。