(浙江專版)2018年高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.3.1 函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)學(xué)案 新人教A版選修2-2.doc
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13.1函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)預(yù)習(xí)課本P2226,思考并完成下列問題(1)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的正負有什么關(guān)系? (2)利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟是什么?(3)怎樣求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間?1函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)正負的關(guān)系在某個區(qū)間(a,b)內(nèi),如果f(x)0,那么函數(shù)yf(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增;如果f(x)0,那么函數(shù)yf(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減;如果恒有f(x)0,那么函數(shù)yf(x)在這個區(qū)間內(nèi)是常數(shù)函數(shù)點睛對函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)正負的關(guān)系的兩點說明(1)若在某區(qū)間上有有限個點使f(x)0,在其余的點恒有f(x)0,則f(x)仍為增函數(shù)(減函數(shù)的情形完全類似)(2)f(x)為增函數(shù)的充要條件是對任意的x(a,b)都有f(x)0且在(a,b)內(nèi)的任一非空子區(qū)間上f(x)不恒為0.2函數(shù)圖象的變化趨勢與導(dǎo)數(shù)值大小的關(guān)系如果一個函數(shù)在某一范圍內(nèi)導(dǎo)數(shù)的絕對值較大,那么這個函數(shù)在這個范圍內(nèi)變化的快,其圖象比較陡峭即|f(x)|越大,則函數(shù)f(x)的切線的斜率越大,函數(shù)f(x)的變化率就越大1判斷(正確的打“”,錯誤的打“”)(1)函數(shù)f(x)在定義域上都有f(x)0,則函數(shù)f(x)在定義域上單調(diào)遞增()(2)函數(shù)在某一點的導(dǎo)數(shù)越大,函數(shù)在該點處的切線越“陡峭”()(3)函數(shù)在某個區(qū)間上變化越快,函數(shù)在這個區(qū)間上導(dǎo)數(shù)的絕對值越大()答案:(1)(2)(3)2函數(shù)f(x)(x3)ex的單調(diào)遞增區(qū)間是()A(,2)B(0,3)C(1,4) D(2,)答案:D3函數(shù)f(x)2xsin x在(,)上()A是增函數(shù)B是減函數(shù)C在(0,)上單調(diào)遞增,在(,0)上單調(diào)遞減D在(0,)上單調(diào)遞減,在(,0)上單調(diào)遞增答案:A4. 函數(shù)yx3x在(,)上的圖象是_(填“上升”或“下降”)的答案:上升 判斷或討論函數(shù)的單調(diào)性典例已知函數(shù)f(x)ax33x21,討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性解 由題設(shè)知a0.f(x)3ax26x3ax,令f(x)0,得x10,x2.當(dāng)a0時,若x(,0),則f(x)0.f(x)在區(qū)間(,0)上為增函數(shù)若x,則f(x)0,f(x)在區(qū)間上是增函數(shù)當(dāng)a0時,若x,則f(x)0.f(x)在區(qū)間上為增函數(shù)若x(0,),則f(x)0和f(x)0,可得x;令f(x)0,可得3x1,即a2時,f(x)在(,1)和(a1,)上單調(diào)遞增,在(1,a1)上單調(diào)遞減,由題意知(1,4)(1,a1)且(6,)(a1,),所以4a16,即5a7.故實數(shù)a的取值范圍為5,7法二數(shù)形結(jié)合法如圖所示,f(x)(x1)x(a1) 在(1,4)內(nèi)f(x)0,在(6,)內(nèi)f(x)0,且f(x)0有一根為1,另一根在4,6上即5a7.故實數(shù)a的取值范圍為5,7法三轉(zhuǎn)化為不等式的恒成立問題f(x)x2axa1.因為f(x)在(1,4)內(nèi)單調(diào)遞減,所以f(x)0在(1,4)上恒成立即a(x1)x21在(1, 4)上恒成立,所以ax1,因為2x17,所以a7時,f(x)0在(6,)上恒成立綜上知5a7.故實數(shù)a的取值范圍為5,71利用導(dǎo)數(shù)法解決取值范圍問題的兩個基本思路(1)將問題轉(zhuǎn)化為不等式在某區(qū)間上的恒成立問題,即f(x)0(或f(x)0)恒成立,利用分離參數(shù)或函數(shù)性質(zhì)求解參數(shù)范圍,然后檢驗參數(shù)取“”時是否滿足題意(2)先令f(x)0(或f(x)0,當(dāng)x(1,2)時,(x1)(x2)0,a0,a0.答案:(0,)9設(shè)函數(shù)f(x)x33ax23bx的圖象與直線12xy10相切于點(1,11)(1)求a,b的值;(2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性解:(1)求導(dǎo)得f(x)3x26ax3b.由于f(x)的圖象與直線12xy10相切于點(1,11),所以f(1)11,f(1)12,即解得a1,b3.(2)由a1,b3得f(x)3x26ax3b3(x22x3)3(x1)(x3)令f(x)0,解得x1或x3;又令f(x)0,解得1x3.所以當(dāng)x(,1)時,f(x)是增函數(shù);當(dāng)x(1,3)時,f(x)是減函數(shù);當(dāng)x(3,)時,f(x)也是增函數(shù)10已知a0,函數(shù)f(x)(x22ax)ex.設(shè)f(x)在區(qū)間1,1上是單調(diào)函數(shù),求a的取值范圍解:f(x)(2x2a)ex(x22ax)exexx22(1a)x2a令f(x)0,即x22(1a)x2a0.解得x1a1,x2a1,令f(x)0,得xx2或xx1,令f(x)0,得x1xx2.a0,x11,x20.由此可得f(x)在1,1上是單調(diào)函數(shù)的充要條件為x21,即a11,解得a.故所求a的取值范圍為.層級二應(yīng)試能力達標(biāo)1.已知函數(shù)f(x)ln x,則有()Af(2)f(e)f(3)Bf(e)f(2)f(3)Cf(3)f(e)f(2) Df(e)f(3)0,所以f(x)在(0,)內(nèi)是增函數(shù),所以有f(2)f(e)0,f(x)為增函數(shù),x(0,2)時,f(x)0,f(x)為增函數(shù)只有C符合題意,故選C.3函數(shù)yxsin xcos x,x(,)的單調(diào)增區(qū)間是()A.和 B.和C.和 D.和解析:選Ayxcos x,當(dāng)x時,cos x0,yxcos x0,當(dāng)0x時,cos x0,yxcos x0.4設(shè)函數(shù)F(x)是定義在R上的函數(shù),其中f(x)的導(dǎo)函數(shù)f(x)滿足f(x)e2f(0),f(2 016)e2 016f(0)Bf(2)e2 016f(0)Cf(2)e2f(0),f(2 016)e2f(0),f(2 016)e2 016f(0)解析:選C函數(shù)F(x)的導(dǎo)數(shù)F(x)0,函數(shù)F(x)是定義在R上的減函數(shù),F(xiàn)(2)F(0),即,故有f(2)e2f(0)同理可得f(2 016)e2 016f(0)故選C.5已知yx3bx2(b2)x3在R上不是單調(diào)增函數(shù),則實數(shù)b的取值范圍為_解析:若yx22bxb20恒成立,則4b24(b2)0,1b2,由題意知,b1或b2.答案:(,1)(2,)6若f(x)x2bln(x2)在(1,)上是減函數(shù),則b的取值范圍是_解析:f(x)在(1,)上為減函數(shù),f(x)0在(1,)上恒成立,f(x)x,x0,bx(x2)在(1,)上恒成立,g(x)x(x2)(x1)21,g(x)min1,b1.答案:(,17設(shè)函數(shù)f(x)x(ex1)ax2.(1)若a,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若當(dāng)x0時,f(x)0,求a的取值范圍解:(1)a時,f(x)x(ex1)x2,f(x)ex1xexx(ex1)(x1)當(dāng)x(,1)時,f(x)0;當(dāng)x(1,0)時,f(x)0;當(dāng)x(0,)時,f(x)0.故f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(,1),(0,);單調(diào)減區(qū)間為(1,0)(2)f(x)x(ex1ax)令g(x)ex1ax,則g(x)exa.若a1,則當(dāng)x(0,)時,g(x)0,g(x)為增函數(shù),而g(0)0,從而當(dāng)x0時,g(x)0,即f(x)0.當(dāng)a1,則當(dāng)x(0,ln a)時,g(x)0,g(x)為減函數(shù),而g(0)0,從而當(dāng)x(0,ln a)時,g(x)0,即f(x)0,不符合題意,綜上得a的取值范圍為(,18已知函數(shù)f(x)x3ax1.(1)是否存在實數(shù)a,使f(x)在(1,1)上單調(diào)遞減?若存在,求出a的取值范圍;若不存在,說明理由(2)證明:f(x)x3ax1的圖象不可能總在直線ya的上方解:(1)已知函數(shù)f(x)x3ax1,f(x)3x2a,由題意知3x2a0在(1,1)上恒成立,a3x2在x(1,1)上恒成立但當(dāng)x(1,1)時,03x23,a3,即當(dāng)a3時,f(x)在(1,1)上單調(diào)遞減(2)證明:取x1,得f(1)a2a,即存在點(1,a2)在f(x)x3ax1的圖象上,且在直線ya的下方即f(x)的圖象不可能總在直線ya的上方- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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