江蘇省2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題三 不等式 第2講 線性規(guī)劃與基本不等式學(xué)案.doc
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第2講線性規(guī)劃與基本不等式考情考向分析1.線性規(guī)劃的要求是A級(jí),主要考查線性目標(biāo)函數(shù)在給定區(qū)域上的最值.2.基本不等式是江蘇考試說明中的C級(jí)內(nèi)容,高考會(huì)重點(diǎn)考查主要考查運(yùn)用基本不等式求最值及其在實(shí)際問題中的運(yùn)用,試題難度中檔以上熱點(diǎn)一簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題例1(1)(2017全國)設(shè)x,y滿足約束條件則z3x2y的最小值為_答案5解析作出約束條件所表示的可行域如圖中陰影部分(含邊界)所示,由z3x2y得yx,求z的最小值,即求直線yx在y軸上的截距的最大值,當(dāng)直線yx過圖中點(diǎn)A時(shí),其在y軸上的截距最大,由解得A點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1),此時(shí)z3(1)215.(2)已知實(shí)數(shù)x,y滿足則的取值范圍是_答案解析不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域是以點(diǎn)(3,1),(3,2)和為頂點(diǎn)的三角形及其內(nèi)部,設(shè)z,則z表示平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與原點(diǎn)連線所在直線的斜率,則當(dāng)z經(jīng)過(3,1)時(shí)取得最小值,經(jīng)過點(diǎn)(3,2)時(shí)取得最大值,故的取值范圍是.思維升華線性規(guī)劃的實(shí)質(zhì)是把代數(shù)問題幾何化,即數(shù)形結(jié)合的思想需要注意的是: 畫目標(biāo)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的直線時(shí),要注意與約束條件中的直線的斜率進(jìn)行比較;一般情況下,目標(biāo)函數(shù)的最值會(huì)在可行域的端點(diǎn)或邊界上取得跟蹤演練1(1)設(shè)變量x,y滿足約束條件若目標(biāo)函數(shù)zaxy的最小值為2,則a_.答案2解析約束條件對(duì)應(yīng)的可行域是以點(diǎn)(1,1),(1,3)和(2,2)為頂點(diǎn)的三角形及其內(nèi)部當(dāng)a1時(shí),當(dāng)目標(biāo)函數(shù)所在直線yaxz經(jīng)過點(diǎn)(1,1)時(shí),z取得最小值,則zmina12,即a3(舍去);當(dāng)a1時(shí),當(dāng)目標(biāo)函數(shù)所在直線yaxz經(jīng)過點(diǎn)(2,2)時(shí),z取得最小值,則zmin2a22,即a2,符合題意,故a2.(2)甲、乙兩種食物的維生素含量如下表:維生素A(單位/kg)維生素B(單位/kg)甲35乙42分別取這兩種食物若干并混合,且使混合物中維生素A,B的含量分別不低于100,120單位,則混合物重量的最小值為_ kg.答案30解析設(shè)甲食物重x kg,乙食物重y kg,維生素A,B的含量分別不低于100,120單位,由得A(20,10),混合物重zxy,平移直線zxy,由圖知,當(dāng)直線過A(20,10)時(shí),z取最小值為201030.熱點(diǎn)二利用基本不等式求最值例2(1)(2018蘇北六市模擬)已知a,b,c均為正數(shù),且abc4(ab),則abc的最小值為_答案8解析abc4(ab),c,abcabab22448.(當(dāng)且僅當(dāng)ab2時(shí),等號(hào)成立)(2)設(shè)ABC的BC邊上的高ADBC,a,b,c分別表示角A,B,C對(duì)應(yīng)的三邊,則的取值范圍是_答案 2,解析因?yàn)锽C邊上的高ADBCa,所以SABCa2bcsin A,所以sin A.又因?yàn)閏os A,所以2cos Asin A,同時(shí)2(當(dāng)且僅當(dāng)bc時(shí),等號(hào)成立),所以2,思維升華用基本不等式求函數(shù)的最值,關(guān)鍵在于將函數(shù)變形為兩項(xiàng)和或積的形式,然后用基本不等式求出最值在求條件最值時(shí),一種方法是消元,轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值;另一種方法是將要求最值的表達(dá)式變形,然后用基本不等式將要求最值的表達(dá)式放縮為一個(gè)定值,但無論哪種方法在用基本不等式解題時(shí)都必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件跟蹤演練2(1)設(shè)a,b0,ab5,則的最大值為_答案3解析a,b0,ab5,()2ab42ab4()2()2ab4ab418,當(dāng)且僅當(dāng)a,b時(shí),等號(hào)成立,則3,即最大值為3.(2)(2018興化三校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)exexx33x,若正數(shù)a,b滿足f(2a1)f(b1)0,則的最小值為_答案解析由題意得f(x)f(x),且f(x)為單調(diào)增函數(shù),最多有一個(gè)零點(diǎn),所以f(2a1)f(b1)0,即f(2a1)f(b1),所以2a11b,即 2ab2,所以 b 2b4.又,當(dāng)且僅當(dāng)a,b時(shí)取等號(hào)所以的最小值為.熱點(diǎn)三基本不等式的實(shí)際運(yùn)用例3(2018蘇州期末)如圖,長方形材料ABCD中,已知AB2,AD4.點(diǎn)P為材料ABCD內(nèi)部一點(diǎn),PEAB于E,PFAD于F,且PE1,PF.現(xiàn)要在長方形材料ABCD中裁剪出四邊形材料AMPN,滿足MPN150,點(diǎn)M,N分別在邊AB,AD上(1)設(shè)FPN,試將四邊形材料AMPN的面積表示為的函數(shù),并指明的取值范圍;(2)試確定點(diǎn)N在AD上的位置,使得四邊形材料AMPN的面積S最小,并求出其最小值解(1)在RtNFP中,因?yàn)镻F,F(xiàn)PN,所以NFtan ,所以SNAPNAPF,在RtMEP中,因?yàn)镻E1,EPM,所以MEtan,所以SAMPAMPE1,所以SSNAPSAMP tan tan,.(2)因?yàn)镾tan tantan ,令t1tan ,由,得t,所以S 22,當(dāng)且僅當(dāng)t,即t時(shí),即tan 時(shí)等號(hào)成立,此時(shí),AN,Smin2.答案當(dāng)AN時(shí),四邊形材料AMPN的面積S最小,最小值為2.思維升華利用基本不等式求解實(shí)際應(yīng)用題的方法(1)解題時(shí)需認(rèn)真閱讀,從中提煉出有用信息,建立數(shù)學(xué)模型(2)注意當(dāng)運(yùn)用基本不等式求最值時(shí),若等號(hào)成立的自變量不在定義域內(nèi)時(shí),就不能使用基本不等式求解,此時(shí)可根據(jù)變量的范圍用對(duì)應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性求解跟蹤演練3一批救災(zāi)物資隨26輛汽車從某市以v km/h的速度勻速直達(dá)400 km外的災(zāi)區(qū),為了安全起見,兩輛汽車的間距不得小于2 km,則這批物資全部運(yùn)送到災(zāi)區(qū)最少需_ h.答案10解析時(shí)間最短,則兩車之間的間距最小,且要安全,則時(shí)間t210,當(dāng)且僅當(dāng)v80時(shí)等號(hào)成立1(2017江蘇)某公司一年購買某種貨物600噸,每次購買x噸,運(yùn)費(fèi)為6萬元/次,一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為4x萬元,要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小,則x的值是_答案30解析一年的總運(yùn)費(fèi)為6(萬元),一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為4x萬元,總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用的和為萬元因?yàn)?x2 240,當(dāng)且僅當(dāng)4x,即x30時(shí)取得等號(hào),所以當(dāng)x30時(shí),一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小2(2018江蘇)在ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,ABC120,ABC的平分線交AC于點(diǎn)D,且BD1,則4ac的最小值為_答案9解析方法一如圖,SABCSABDSBCD,acsin 120c1sin 60a1sin 60,acac,1.4ac(4ac)5259.當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)方法二如圖,以B為原點(diǎn),BD所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系,則D(1,0),A,C.又A,D,C三點(diǎn)共線,acac.以下同方法一3已知正實(shí)數(shù)x,y滿足向量a(xy,2),b(xy2,1)共線,c,且a(ac)0恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_答案解析由a(xy,2),b(xy2,1)共線得xy2(xy2),則xy42xy,即(xy)22(xy)80,當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)等號(hào)成立又由x,y是正實(shí)數(shù),得xy4.不等式a(ac)0,即a2ac,所以(xy)24m(xy)3,即(xy)2m(xy)10,令xyt,t4,則t2mt10,t4,)(*)恒成立對(duì)于方程t2mt10,當(dāng)m240,即2m2時(shí),(*)恒成立;當(dāng)m2時(shí),相應(yīng)二次函數(shù)yt2mt1的對(duì)稱軸t2時(shí),由相應(yīng)二次函數(shù)yt2mt1的對(duì)稱軸t4,且164m10,得2m.綜上可得,當(dāng)m時(shí),(*)恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.4某單位決定投資3 200元建一倉庫(長方體狀),高度恒定,它的后墻利用舊墻不花錢,正面用鐵柵,每米長造價(jià)40元,兩側(cè)墻砌磚,每米長造價(jià)45元,頂部每平方米造價(jià)20元,則倉庫面積S的最大允許值是_平方米答案100解析設(shè)鐵柵長為x米,一堵磚墻長為y米,則頂部面積為Sxy,依題意得40x245y20xy3 200,由基本不等式得3 200220xy12020xy12020S.所以S61600,即(10)(16)0,故010,從而01,則函數(shù)y2x的最小值為_答案5解析x1,2x10,y2x112 15,當(dāng)且僅當(dāng)2x1,即x時(shí),等號(hào)成立4(2018常州期末)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中,若a2a3a4a2a3a4,則a3的最小值為_答案解析因?yàn)槭歉黜?xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,且a2a3a4a2a3a4,所以aa3a2a4,則aa3a2a422a3,(當(dāng)且僅當(dāng)a2a4,即數(shù)列an為正數(shù)常數(shù)列時(shí)取等號(hào))即a30,即a3,a3,即a3的最小值為.5若點(diǎn)A(m,n)在第一象限,且在直線1上,則mn的最大值是_答案3解析點(diǎn)A(m,n)在第一象限,且在直線1上,所以m,n0,且1,所以2,所以2,即mn3,所以mn的最大值為3.6設(shè)P是函數(shù)y(x1)圖象上異于原點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn),且該圖象在點(diǎn)P處的切線的傾斜角為,則的取值范圍是_答案解析因?yàn)閥(x1)2,當(dāng)且僅當(dāng),即x時(shí)“”成立所以切線的斜率ktan ,又0,),所以.7已知正數(shù)a,b,滿足5,則ab的最小值為_答案36解析正數(shù)a,b滿足5,52,化為()2560,解得6,當(dāng)且僅當(dāng),5,即a2,b18時(shí)取等號(hào),解得ab36.8(2018揚(yáng)州期末)已知正實(shí)數(shù)x,y滿足xyxy,則的最小值為_答案52解析正實(shí)數(shù)x,y滿足xyxy,1, ,故得到552,等號(hào)成立的條件為11,即xy2.9若ABC的內(nèi)角滿足sin Asin B2sin C,則cos C的最小值是_答案解析由sin Asin B2sin C,及正弦定理得ab2c.又由余弦定理得cos C,當(dāng)且僅當(dāng)a2時(shí)等號(hào)成立,故cos C0,y0,x,a,b,y成等差數(shù)列,x,c,d,y成等比數(shù)列,則的最小值為_答案4解析由題意知,所以2224,當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí),等號(hào)成立12已知二次函數(shù)f(x)ax2xc(xR)的值域?yàn)?,),則的最小值為_答案10解析由f(x)的值域?yàn)?,)可知該二次函數(shù)的圖象開口向上,且函數(shù)的最小值為0,因此有0,從而c0,所以24210,當(dāng)且僅當(dāng)即a時(shí)取等號(hào)故所求的最小值為10.13(2018江蘇如東高級(jí)中學(xué)等五校聯(lián)考)已知a,b,c(0,),則的最小值為_答案4解析a2b2c2acbc,即ac2bc,當(dāng)且僅當(dāng)a,b時(shí)等號(hào)成立,則4(經(jīng)驗(yàn)證兩次等號(hào)可同時(shí)取得),所以 的最小值為4.14已知函數(shù)f(x)|x2|.(1)解不等式f(x)f(2x1)6;(2)已知ab1(a,b0),且對(duì)于xR,f(xm)f(x)恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍解(1)f(x)f(2x1)|x2|2x1|當(dāng)x時(shí),由33x6,解得x1;當(dāng)x2時(shí),x16不成立;當(dāng)x2時(shí),由3x36,解得x3.不等式的解集為(,13,)(2)ab1(a,b0),(ab)5529,當(dāng)且僅當(dāng)a,b時(shí)等號(hào)成立,對(duì)于xR,f(xm)f(x)恒成立等價(jià)于對(duì)xR,|x2m|x2|9,即|x2m|x2|max9,|x2m|x2|(x2m)(x2)|4m|,9m49,13m5.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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