2020版高中數(shù)學 第三章 變化率與導數(shù) 3 計算導數(shù)學案(含解析)北師大版選修1 -1.docx
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3計算導數(shù)學習目標1.會求函數(shù)在一點處的導數(shù).2.理解導函數(shù)的概念并能求一些簡單函數(shù)的導函數(shù)知識點一導函數(shù)如果一個函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上的每一點x處都有導數(shù),導數(shù)值記為f(x),f(x),則f(x)是關于x的函數(shù),稱f(x)為f(x)的導函數(shù),通常也簡稱為導數(shù).區(qū)別聯(lián)系f(x0)f(x0)是具體的值,是數(shù)值在xx0處的導數(shù)f(x0)是導函數(shù)f(x)在xx0處的函數(shù)值,因此求函數(shù)在某一點處的導數(shù),一般先求導函數(shù),再計算導函數(shù)在這一點的函數(shù)值f(x)f(x)是f(x)在某區(qū)間I上每一點都存在導數(shù)而定義的一個新函數(shù),是函數(shù)知識點二導數(shù)公式表函數(shù)導函數(shù)yc(c是常數(shù))y0yx (為實數(shù))yx1yax (a0,a1)yaxlnayexyexylogax(a0,a1)yylnxyysinxycosxycosxysinxytanxyycotxy1函數(shù)f(x)與f(x)的定義域相同()2求f(x0)時,可先計算出f(x0),再對f(x0)求導()3求f(x0)時,可先求出f(x),再求f(x)在xx0處的函數(shù)值()題型一利用導函數(shù)求某點處的導數(shù)例1求函數(shù)f(x)x23x的導函數(shù)f(x),并利用f(x)求f(3),f(1)考點導函數(shù)題點利用導函數(shù)求某點處的導數(shù)解f(x) (x2x3)2x3,即f(x)2x3,f(3)2333,f(1)2(1)35.反思感悟f(x0)是f(x)在xx0處的函數(shù)值計算f(x0)可以直接使用定義,也可以先求f(x),然后求f(x)在xx0處的函數(shù)值f(x0)跟蹤訓練1求函數(shù)yf(x)5的導函數(shù)f(x),并利用f(x),求f(2)考點導函數(shù)題點利用導函數(shù)求某點處的導數(shù)解yf(xx)f(x)5,f(x).f(2).題型二導數(shù)公式表的應用例2求下列函數(shù)的導數(shù)(1)ysin;(2)yx;(3)ylog3x;(4)y;(5)y5x.考點基本初等函數(shù)的導數(shù)公式題點基本初等函數(shù)導數(shù)公式的應用解(1)y0.(2)因為yx,所以y.(3)y(log3x).(4)因為ytanx,所以y(tanx).(5)y(5x)5xln5.反思感悟對于教材中出現(xiàn)的8個基本初等函數(shù)的導數(shù)公式,要想在解題過程中應用自如,必須做到以下兩點:一是正確理解,如sin是常數(shù),而常數(shù)的導數(shù)一定為零,就不會出現(xiàn)cos這樣的錯誤結果二是準確記憶,靈活變形如根式、分式可先轉化為指數(shù)式,再利用公式求導跟蹤訓練2求下列函數(shù)的導數(shù)(1)y(1);(2)yx13;考點基本初等函數(shù)的導數(shù)公式題點基本初等函數(shù)導數(shù)公式的應用解(1)y(1),y.(2)y(x13)13x13113x12.題型三導數(shù)公式的綜合應用命題角度1利用導數(shù)公式求解切線問題例3已知點P(1,1),點Q(2,4)是曲線yx2上兩點,是否存在與直線PQ垂直的切線,若有,求出切線方程,若沒有,說明理由考點基本初等函數(shù)的導數(shù)公式題意利用導數(shù)公式求解切線問題解因為y(x2)2x,假設存在與直線PQ垂直的切線設切點為(x0,y0),由PQ的斜率為k1,而切線與PQ垂直,所以2x01,即x0.所以切點為(,)所以所求切線方程為y(1)(x),即4x4y10.引申探究若本例條件不變,求與直線PQ平行的曲線yx2的切線方程解因為y(x2)2x,設切點為M(x0,y0),由PQ的斜率為k1,而切線平行于PQ,所以2x01,即x0.所以切點為M.所以所求切線方程為yx,即4x4y10.反思感悟解決切線問題,關鍵是確定切點,要充分利用(1)切點處的導數(shù)是切線的斜率(2)切點在切線上(3)切點又在曲線上這三個條件聯(lián)立方程解決跟蹤訓練3(1)若直線l過點A(0,1)且與曲線yx3切于點B,求B點坐標;(2)若直線l與曲線yx3在第一象限相切于某點,切線的斜率為3,求直線l與坐標軸圍成的三角形面積解(1)y3x2,設B(x0,x)(x00),則切線斜率k3x.又直線l過點(0,1),k.3x,2x1,x0,x,B.(2)設切點為(x0,x)(x00),則該切線斜率為3x,3x3,x01,則切點為(1,1)直線l的方程為y13(x1)直線l與坐標軸的交點分別為(0,2),直線l與坐標軸圍成的三角形面積S|2|.命題角度2利用導數(shù)公式求解參數(shù)問題例4已知直線ykx是曲線ylnx的切線,則k的值等于()AeBeC.D考點基本初等函數(shù)的導數(shù)公式題點利用導數(shù)公式求解切線問題答案C解析y(lnx).設切點坐標為(x0,y0),則切線方程為yy0(xx0),即ylnx01.直線ykx過原點,lnx010,得x0e,k.反思感悟解決利用導數(shù)公式求解參數(shù)問題的關鍵是設出切點,根據(jù)導數(shù)的幾何意義表示出切線的斜率進一步寫出切線方程跟蹤訓練4已知函數(shù)f(x),g(x)alnx,aR,若曲線yf(x)與曲線yg(x)相交,且在交點處有相同的切線,求a的值考點基本初等函數(shù)的導數(shù)公式題點利用導數(shù)公式求解切線問題解設兩曲線的交點為(x0,y0),由題意知,f(x0)g(x0),即,即a,點(x0,y0)為兩曲線的交點,alnx0,由可得x0e2,將x0e2代入得a.1下列結論:(sinx)cosx;(lnx).其中正確的有()A0個B1個C2個D3個考點基本初等函數(shù)的導數(shù)公式題點基本初等函數(shù)的導數(shù)公式的應用答案C解析,錯誤,故選C.2函數(shù)f(x),則f(3)等于( )A.B0C.D.答案A解析f(x)(),f(3).3設函數(shù)f(x)logax,f(1)1,則a.考點基本初等函數(shù)的導數(shù)公式題點指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的導數(shù)答案解析f(x),又f(1)1,a.4在曲線y上一點P處的切線的斜率為4,則點P的坐標為考點基本初等函數(shù)的導數(shù)公式題點利用導數(shù)公式求解切線問題答案或解析設P(x0,y0),y,則4,得x0.當x0時,y02.當x0時,y02,點P的坐標為或.5曲線yex在點(2,e2)處的切線與坐標軸所圍三角形的面積為考點基本初等函數(shù)的導數(shù)公式題點利用導數(shù)公式求解切線問題答案e2解析y(ex)ex,ke2,曲線在點(2,e2)處的切線方程為ye2e2(x2),即ye2xe2.當x0時,ye2,當y0時,x1.S1|e2|e2.1利用常見函數(shù)的導數(shù)公式可以比較簡捷的求出函數(shù)的導數(shù),其關鍵是牢記和運用好導數(shù)公式解題時,能認真觀察函數(shù)的結構特征,積極地進行聯(lián)想與化歸2有些函數(shù)可先化簡再求導如求y12sin2的導數(shù)因為y12sin2cosx,所以y(cosx)sinx.3對于正弦、余弦函數(shù)的導數(shù),一是注意函數(shù)名稱的變化,二是注意函數(shù)符號的變化一、選擇題1下列結論中正確的個數(shù)為()yln2,則y;yf(x),則f(3);y2x,則y2xln2;ylog2x,則y.A0B1C2D3考點基本初等函數(shù)的導數(shù)公式題點基本初等函數(shù)的導數(shù)公式的應用答案D解析中yln2為常數(shù),所以y0.錯2已知f(x),則f等于()A25BC.D25考點幾個常用函數(shù)的導數(shù)題點幾個常用函數(shù)導數(shù)的應用答案B解析因為f(x),所以f(x).故f25,ff(25).3設函數(shù)f(x)ax3,若f(1)3,則a等于()A2B2C3D3考點函數(shù)在某一點處的導數(shù)題點根據(jù)導數(shù)值求坐標或參數(shù)答案C解析f(1)a,f(1)3,a3.4正弦曲線ysinx上切線的斜率等于的點為()A.B.或C.(kZ)D.或(kZ)考點基本初等函數(shù)的導數(shù)公式題點正弦、余弦函數(shù)的導數(shù)答案D解析設斜率等于的切線與曲線的切點為P(x0,y0),函數(shù)在點P處的導數(shù)為ycosx0,x02k或2k,kZ,y0或.5設曲線yax2在點(2,4a)處的切線與直線4xy40垂直,則a等于()AB.CD.考點基本初等函數(shù)的導數(shù)公式題點利用導數(shù)公式求解切線問題答案C解析由題意知切線的斜率是,y2ax,4a,得a.6已知直線ykx是曲線yex的切線,則實數(shù)k的值為()A.BCeDe答案D解析yex,設切點為(x0,y0),則x0,x01,ke.7設正弦曲線ysinx上一點P,以點P為切點的切線為直線l,則直線l的傾斜角的范圍是()A.B0,)C.D.答案A解析(sinx)cosx,klcosx,1kl1,l.8設f0(x)sinx,f1(x)f0(x),f2(x)f1(x),fn1(x)fn(x),nN,則f2018(x)等于()AsinxBsinxCcosxDcosx考點基本初等函數(shù)的導數(shù)公式題點正弦、余弦函數(shù)的導數(shù)答案B解析f1(x)f0(x)(sinx)cosx,f2(x)f1(x)(cosx)sinx,f3(x)f2(x)(sinx)cosx,f4(x)(cosx)sinx,f5(x)(sinx)f1(x),f6(x)f2(x),fn4(x)fn(x),可知周期為4,f2018(x)f50442(x)sinx.二、填空題9已知f(x),g(x)mx且g(2),則m.考點幾個常用函數(shù)的導數(shù)題點幾個常用函數(shù)導數(shù)的應用答案4解析f(x),g(x)m,f(2),又g(2),m4.10設曲線yex在點(0,1)處的切線與曲線y(x0)上點P處的切線垂直,則P的坐標為考點基本初等函數(shù)的導數(shù)公式題點利用導數(shù)公式求解切線問題答案(1,1)解析因為yex,所以曲線yex在點(0,1)處的切線的斜率k1e01.設P(m,n),y(x0)的導數(shù)為y (x0),曲線y (x0)在點P處的切線斜率k2 (m0)因為兩切線垂直,所以k1k21,所以m1,n1,點P的坐標為(1,1)11已知f(x)cosx,g(x)x,則關于x的不等式f(x)g(x)0的解集為考點基本初等函數(shù)的導數(shù)公式題點基本初等函數(shù)導數(shù)公式的應用答案解析f(x)sinx,g(x)1,由f(x)g(x)0,得sinx10,即sinx1,則sinx1,解得x2k,kZ,其解集為.三、解答題12已知曲線y5(x0),求:(1)曲線上與直線y2x4平行的切線方程;(2)過點P(0,5),且與曲線相切的切線方程考點基本初等函數(shù)的導數(shù)公式題點利用導數(shù)公式求解切線問題解(1)設切點為(x0,y0),由y5,得曲線在xx0處的切線的斜率k.因為切線與直線y2x4平行,所以2,解得x0,所以y0.故所求切線方程為y2,即16x8y250.(2)因為點P(0,5)不在曲線y5上,所以設切點坐標為M(x1,y1),則切線斜率為(x10),又因為切線斜率為,所以,解得x14(x10舍去)所以切點為M(4,10),斜率為,故切線方程為y10(x4),即5x4y200.13點P是曲線yex上任意一點,求點P到直線yx的最小距離考點基本初等函數(shù)的導數(shù)公式題點利用導數(shù)公式求解切線問題解如圖,當曲線yex在點P(x0,y0)處的切線與直線yx平行時,點P到直線yx的距離最近則曲線yex在點P(x0,y0)處的切線斜率為1,又y(ex)ex,所以1,得x00,代入yex,得y01,即P(0,1)利用點到直線的距離公式得最小距離為.14設函數(shù)f(x)在(0,)內可導,且f(ex)xex,則f(1)等于()A1B2C3D4考點基本初等函數(shù)的導數(shù)公式題點指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的導數(shù)答案B解析設ext,則xlnt(t0),f(t)lntt,f(t)1,f(1)2.15已知拋物線yx2,直線xy20,求拋物線上的點到直線的最短距離解根據(jù)題意可知與直線xy20平行的拋物線yx2的切線,對應的切點到直線xy20的距離最短,設切點坐標為(x0,x),則k2x01,所以x0,所以切點坐標為,切點到直線xy20的距離d,所以拋物線上的點到直線xy20的最短距離為.- 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