2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第三講 柯西不等式與排序不等式復(fù)習(xí)課學(xué)案 新人教A版選修4-5.docx
第三講 柯西不等式與排序不等式
復(fù)習(xí)課
學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.梳理本專題主要知識(shí)，構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò).2.進(jìn)一步理解柯西不等式，熟練掌握柯西不等式的各種形式及應(yīng)用技巧.3.理解排序不等式及應(yīng)用.4.進(jìn)一步體會(huì)柯西不等式與排序不等式所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想及方法．
1．二維形式的柯西不等式
(1)二維形式的柯西不等式：若a，b，c，d都是實(shí)數(shù)，則(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.
(2)柯西不等式的向量形式：設(shè)α，β是兩個(gè)向量，則|αβ|≤|α||β|，當(dāng)且僅當(dāng)β是零向量，或存在實(shí)數(shù)k，使α＝kβ時(shí)，等號(hào)成立．
(3)二維形式的三角不等式：設(shè)x1，y1，x2，y2∈R，那么＋≥.
2．一般形式的柯西不等式
設(shè)a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是實(shí)數(shù)，則(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2.當(dāng)且僅當(dāng)bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一個(gè)數(shù)k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)時(shí)，等號(hào)成立．
3．排序不等式
設(shè)a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn為兩組實(shí)數(shù)，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任一排列，則a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1≤a1c1＋a2c2＋…＋ancn≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn.
類型一 利用柯西不等式證明不等式
例1 已知a，b，c，d為不全相等的正數(shù)，求證：＋＋＋＞＋＋＋.
證明 由柯西不等式知，
≥2，
于是＋＋＋≥＋＋＋. ①
等號(hào)成立?＝＝＝
?＝＝＝?a＝b＝c＝d.
又已知a，b，c，d不全相等，則①中等號(hào)不成立．
即＋＋＋＞＋＋＋.
反思與感悟 利用柯西不等式證題的技巧
(1)柯西不等式的一般形式為(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2(ai，bi∈R，i＝1,2，…，n)，形式簡潔、美觀、對(duì)稱性強(qiáng)，靈活地運(yùn)用柯西不等式，可以使一些較為困難的不等式的證明問題迎刃而解．
(2)利用柯西不等式證明其他不等式的關(guān)鍵是構(gòu)造兩組數(shù)，并向著柯西不等式的形式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，運(yùn)用時(shí)要注意體會(huì)．
跟蹤訓(xùn)練1 若n是不小于2的正整數(shù)，求證：＜1－＋－＋…＋－＜.
證明 1－＋－＋…＋－
＝－2
＝＋＋…＋，
所以求證式等價(jià)于＜＋＋…＋＜.
由柯西不等式，有
[(n＋1)＋(n＋2)＋…＋2n]＞n2，
于是＋＋…＋＞
＝＝≥＝，
又由柯西不等式，有＋＋…＋
＜
＜＝.
綜上，＜1－＋－＋…＋－＜.
類型二 利用排序不等式證明不等式
例2 設(shè)A，B，C表示△ABC的三個(gè)內(nèi)角弧度數(shù)，a，b，c表示其對(duì)邊，求證：≥.
證明 不妨設(shè)0＜a≤b≤c，于是A≤B≤C.
由排序不等式，得
aA＋bB＋cC＝aA＋bB＋cC，
aA＋bB＋cC≥bA＋cB＋aC，
aA＋bB＋cC≥cA＋aB＋bC.
相加，得3(aA＋bB＋cC)≥(a＋b＋c)(A＋B＋C)
＝π(a＋b＋c)，得≥.
引申探究
若本例條件不變，求證：＜.
證明 不妨設(shè)0＜a≤b≤c，于是A≤B≤C.
由0＜b＋c－a,0＜a＋b－c,0＜a＋c－b，
有0＜A(b＋c－a)＋C(a＋b－c)＋B(a＋c－b)
＝a(B＋C－A)＋b(A＋C－B)＋c(A＋B－C)
＝a(π－2A)＋b(π－2B)＋c(π－2C)
＝(a＋b＋c)π－2(aA＋bB＋cC)．
得＜.
反思與感悟 利用排序不等式證明不等式的策略
(1)在利用排序不等式證明不等式時(shí)，首先考慮構(gòu)造出兩個(gè)合適的有序數(shù)組，并能根據(jù)需要進(jìn)行恰當(dāng)?shù)亟M合．這需要結(jié)合題目的已知條件及待證不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)進(jìn)行合理選擇．
(2)根據(jù)排序不等式的特點(diǎn)，與多變量間的大小順序有關(guān)的不等式問題，利用排序不等式解決往往很簡捷．
跟蹤訓(xùn)練2 設(shè)a，b，c為正數(shù)，求證：＋＋≥a10＋b10＋c10.
證明 由a，b，c的對(duì)稱性，不妨設(shè)a≥b≥c，
于是a12≥b12≥c12，≥≥.
由排序不等式，得
＋＋≥＋＋＝＋＋. ①
又因?yàn)閍11≥b11≥c11，≤≤，
再次由排序不等式，得
＋＋≤＋＋. ②
由①②得＋＋≥a10＋b10＋c10.
類型三 利用柯西不等式或排序不等式求最值
例3 (1)求實(shí)數(shù)x，y的值使得(y－1)2＋(x＋y－3)2＋(2x＋y－6)2達(dá)到最小值．
(1)解 由柯西不等式，得
(12＋22＋12)[(y－1)2＋(3－x－y)2＋(2x＋y－6)2]
≥[1(y－1)＋2(3－x－y)＋1(2x＋y－6)]2＝1，
即(y－1)2＋(x＋y－3)2＋(2x＋y－6)2≥，
當(dāng)且僅當(dāng)＝＝，
即x＝，y＝時(shí)，上式取等號(hào)．故x＝，y＝.
(2)設(shè)a1，a2，a3，a4，a5是互不相同的正整數(shù)，求M＝a1＋＋＋＋的最小值．
解 設(shè)b1，b2，b3，b4，b5是a1，a2，a3，a4，a5的一個(gè)排列，且b1＜b2＜b3＜b4＜b5.
因此b1≥1，b2≥2，b3≥3，b4≥4，b5≥5.
又1≥≥≥≥.
由排序不等式，得
a1＋＋＋＋≥b1＋＋＋＋
≥11＋2＋3＋4＋5
＝1＋＋＋＋＝.即M的最小值為.
反思與感悟 利用柯西或排序不等式求最值的技巧
(1)有關(guān)不等式問題往往要涉及對(duì)式子或量的范圍的限定，其中含有多變量限制條件的最值問題往往難以處理．在這類題目中，利用柯西不等式或排序不等式處理往往比較容易．
(2)在利用柯西不等式或排序不等式求最值時(shí)，要關(guān)注等號(hào)成立的條件，不能忽略．
跟蹤訓(xùn)練3 已知正數(shù)x，y，z滿足x＋y＋z＝xyz，且不等式＋＋≤λ恒成立，求λ的取值范圍．
解 ＋＋≤＋＋
＝
≤＝.
故λ的取值范圍是.
1．函數(shù)y＝2＋的最大值為( )
A. B．－
C．－3 D．3
答案 D
解析 y2＝(＋1)2≤[()2＋12][()2＋()2]
＝33＝9.
∴y≤3，y的最大值為3.
2．已知實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足a＋b＋c＋d＝3，a2＋2b2＋3c2＋6d2＝5，則a的最大值是( )
A．1B．2C．3D．4
答案 B
解析 ∵(2b2＋3c2＋6d2)≥(b＋c＋d)2，
即2b2＋3c2＋6d2≥(b＋c＋d)2.
∴5－a2≥(3－a)2.
解得1≤a≤2.
驗(yàn)證：當(dāng)a＝2時(shí)，等號(hào)成立．
3．已知2x＋3y＋4z＝10，則x2＋y2＋z2取到最小值時(shí)的x，y，z的值為( )
A.，， B.，，
C．1，， D．1，，
答案 B
解析 由柯西不等式得
(22＋32＋42)(x2＋y2＋z2)≥(2x＋3y＋4z)2，
即x2＋y2＋z2≥.
當(dāng)且僅當(dāng)＝＝時(shí)，等號(hào)成立，
所以聯(lián)立
可得x＝，y＝，z＝.
4．設(shè)a，b，c都是正數(shù)，求證：＋＋≥a＋b＋c.
證明 不妨設(shè)a≥b≥c＞0，
則≤≤，ab≥ac≥bc，
∵＋＋≥＋＋＝a＋b＋c，
∴＋＋≥a＋b＋c.
1．對(duì)于柯西不等式要特別注意其向量形式的幾何意義，從柯西不等式的幾何意義出發(fā)就得到了三角形式的柯西不等式，柯西不等式的一般形式也可以寫成向量形式．
2．參數(shù)配方法是由舊知識(shí)得到的新方法，注意體會(huì)此方法的數(shù)學(xué)思想．
3．對(duì)于排序不等式要抓住它的本質(zhì)含義：兩實(shí)數(shù)序列同方向單調(diào)(同時(shí)增或同時(shí)減)時(shí)所得兩兩乘積之和最大，反方向單調(diào)(一增一減)時(shí)所得兩兩乘積之和最小，注意等號(hào)成立條件是其中一序列為常數(shù)序列．
4．?dāng)?shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一種新形式，它為學(xué)生提供了自己學(xué)習(xí)的空間，有助于學(xué)生了解數(shù)學(xué)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，體會(huì)數(shù)學(xué)與日常生活及其他學(xué)科的聯(lián)系．
一、選擇題
1．已知a，b是給定的正數(shù)，則＋的最小值為( )
A．2a2＋b2 B．2ab
C．(2a＋b)2 D．4ab
答案 C
解析 ＋＝(sin2α＋cos2α)≥2＝(2a＋b)2，
當(dāng)且僅當(dāng)sin α＝cosα?xí)r，等號(hào)成立．
故＋的最小值為(2a＋b)2.
2．已知a，b，c為正數(shù)且a＋b＋c＝3，則＋＋的最小值為( )
A．4B．4C．6D．6
答案 C
解析 ∵a，b，c為正數(shù)，
∴＝≥a＋b.
同理≥b＋c，≥c＋a，
相加得(＋＋)
≥2(b＋c＋a)＝6，
即＋＋≥6，
當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝時(shí)取等號(hào)．
3．已知(x－1)2＋(y－2)2＝4，則3x＋4y的最大值為( )
A．21 B．11
C．18 D．28
答案 A
解析 根據(jù)柯西不等式，得
[(x－1)2＋(y－2)2][32＋42]≥[3(x－1)＋4(y－2)]2
＝(3x＋4y－11)2，
∴(3x＋4y－11)2≤100.
可得3x＋4y≤21，當(dāng)且僅當(dāng)＝＝時(shí)取等號(hào)．
4．已知x，y，z是非負(fù)實(shí)數(shù)，若9x2＋12y2＋5z2＝9，則函數(shù)u＝3x＋6y＋5z的最大值是( )
A．9B．10C．14D．15
答案 A
解析 ∵(3x＋6y＋5z)2≤[12＋()2＋()2][(3x)2＋(2y)2＋(z)2]＝9(9x2＋12y2＋5z2)＝81，當(dāng)且僅當(dāng)3x＝2y＝z時(shí)，等號(hào)成立．
故u＝3x＋6y＋5z的最大值為9.
5．已知x，y，z∈R＋，且＋＋＝1，則x＋＋的最小值為( )
A．5B．6C．8D．9
答案 D
解析 由柯西不等式知，
≥(1＋1＋1)2＝9，
因?yàn)椋?，
所以x＋＋≥9.
即x＋＋的最小值為9.
6．設(shè)c1，c2，…，cn是a1，a2，…，an的某一排列(a1，a2，…，an均為正數(shù))，則＋＋…＋的最小值是( )
A．nB.C.D．2n
答案 A
解析 不妨設(shè)a1≥a2≥…≥an＞0，
則≤≤…≤，
由排序不等式知，
＋＋…＋≥a1＋a2＋…＋an＝n.
二、填空題
7．設(shè)a，b，c，d，m，n∈R＋，P＝＋，Q＝，則P，Q的大小關(guān)系為________．
答案 P≤Q
解析 由柯西不等式得P＝＋≤＝Q，當(dāng)且僅當(dāng)＝時(shí)，等號(hào)成立，
∴P≤Q.
8．設(shè)x，y，z∈R，若x2＋y2＋z2＝4，則x－2y＋2z的最小值為________．
答案?。?
解析 由柯西不等式，得
(x2＋y2＋z2)[12＋(－2)2＋22]≥(x－2y＋2z)2，
故(x－2y＋2z)2≤49＝36.
當(dāng)且僅當(dāng)＝＝＝k，k＝時(shí)，上式取得等號(hào)，
當(dāng)k＝－時(shí)，x－2y＋2z取得最小值－6.
9．已知點(diǎn)P是邊長為2的等邊三角形內(nèi)一點(diǎn)，它到三邊的距離分別為x，y，z，則x，y，z所滿足的關(guān)系式為________，x2＋y2＋z2的最小值是________．
答案 x＋y＋z＝3 3
解析 利用三角形面積相等，得
2(x＋y＋z)＝(2)2，
即x＋y＋z＝3.
由(1＋1＋1)(x2＋y2＋z2)≥(x＋y＋z)2＝9，
得x2＋y2＋z2≥3，
當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝z＝1時(shí)取等號(hào)．
10．若a，b，c∈R，設(shè)x＝a3＋b3＋c3，y＝a2b＋b2c＋c2a，則x，y的大小關(guān)系為________．
答案 x≥y
解析 取兩組數(shù)a，b，c；a2，b2，c2.不管a，b，c的大小順序如何，a3＋b3＋c3都是順序和，a2b＋b2c＋c2a都是亂序和，a3＋b3＋c3≥a2b＋b2c＋c2a.
三、解答題
11．(2018江蘇)若x，y，z為實(shí)數(shù)，且x＋2y＋2z＝6，求x2＋y2＋z2的最小值．
解 由柯西不等式，得(x2＋y2＋z2)(12＋22＋22)≥(x＋2y＋2z)2.
因?yàn)閤＋2y＋2z＝6，所以x2＋y2＋z2≥4，
當(dāng)且僅當(dāng)＝＝時(shí)，不等式取等號(hào)，
此時(shí)x＝，y＝，z＝，
所以x2＋y2＋z2的最小值為4.
12．已知a，b，c為正數(shù)，求證：≥abc.
證明 考慮到正數(shù)a，b，c的對(duì)稱性，不妨設(shè)a≥b≥c>0，
則≤≤，bc≤ca≤ab，
由排序不等式知，順序和≥亂序和，
∴＋＋≥＋＋，
即≥a＋b＋c.
∵a，b，c為正數(shù)，
∴兩邊同乘以，
得≥abc.
13．設(shè)a，b，c，d∈R＋，令S＝＋＋＋，求證：1＜S＜2.
證明 首先證明＜(a＞b＞0，m＞0)．
因?yàn)椋?
＝＜0，
所以S＝＋＋＋
＜＋＋＋＝＝2，
所以S＜2.
又S＞＋＋＋
＝＝1，
所以1＜S＜2.
四、探究與拓展
14．已知5a2＋3b2＝，則a2＋2ab＋b2的最大值為________．
答案 1
解析 ∵[(a)2＋(b)2]
≥2＝(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，
當(dāng)且僅當(dāng)5a＝3b，即a＝，b＝時(shí)取等號(hào)．
∴(5a2＋3b2)≥a2＋2ab＋b2.
∴a2＋2ab＋b2≤(5a2＋3b2)＝＝1.
∴a2＋2ab＋b2的最大值為1.
15．已知a，b，c均為實(shí)數(shù)，且a＋b＋c＋2－2m＝0，a2＋b2＋c2＋m－1＝0.
(1)求證：a2＋b2＋c2≥；
(2)求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
(1)證明 由柯西不等式得(12＋22＋32)≥(a＋b＋c)2，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)，等號(hào)成立，
即14≥(a＋b＋c)2，
∴a2＋b2＋c2≥.
(2)解 由已知得a＋b＋c＝2m－2，
a2＋b2＋c2＝1－m，
∴由(1)可知，14(1－m)≥(2m－2)2，
即2m2＋3m－5≤0，解得－≤m≤1.
又∵a2＋b2＋c2＝1－m≥0，∴m≤1，
∴－≤m≤1.
即實(shí)數(shù)m的取值范圍為.
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第三講 柯西不等式與排序不等式
復(fù)習(xí)課
學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.梳理本專題主要知識(shí)，構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò).2.進(jìn)一步理解柯西不等式，熟練掌握柯西不等式的各種形式及應(yīng)用技巧.3.理解排序不等式及應(yīng)用.4.進(jìn)一步體會(huì)柯西不等式與排序不等式所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想及方法．
1．二維形式的柯西不等式
(1)二維形式的柯西不等式：若a，b，c，d都是實(shí)數(shù)，則(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.
(2)柯西不等式的向量形式：設(shè)α，β是兩個(gè)向量，則|αβ|≤|α||β|，當(dāng)且僅當(dāng)β是零向量，或存在實(shí)數(shù)k，使α＝kβ時(shí)，等號(hào)成立．
(3)二維形式的三角不等式：設(shè)x1，y1，x2，y2∈R，那么＋≥.
2．一般形式的柯西不等式
設(shè)a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是實(shí)數(shù)，則(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2.當(dāng)且僅當(dāng)bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一個(gè)數(shù)k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)時(shí)，等號(hào)成立．
3．排序不等式
設(shè)a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn為兩組實(shí)數(shù)，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任一排列，則a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1≤a1c1＋a2c2＋…＋ancn≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn.
類型一 利用柯西不等式證明不等式
例1 已知a，b，c，d為不全相等的正數(shù)，求證：＋＋＋＞＋＋＋.
證明 由柯西不等式知，
≥2，
于是＋＋＋≥＋＋＋. ①
等號(hào)成立?＝＝＝
?＝＝＝?a＝b＝c＝d.
又已知a，b，c，d不全相等，則①中等號(hào)不成立．
即＋＋＋＞＋＋＋.
反思與感悟 利用柯西不等式證題的技巧
(1)柯西不等式的一般形式為(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2(ai，bi∈R，i＝1,2，…，n)，形式簡潔、美觀、對(duì)稱性強(qiáng)，靈活地運(yùn)用柯西不等式，可以使一些較為困難的不等式的證明問題迎刃而解．
(2)利用柯西不等式證明其他不等式的關(guān)鍵是構(gòu)造兩組數(shù)，并向著柯西不等式的形式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，運(yùn)用時(shí)要注意體會(huì)．
跟蹤訓(xùn)練1 若n是不小于2的正整數(shù)，求證：＜1－＋－＋…＋－＜.
證明 1－＋－＋…＋－
＝－2
＝＋＋…＋，
所以求證式等價(jià)于＜＋＋…＋＜.
由柯西不等式，有
[(n＋1)＋(n＋2)＋…＋2n]＞n2，
于是＋＋…＋＞
＝＝≥＝，
又由柯西不等式，有＋＋…＋
＜
＜＝.
綜上，＜1－＋－＋…＋－＜.
類型二 利用排序不等式證明不等式
例2 設(shè)A，B，C表示△ABC的三個(gè)內(nèi)角弧度數(shù)，a，b，c表示其對(duì)邊，求證：≥.
證明 不妨設(shè)0＜a≤b≤c，于是A≤B≤C.
由排序不等式，得
aA＋bB＋cC＝aA＋bB＋cC，
aA＋bB＋cC≥bA＋cB＋aC，
aA＋bB＋cC≥cA＋aB＋bC.
相加，得3(aA＋bB＋cC)≥(a＋b＋c)(A＋B＋C)
＝π(a＋b＋c)，得≥.
引申探究
若本例條件不變，求證：＜.
證明 不妨設(shè)0＜a≤b≤c，于是A≤B≤C.
由0＜b＋c－a,0＜a＋b－c,0＜a＋c－b，
有0＜A(b＋c－a)＋C(a＋b－c)＋B(a＋c－b)
＝a(B＋C－A)＋b(A＋C－B)＋c(A＋B－C)
＝a(π－2A)＋b(π－2B)＋c(π－2C)
＝(a＋b＋c)π－2(aA＋bB＋cC)．
得＜.
反思與感悟 利用排序不等式證明不等式的策略
(1)在利用排序不等式證明不等式時(shí)，首先考慮構(gòu)造出兩個(gè)合適的有序數(shù)組，并能根據(jù)需要進(jìn)行恰當(dāng)?shù)亟M合．這需要結(jié)合題目的已知條件及待證不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)進(jìn)行合理選擇．
(2)根據(jù)排序不等式的特點(diǎn)，與多變量間的大小順序有關(guān)的不等式問題，利用排序不等式解決往往很簡捷．
跟蹤訓(xùn)練2 設(shè)a，b，c為正數(shù)，求證：＋＋≥a10＋b10＋c10.
證明 由a，b，c的對(duì)稱性，不妨設(shè)a≥b≥c，
于是a12≥b12≥c12，≥≥.
由排序不等式，得
＋＋≥＋＋＝＋＋. ①
又因?yàn)閍11≥b11≥c11，≤≤，
再次由排序不等式，得
＋＋≤＋＋. ②
由①②得＋＋≥a10＋b10＋c10.
類型三 利用柯西不等式或排序不等式求最值
例3 (1)求實(shí)數(shù)x，y的值使得(y－1)2＋(x＋y－3)2＋(2x＋y－6)2達(dá)到最小值．
(1)解 由柯西不等式，得
(12＋22＋12)[(y－1)2＋(3－x－y)2＋(2x＋y－6)2]
≥[1(y－1)＋2(3－x－y)＋1(2x＋y－6)]2＝1，
即(y－1)2＋(x＋y－3)2＋(2x＋y－6)2≥，
當(dāng)且僅當(dāng)＝＝，
即x＝，y＝時(shí)，上式取等號(hào)．故x＝，y＝.
(2)設(shè)a1，a2，a3，a4，a5是互不相同的正整數(shù)，求M＝a1＋＋＋＋的最小值．
解 設(shè)b1，b2，b3，b4，b5是a1，a2，a3，a4，a5的一個(gè)排列，且b1＜b2＜b3＜b4＜b5.
因此b1≥1，b2≥2，b3≥3，b4≥4，b5≥5.
又1≥≥≥≥.
由排序不等式，得
a1＋＋＋＋≥b1＋＋＋＋
≥11＋2＋3＋4＋5
＝1＋＋＋＋＝.即M的最小值為.
反思與感悟 利用柯西或排序不等式求最值的技巧
(1)有關(guān)不等式問題往往要涉及對(duì)式子或量的范圍的限定，其中含有多變量限制條件的最值問題往往難以處理．在這類題目中，利用柯西不等式或排序不等式處理往往比較容易．
(2)在利用柯西不等式或排序不等式求最值時(shí)，要關(guān)注等號(hào)成立的條件，不能忽略．
跟蹤訓(xùn)練3 已知正數(shù)x，y，z滿足x＋y＋z＝xyz，且不等式＋＋≤λ恒成立，求λ的取值范圍．
解?。埽?
＝
≤＝.
故λ的取值范圍是.
1．函數(shù)y＝2＋的最大值為( )
A. B．－
C．－3 D．3
答案 D
解析 y2＝(＋1)2≤[()2＋12][()2＋()2]
＝33＝9.
∴y≤3，y的最大值為3.
2．已知實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足a＋b＋c＋d＝3，a2＋2b2＋3c2＋6d2＝5，則a的最大值是( )
A．1B．2C．3D．4
答案 B
解析 ∵(2b2＋3c2＋6d2)≥(b＋c＋d)2，
即2b2＋3c2＋6d2≥(b＋c＋d)2.
∴5－a2≥(3－a)2.
解得1≤a≤2.
驗(yàn)證：當(dāng)a＝2時(shí)，等號(hào)成立．
3．已知2x＋3y＋4z＝10，則x2＋y2＋z2取到最小值時(shí)的x，y，z的值為( )
A.，， B.，，
C．1，， D．1，，
答案 B
解析 由柯西不等式得
(22＋32＋42)(x2＋y2＋z2)≥(2x＋3y＋4z)2，
即x2＋y2＋z2≥.
當(dāng)且僅當(dāng)＝＝時(shí)，等號(hào)成立，
所以聯(lián)立
可得x＝，y＝，z＝.
4．設(shè)a，b，c都是正數(shù)，求證：＋＋≥a＋b＋c.
證明 不妨設(shè)a≥b≥c＞0，
則≤≤，ab≥ac≥bc，
∵＋＋≥＋＋＝a＋b＋c，
∴＋＋≥a＋b＋c.
1．對(duì)于柯西不等式要特別注意其向量形式的幾何意義，從柯西不等式的幾何意義出發(fā)就得到了三角形式的柯西不等式，柯西不等式的一般形式也可以寫成向量形式．
2．參數(shù)配方法是由舊知識(shí)得到的新方法，注意體會(huì)此方法的數(shù)學(xué)思想．
3．對(duì)于排序不等式要抓住它的本質(zhì)含義：兩實(shí)數(shù)序列同方向單調(diào)(同時(shí)增或同時(shí)減)時(shí)所得兩兩乘積之和最大，反方向單調(diào)(一增一減)時(shí)所得兩兩乘積之和最小，注意等號(hào)成立條件是其中一序列為常數(shù)序列．
4．?dāng)?shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一種新形式，它為學(xué)生提供了自己學(xué)習(xí)的空間，有助于學(xué)生了解數(shù)學(xué)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，體會(huì)數(shù)學(xué)與日常生活及其他學(xué)科的聯(lián)系．
一、選擇題
1．已知a，b是給定的正數(shù)，則＋的最小值為( )
A．2a2＋b2 B．2ab
C．(2a＋b)2 D．4ab
答案 C
解析?。?sin2α＋cos2α)≥2＝(2a＋b)2，
當(dāng)且僅當(dāng)sin α＝cosα?xí)r，等號(hào)成立．
故＋的最小值為(2a＋b)2.
2．已知a，b，c為正數(shù)且a＋b＋c＝3，則＋＋的最小值為( )
A．4B．4C．6D．6
答案 C
解析 ∵a，b，c為正數(shù)，
∴＝≥a＋b.
同理≥b＋c，≥c＋a，
相加得(＋＋)
≥2(b＋c＋a)＝6，
即＋＋≥6，
當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝時(shí)取等號(hào)．
3．已知(x－1)2＋(y－2)2＝4，則3x＋4y的最大值為( )
A．21 B．11
C．18 D．28
答案 A
解析 根據(jù)柯西不等式，得
[(x－1)2＋(y－2)2][32＋42]≥[3(x－1)＋4(y－2)]2
＝(3x＋4y－11)2，
∴(3x＋4y－11)2≤100.
可得3x＋4y≤21，當(dāng)且僅當(dāng)＝＝時(shí)取等號(hào)．
4．已知x，y，z是非負(fù)實(shí)數(shù)，若9x2＋12y2＋5z2＝9，則函數(shù)u＝3x＋6y＋5z的最大值是( )
A．9B．10C．14D．15
答案 A
解析 ∵(3x＋6y＋5z)2≤[12＋()2＋()2][(3x)2＋(2y)2＋(z)2]＝9(9x2＋12y2＋5z2)＝81，當(dāng)且僅當(dāng)3x＝2y＝z時(shí)，等號(hào)成立．
故u＝3x＋6y＋5z的最大值為9.
5．已知x，y，z∈R＋，且＋＋＝1，則x＋＋的最小值為( )
A．5B．6C．8D．9
答案 D
解析 由柯西不等式知，
≥(1＋1＋1)2＝9，
因?yàn)椋?，
所以x＋＋≥9.
即x＋＋的最小值為9.
6．設(shè)c1，c2，…，cn是a1，a2，…，an的某一排列(a1，a2，…，an均為正數(shù))，則＋＋…＋的最小值是( )
A．nB.C.D．2n
答案 A
解析 不妨設(shè)a1≥a2≥…≥an＞0，
則≤≤…≤，
由排序不等式知，
＋＋…＋≥a1＋a2＋…＋an＝n.
二、填空題
7．設(shè)a，b，c，d，m，n∈R＋，P＝＋，Q＝，則P，Q的大小關(guān)系為________．
答案 P≤Q
解析 由柯西不等式得P＝＋≤＝Q，當(dāng)且僅當(dāng)＝時(shí)，等號(hào)成立，
∴P≤Q.
8．設(shè)x，y，z∈R，若x2＋y2＋z2＝4，則x－2y＋2z的最小值為________．
答案?。?
解析 由柯西不等式，得
(x2＋y2＋z2)[12＋(－2)2＋22]≥(x－2y＋2z)2，
故(x－2y＋2z)2≤49＝36.
當(dāng)且僅當(dāng)＝＝＝k，k＝時(shí)，上式取得等號(hào)，
當(dāng)k＝－時(shí)，x－2y＋2z取得最小值－6.
9．已知點(diǎn)P是邊長為2的等邊三角形內(nèi)一點(diǎn)，它到三邊的距離分別為x，y，z，則x，y，z所滿足的關(guān)系式為________，x2＋y2＋z2的最小值是________．
答案 x＋y＋z＝3 3
解析 利用三角形面積相等，得
2(x＋y＋z)＝(2)2，
即x＋y＋z＝3.
由(1＋1＋1)(x2＋y2＋z2)≥(x＋y＋z)2＝9，
得x2＋y2＋z2≥3，
當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝z＝1時(shí)取等號(hào)．
10．若a，b，c∈R，設(shè)x＝a3＋b3＋c3，y＝a2b＋b2c＋c2a，則x，y的大小關(guān)系為________．
答案 x≥y
解析 取兩組數(shù)a，b，c；a2，b2，c2.不管a，b，c的大小順序如何，a3＋b3＋c3都是順序和，a2b＋b2c＋c2a都是亂序和，a3＋b3＋c3≥a2b＋b2c＋c2a.
三、解答題
11．(2018江蘇)若x，y，z為實(shí)數(shù)，且x＋2y＋2z＝6，求x2＋y2＋z2的最小值．
解 由柯西不等式，得(x2＋y2＋z2)(12＋22＋22)≥(x＋2y＋2z)2.
因?yàn)閤＋2y＋2z＝6，所以x2＋y2＋z2≥4，
當(dāng)且僅當(dāng)＝＝時(shí)，不等式取等號(hào)，
此時(shí)x＝，y＝，z＝，
所以x2＋y2＋z2的最小值為4.
12．已知a，b，c為正數(shù)，求證：≥abc.
證明 考慮到正數(shù)a，b，c的對(duì)稱性，不妨設(shè)a≥b≥c>0，
則≤≤，bc≤ca≤ab，
由排序不等式知，順序和≥亂序和，
∴＋＋≥＋＋，
即≥a＋b＋c.
∵a，b，c為正數(shù)，
∴兩邊同乘以，
得≥abc.
13．設(shè)a，b，c，d∈R＋，令S＝＋＋＋，求證：1＜S＜2.
證明 首先證明＜(a＞b＞0，m＞0)．
因?yàn)椋?
＝＜0，
所以S＝＋＋＋
＜＋＋＋＝＝2，
所以S＜2.
又S＞＋＋＋
＝＝1，
所以1＜S＜2.
四、探究與拓展
14．已知5a2＋3b2＝，則a2＋2ab＋b2的最大值為________．
答案 1
解析 ∵[(a)2＋(b)2]
≥2＝(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，
當(dāng)且僅當(dāng)5a＝3b，即a＝，b＝時(shí)取等號(hào)．
∴(5a2＋3b2)≥a2＋2ab＋b2.
∴a2＋2ab＋b2≤(5a2＋3b2)＝＝1.
∴a2＋2ab＋b2的最大值為1.
15．已知a，b，c均為實(shí)數(shù)，且a＋b＋c＋2－2m＝0，a2＋b2＋c2＋m－1＝0.
(1)求證：a2＋b2＋c2≥；
(2)求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
(1)證明 由柯西不等式得(12＋22＋32)≥(a＋b＋c)2，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)，等號(hào)成立，
即14≥(a＋b＋c)2，
∴a2＋b2＋c2≥.
(2)解 由已知得a＋b＋c＝2m－2，
a2＋b2＋c2＝1－m，
∴由(1)可知，14(1－m)≥(2m－2)2，
即2m2＋3m－5≤0，解得－≤m≤1.
又∵a2＋b2＋c2＝1－m≥0，∴m≤1，
∴－≤m≤1.
即實(shí)數(shù)m的取值范圍為.
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