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4 2力學(xué)量算符和量子力學(xué)公式的矩陣表示 一 力學(xué)量算符的矩陣表示二 量子力學(xué)公式的矩陣表示 4 2力學(xué)量算符和量子力學(xué)公式的矩陣表示 量子力學(xué)的三個(gè)基本要素是波函數(shù) 算符和薛定格方程 上一節(jié)講了波函數(shù)的矩陣表示 為了保證理論體系的一致性 必須實(shí)現(xiàn)力學(xué)量算符與量子力學(xué)公式的矩陣表示 在量子力學(xué)中 將坐標(biāo)表象下的表示稱為波動(dòng)力學(xué)方法 把任意力學(xué)量表象下的表示稱為矩陣力學(xué)方法 在量子力學(xué)的歷史上 上述兩種表示方法幾乎是同時(shí)發(fā)展起來的 后來 狄拉克證明了它們是等價(jià)的 一 力學(xué)量算符的矩陣表示 力學(xué)量滿足的本征方程 算符滿足 把波函數(shù) 分別向展開 代入到算符方程中 得 上式兩端做運(yùn)算 得 令 則 稱為算符在表象中的矩陣元 算符在表象中的矩陣形式為 因?yàn)槭嵌蛎姿惴?所以它的矩陣元的復(fù)共軛為 即矩陣中關(guān)于對(duì)角線對(duì)稱的元素一定互為復(fù)共軛 或者 它表明矩陣是厄米矩陣 一般說來 實(shí)的對(duì)稱矩陣都是厄米矩陣 特例 力學(xué)量算符在自身表象中的矩陣 算符在自身表象下是一個(gè)對(duì)稱矩陣 并且本征值就是對(duì)角元素 它的陣跡就是全部本征值之和 說明 1 欲求力學(xué)量在表象下的矩陣表示 必須知道力學(xué)量的本征解 才能計(jì)算的矩陣元 2 不論在任何具體表象中 任何厄米算符的矩陣元一定是一個(gè)數(shù)值 故其可以在公式中隨意移動(dòng)位置 3 在不同的表象中 算符的矩陣元可能會(huì)不同 但是該算符的本征值不會(huì)改變 4 如果的本征值為連續(xù)譜 則 構(gòu)成正交歸一完備基矢組 算符滿足 把波函數(shù) 分別向展開 代入到算符方程中 得 上式兩端做運(yùn)算 得 其中 算符的矩陣元 例1 坐標(biāo)表象中的矩陣元為 其中 為變數(shù) 為本征值 例2 動(dòng)量表象中的矩陣元為 或 例3 動(dòng)量表象中的矩陣元為 例4 求一維諧振子中 坐標(biāo)算符 動(dòng)量算符和能量算符在能量表象中的矩陣表示 解 坐標(biāo)算符 動(dòng)量算符和能量算符在能量表象中的矩陣元分別為 所以 它們的矩陣表示分別是 二 量子力學(xué)公式的矩陣表示 1 算符方程 以下內(nèi)容都是在表象下的表示 或簡(jiǎn)寫為 2 本征方程 或簡(jiǎn)寫為 方程有非零解的充分必要條件是系數(shù)行列式為零 因?yàn)槿我饬W(xué)量在自身表象中的矩陣都是對(duì)角的 所以 通常把求解本征方程的過程稱為矩陣對(duì)角化的過程 3 薛定格方程 式中 4 平均值公式 對(duì)同一個(gè)物理問題可以在不同的表象下處理 盡管在不同的表象下 波函數(shù)及算符的矩陣元是不同的 但最后所得到的物理結(jié)果 力學(xué)量的可能取值 取值幾率和平均值 卻都是一樣的 因?yàn)槲覀兯P(guān)心的只是有物理意義的結(jié)果 所以 允許對(duì)表象作選擇 如果選取了一個(gè)合適的表象 將使問題得到簡(jiǎn)化 這也就是表象理論的價(jià)值所在 例5 已知力學(xué)量在某表象中的矩陣表示為 求它的本征值和歸一化波函數(shù) 并將對(duì)角化 解 首先 求解本征值方程 下面求本征函數(shù) 把波函數(shù)歸一化 同理 最后 把矩陣對(duì)角化