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QuantumMechanics QuantumMechanics 電話 13503503927 E mail zbdx 目錄 第一章量子力學(xué)的誕生 第二章波函數(shù)和Schrodinger方程 第三章一維定態(tài)問(wèn)題 第四章量子力學(xué)中的力學(xué)量 第五章態(tài)和力學(xué)量表象 第六章近似方法 第七章量子躍遷 第八章自旋與全同粒子 1一維無(wú)限深勢(shì)阱 求解S 方程分四步 1 列出各勢(shì)域的一維S 方程 2 解方程 3 使用波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件定解 4 定歸一化系數(shù) 第三章一維定態(tài)問(wèn)題 1 列出各勢(shì)域的S 方程 方程可簡(jiǎn)化為 3 使用波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件 1 2 2 1 兩種情況 討論 狀態(tài)不存在 描寫(xiě)同一狀態(tài) 所以n只取正整數(shù) 即 于是 或 于是波函數(shù) 類(lèi)似I中關(guān)于n m的討論可知 綜合I II結(jié)果 最后得 能量最低的態(tài)稱(chēng)為基態(tài) 其上為第一激發(fā)態(tài) 第二激發(fā)態(tài)依次類(lèi)推 由此可見(jiàn) 對(duì)于一維無(wú)限深方勢(shì)阱 粒子束縛于有限空間范圍 在無(wú)限遠(yuǎn)處 0 這樣的狀態(tài) 稱(chēng)為束縛態(tài) 一維有限運(yùn)動(dòng)能量本征值是分立能級(jí) 組成分立譜 作業(yè) 周世勛 量子力學(xué)教程 第二章2 3 2 4 2 8 一 引言 1 何謂諧振子 量子力學(xué)中的線性諧振子就是指在該式所描述的勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的粒子 在經(jīng)典力學(xué)中 當(dāng)質(zhì)量為 的粒子 受彈性力F kx作用 由牛頓第二定律可以寫(xiě)出運(yùn)動(dòng)方程為 其解為x Asin t 這種運(yùn)動(dòng)稱(chēng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng) 作這種運(yùn)動(dòng)的粒子叫諧振子 若取V0 0 即平衡位置處于勢(shì)V 0點(diǎn) 則 2線性諧振子 2 為什么研究線性諧振子 自然界廣泛碰到簡(jiǎn)諧振動(dòng) 任何體系在平衡位置附近的小振動(dòng) 例如分子振動(dòng) 晶格振動(dòng) 原子核表面振動(dòng)以及輻射場(chǎng)的振動(dòng)等往往都可以分解成若干彼此獨(dú)立的一維簡(jiǎn)諧振動(dòng) 簡(jiǎn)諧振動(dòng)往往還作為復(fù)雜運(yùn)動(dòng)的初步近似 所以簡(jiǎn)諧振動(dòng)的研究 無(wú)論在理論上還是在應(yīng)用上都是很重要的 例如雙原子分子 兩原子間的勢(shì)V是二者相對(duì)距離x的函數(shù) 如圖所示 在x a處 V有一極小值V0 在x a附近勢(shì)可以展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù) 取新坐標(biāo)原點(diǎn)為 a V0 則勢(shì)可表示為標(biāo)準(zhǔn)諧振子勢(shì)的形式 可見(jiàn) 一些復(fù)雜的勢(shì)場(chǎng)下粒子的運(yùn)動(dòng)往往可以用線性諧振動(dòng)來(lái)近似描述 1 方程的建立 線性諧振子的Hamilton量 則Schrodinger方程可寫(xiě)為 為簡(jiǎn)單計(jì) 引入無(wú)量綱變量 代替x 二 線性諧振子 2 求解 為求解方程 我們先看一下它的漸近解 即當(dāng) 時(shí)波函數(shù) 的行為 在此情況下 2 于是方程變?yōu)?其解為 exp 2 2 1 漸近解 欲驗(yàn)證解的正確性 可將其代回方程 波函數(shù)有限性條件 當(dāng) 時(shí) 應(yīng)有c2 0 因整個(gè)波函數(shù)尚未歸一化 所以c1可以令其等于1 最后漸近波函數(shù)為 2 1 其中H 必須滿(mǎn)足波函數(shù)的單值 有限 連續(xù)的標(biāo)準(zhǔn)條件 即 當(dāng) 有限時(shí) H 有限 當(dāng) 時(shí) H 的行為要保證 0 將 表達(dá)式代入方程得關(guān)于待求函數(shù)H 所滿(mǎn)足的方程 2 H 滿(mǎn)足的方程 3 級(jí)數(shù)解 我們以級(jí)數(shù)形式來(lái)求解 為此令 該式對(duì)任意 都成立 故 同次冪前的系數(shù)均應(yīng)為零 即 bk 2 k 2 k 1 bk2k bk 1 0從而導(dǎo)出系數(shù)bk的遞推公式 為了滿(mǎn)足波函數(shù)有限性要求 冪級(jí)數(shù)H 必須從某一項(xiàng)截?cái)嘧兂梢粋€(gè)多項(xiàng)式 換言之 要求H 從某一項(xiàng) 比如第n項(xiàng) 起以后各項(xiàng)的系數(shù)均為零 即bn 0 bn 2 0 代入遞推關(guān)系 得 3 厄密多項(xiàng)式 厄密多項(xiàng)式和諧振子波函數(shù)的遞推關(guān)系 可導(dǎo)出厄密多項(xiàng)式的遞推關(guān)系 應(yīng)用實(shí)例 例 已知H0 1 H1 2 則根據(jù)上述遞推關(guān)系得出 H2 2 H1 2nH0 4 2 2 下面給出前幾個(gè)厄密多項(xiàng)式具體表達(dá)式 H0 1H2 4 2 2H4 16 4 48 2 12H1 2 H3 8 3 12 H5 32 5 160 3 120 基于厄密多項(xiàng)式的遞推關(guān)系可以導(dǎo)出諧振子波函數(shù) x 的遞推關(guān)系 4 討論 1 對(duì)應(yīng)一個(gè)諧振子能級(jí)只有一個(gè)本征函數(shù) 即一個(gè)狀態(tài) 所以能級(jí)是非簡(jiǎn)并的 值得注意的是 基態(tài)能量E0 1 2 0 稱(chēng)為零點(diǎn)能 這與無(wú)窮深勢(shì)阱中的粒子的基態(tài)能量不為零是相似的 是微觀粒子波粒二相性的表現(xiàn) 能量為零的 靜止的 波是沒(méi)有意義的 零點(diǎn)能是量子效應(yīng) 2 波函數(shù) 以基態(tài)為例 在經(jīng)典情形下 粒子將被限制在 x 1范圍中運(yùn)動(dòng) 這是因?yàn)檎褡釉谶@一點(diǎn) x 1 處 其勢(shì)能V x 1 2 2x2 1 2 E0 即勢(shì)能等于總能量 動(dòng)能為零 粒子被限制在阱內(nèi) 然而 量子情況與此不同對(duì)于基態(tài) 其幾率密度是 0 0 2 N02exp 2 分析上式可知 一方面表明在 0處找到粒子的幾率最大 另一方面 在 1處 即在阱外找到粒子的幾率不為零 與經(jīng)典情況完全不同 分析波函數(shù)可知量子力學(xué)的諧振子波函數(shù) n有n個(gè)節(jié)點(diǎn) 在節(jié)點(diǎn)處找到粒子的幾率為零 而經(jīng)典力學(xué)的諧振子在 a a 區(qū)間每一點(diǎn)上都能找到粒子 沒(méi)有節(jié)點(diǎn) 3 幾率分布 作業(yè) 周世勛 量子力學(xué)教程 2 5曾謹(jǐn)言3 8 3 9 3 12 3一維勢(shì)散射問(wèn)題 一 引言 二 方程求解 三 討論 四 應(yīng)用實(shí)例 一 引言 勢(shì)壘穿透是粒子入射被勢(shì)壘散射的一維運(yùn)動(dòng)問(wèn)題 典型勢(shì)壘是方勢(shì)壘 其定義如下 現(xiàn)在的問(wèn)題是已知粒子以能量E沿x正向入射 二 方程求解 1 E V0情況 因?yàn)镋 0 E V0 所以k1 0 k2 0 上面的方程可改寫(xiě)為 上述三個(gè)區(qū)域的Schrodinger方程可寫(xiě)為 定態(tài)波函數(shù) 1 2 3分別乘以含時(shí)因子exp iEt 即可看出 式中第一項(xiàng)是沿x正向傳播的平面波 第二項(xiàng)是沿x負(fù)向傳播的平面波 由于在x a的III區(qū)沒(méi)有反射波 所以C 0 于是解為 利用波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件來(lái)定系數(shù) 首先 解單值 有限條件滿(mǎn)足 1 波函數(shù)連續(xù) 綜合整理記之 2 波函數(shù)導(dǎo)數(shù)連續(xù) 波函數(shù)意義 3 求解線性方程組 4 透射系數(shù)和反射系數(shù) 求解方程組得 為了定量描述入射粒子透射勢(shì)壘的幾率和被勢(shì)壘反射的幾率 定義透射系數(shù)和反射系數(shù) I透射系數(shù) 透射波幾率流密度與入射波幾率流密度之比稱(chēng)為透射系數(shù)D JD JI II反射系數(shù) 反射波幾率流密度與入射波幾率流密度之比稱(chēng)為反射系數(shù)R JR JI 其物理意義是 描述貫穿到x a的III區(qū)中的粒子在單位時(shí)間內(nèi)流過(guò)垂直x方向的單位面積的數(shù)目與入射粒子 在x 0的I區(qū) 在單位時(shí)間內(nèi)流過(guò)垂直于x方向單位面積的數(shù)目之比 下面求D和R 幾率流密度矢量 對(duì)一維定態(tài)問(wèn)題 J與時(shí)間無(wú)關(guān) 所以入射波 Aexp ik1x A exp ik1x 對(duì)透射波 Cexp ik1x 所以透射波幾率流密度 反射波 A exp ik1x 所以反射波幾率流密度 其中負(fù)號(hào)表示與入射波方向相反 則入射波幾率流密度 于是透射系數(shù)為 由以上二式顯然有D R 1 說(shuō)明入射粒子一部分貫穿勢(shì)壘到x a的III區(qū) 另一部分則被勢(shì)壘反射回來(lái) 同理得反射系數(shù) 2 E V0情況 故可令 k2 ik3 其中k3 2 V0 E 1 2 這樣把前面公式中的k2換成ik3并注意到 sinhik3a isinhk3a 即使E V0 在一般情況下 透射系數(shù)D并不等于零 入射波 反射波 透射波 因k2 2 E V0 1 2 當(dāng)E V0時(shí) k2是虛數(shù) 隧道效應(yīng) tunneleffect 粒子能夠穿透比它動(dòng)能更高的勢(shì)壘的現(xiàn)象 它是粒子具有波動(dòng)性的生動(dòng)表現(xiàn) 當(dāng)然 這種現(xiàn)象只在一定條件下才比較顯著 下圖給出了勢(shì)壘穿透的波動(dòng)圖象 三 討論 1 當(dāng)k3a 1時(shí) 故4可略 透射系數(shù)則變?yōu)?粗略估計(jì) 認(rèn)為k1 k3 相當(dāng)于E V0 2 則D0 4是一常數(shù) 下面通過(guò)實(shí)例來(lái)說(shuō)明透射系數(shù)的量級(jí)大小 于是 例1 入射粒子為電子 設(shè)E 1eV V0 2eV a 2 10 8cm 2 算得D 0 51 若a 5 10 8cm 5 則D 0 024 可見(jiàn)透射系數(shù)迅速減小 質(zhì)子與電子質(zhì)量比 p e 1840 對(duì)于a 2 則D 2 10 38 可見(jiàn)透射系數(shù)明顯的依賴(lài)于粒子的質(zhì)量和勢(shì)壘的寬度 量子力學(xué)提出后 Gamow首先用勢(shì)壘穿透成功的說(shuō)明了放射性元素的 衰變現(xiàn)象 例2 入射粒子換成質(zhì)子 2 任意形狀的勢(shì)壘 則x1 x2貫穿勢(shì)壘V x 的透射系數(shù)等于貫穿這些小方勢(shì)壘透射系數(shù)之積 即 此式的推導(dǎo)是不太嚴(yán)格的 但該式與嚴(yán)格推導(dǎo)的結(jié)果一致 對(duì)每一小方勢(shì)壘透射系數(shù) 可把任意形狀的勢(shì)壘分割成許多小勢(shì)壘 這些小勢(shì)壘可以近似用方勢(shì)壘處理