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第七章量子力學(xué)的矩陣形式與表象變換 1態(tài)的表象 2算符的矩陣表示 3量子力學(xué)公式的矩陣表述 4Dirac符號(hào) 5Hellmann Feynman定理及應(yīng)用 6占有數(shù)表象 7么正變換矩陣 1 2 3 4 5 6 7 返回 一 動(dòng)量表象 二 力學(xué)量表象 三 討論 1態(tài)的表象 返回 到目前為止 體系的狀態(tài)都用坐標(biāo) x y z 的函數(shù)表示 也就是說(shuō)描寫狀態(tài)的波函數(shù)是坐標(biāo)的函數(shù) 力學(xué)量則用作用于坐標(biāo)函數(shù)的算符表示 但是這種描述方式在量子力學(xué)中并不是唯一的 這正如幾何學(xué)中選用坐標(biāo)系不是唯一的一樣 坐標(biāo)系有直角坐標(biāo)系 球坐標(biāo)系 柱坐標(biāo)系等 但它們對(duì)空間的描寫是完全是等價(jià)的 波函數(shù)也可以選用其它變量的函數(shù) 力學(xué)量則相應(yīng)的表示為作用于這種函數(shù)上的算符 表象 量子力學(xué)中態(tài)和力學(xué)量的具體表示方式稱為表象 以前采用的是坐標(biāo)表象 下面我們要介紹其他表象 在坐標(biāo)表象中 體系的狀態(tài)用波函數(shù) x t 描寫 這樣一個(gè)態(tài)如何用動(dòng)量為變量的波函數(shù)描寫在前面幾章中已經(jīng)有所介紹 展開系數(shù) 假設(shè) x t 是歸一化波函數(shù) 則C p t 也是歸一 命題 證 一 動(dòng)量表象 C p t 2dp是在 x t 所描寫的狀態(tài)中 測(cè)量粒子的動(dòng)量所得結(jié)果在p p dp范圍內(nèi)的幾率 x t 2dx是在 x t 所描寫的狀態(tài)中 測(cè)量粒子的位置所得結(jié)果在x x dx范圍內(nèi)的幾率 x t 與C p t 一一對(duì)應(yīng) 描述同一狀態(tài) x t 是該狀態(tài)在坐標(biāo)表象中的波函數(shù) 而C p t 就是該狀態(tài)在動(dòng)量表象中的波函數(shù) C p t 物理意義 若 x t 描寫的態(tài)是具有確定動(dòng)量p 的自由粒子態(tài) 即 則相應(yīng)動(dòng)量表象中的波函數(shù) 所以 在動(dòng)量表象中 具有確定動(dòng)量p 的粒子的波函數(shù)是以動(dòng)量p為變量的 函數(shù) 換言之 動(dòng)量本征函數(shù)在自身表象中是一個(gè) 函數(shù) x在自身表象即坐標(biāo)表象中對(duì)應(yīng)有確定值x 本征函數(shù)是 x x 同樣 這可由本征值方程看出 那末 在任一力學(xué)量Q表象中 x t 所描寫的態(tài)又如何表示呢 推廣上述討論 x p都是力學(xué)量 分別對(duì)應(yīng)有坐標(biāo)表象和動(dòng)量表象 因此可以對(duì)任何力學(xué)量Q都建立一種表象 稱為力學(xué)量Q表象 問(wèn)題 1 具有分立本征值的情況 2 含有連續(xù)本征值情況 二 力學(xué)量表象 1 具有分立本征值的情況 設(shè)算符Q的本征值為 Q1 Q2 Qn 相應(yīng)本征函數(shù)為 u1 x u2 x un x 將 x t 按Q的本征函數(shù)展開 若 un都是歸一化的 則an t 也是歸一化的 證 由此可知 an 2表示在 x t 所描述的狀態(tài)中測(cè)量Q得Qn的幾率 a1 t a2 t an t 就是 x t 所描寫狀態(tài)在Q表象中的表示 寫成矩陣形式 共軛矩陣 歸一化可寫為 2 含有連續(xù)本征值情況 例如氫原子能量就是這樣一種力學(xué)量 即有分立也有連續(xù)本征值 設(shè)力學(xué)量Q的本征值和本征函數(shù)分別為 Q1 Q2 Qn q u1 x u2 x un x uq x 則 歸一化則變?yōu)?an t 2是在 x t 態(tài)中測(cè)量力學(xué)量Q所得結(jié)果為Qn的幾率 aq t 2dq是在 x t 態(tài)中測(cè)量力學(xué)量Q所得結(jié)果在q q dq之間的幾率 在這樣的表象中 仍可以用一個(gè)列矩陣表示 歸一化仍可表為 1 這類似于一個(gè)矢量可以在不同坐標(biāo)系描寫一樣 矢量A在直角坐標(biāo)系由三分量AxAyAz描述 在球坐標(biāo)系用三分量ArA A 描述 AxAyAz和Ar A A 形式不同 但描寫同一矢量A 態(tài)矢量 基本矢量 同一狀態(tài)可以在不同表象用波函數(shù)描寫 表象不同 波函數(shù)的形式也不同 但是它們描寫同一狀態(tài) 三 討論 波函數(shù) 是態(tài)矢量 在Q表象中沿各基矢方向上的 分量 Q表象的基矢有無(wú)限多個(gè) 所以態(tài)矢量所在的空間是一個(gè)無(wú)限維的抽象的函數(shù)空間 稱為Hilbert空間 所以我們可以把狀態(tài) 看成是一個(gè)矢量 態(tài)矢量 選取一個(gè)特定力學(xué)量Q表象 相當(dāng)于選取特定的坐標(biāo)系 u1 x u2 x un x 是Q表象的基本矢量簡(jiǎn)稱基矢 一 力學(xué)量算符的矩陣表示 二 Q表象中力學(xué)量算符F的性質(zhì) 三 Q有連續(xù)本征值的情況 算符的矩陣表示 返回 坐標(biāo)表象 Q表象 假設(shè)只有分立本征值 將 按 un x 展開 兩邊左乘u n x 并對(duì)x積分 Q表象的表達(dá)方式 一 力學(xué)量算符的矩陣表示 Q表象的表達(dá)方式 F在Q表象中是一個(gè)矩陣 Fnm是其矩陣元 F 簡(jiǎn)寫成 寫成矩陣形式 寫成矩陣 例1 求Lx在L2 Lz共同表象 1子空間中的矩陣表示 令 u1 Y11u2 Y10 u3 Y1 1 Lx矩陣是3 3矩陣 計(jì)算中使用了公式 由此得Lx矩陣元 Lx 11 Lx 22 Lx 33 0 Lx 13 Lx 31 0 Lx 12 Lx 21 Lx 23 Lx 32 21 2 Lz在自身表象中具有最簡(jiǎn)單形式 是一個(gè)對(duì)角矩陣 對(duì)角元素就是Lz的本征值 同理可得LyLz 則Lx的矩陣元可如下計(jì)算 1 力學(xué)量算符用厄密矩陣表示 所以厄密算符的矩陣表示是一厄密矩陣 例2 在例1中給出了Lx Ly在L2 Lz表象中的矩陣形式 下面我們驗(yàn)證一下這兩個(gè)矩陣是厄密矩陣 二 Q表象中力學(xué)量算符F的性質(zhì) 2 力學(xué)量算符在自身表象中的形式 Q的矩陣形式 結(jié)論 算符在自身表象中是一對(duì)角矩陣 對(duì)角元素就是算符的本征值 1 只有連續(xù)本征值 如果Q只有連續(xù)本征值q 上面的討論仍然適用 只需將u a b的角標(biāo)從可數(shù)的n m換成連續(xù)變化的q 求和換成積分 見(jiàn)下表 算符F在Q表象仍是一個(gè)矩陣 矩陣元由下式確定 只是該矩陣的行列是不是可數(shù)的 而是用連續(xù)下標(biāo)表示 三 Q有連續(xù)本征值的情況 例3 求坐標(biāo)表象中F的矩陣元 例4 求動(dòng)量表象中F的矩陣元 要計(jì)算此積分 需要知道F的具體形式 一 平均值公式 二 本征方程 三 Schrodinger方程的矩陣形式 返回 3量子力學(xué)公式的矩陣表述 坐標(biāo)表象平均值公式 在Q表象中 式右寫成矩陣相乘形式 簡(jiǎn)寫成 一 平均值公式 寫成矩陣形式 表成顯式 整理改寫 上式是一個(gè)齊次線性方程組 方程組有不完全為零解的條件是系數(shù)行列式等于零 久期方程 求解此久期方程得到一組 值 1 2 n 就是F的本征值 將其分別代入原齊次線性方程組就能得到相應(yīng)于各 i的本征矢 于是求解微分方程的問(wèn)題就化成了求解代數(shù)方程根的問(wèn)題 二 本征方程 例1 本征函數(shù)um x 在自身表象中的矩陣表示 同樣將um x 按 的本征函數(shù)展開 顯然有 所以u(píng)m x 在自身表象中的矩陣表示如下 例如 L2 Lz的共同本征函數(shù)Y11 Y10 Y1 1 在L2 Lz的共同表象中的矩陣形式就特別簡(jiǎn)單 例2 求Lx本征態(tài)在Lz表象中的矩陣表示 只討論 1 情況 Lx的本征方程為 解 欲得a1 a2 a3不全為零的解 必須要求系數(shù)行列式等于零 2 2 0 解得本征值 0 取 代入本征方程得 解得 a1 1 21 2 a2a3 1 21 2 a2 由歸一化條件定a2 為簡(jiǎn)單計(jì)取實(shí)數(shù) 同理得另外兩個(gè)本征值相應(yīng)本征函數(shù) 則 1 Lx 的本征態(tài)可記為 寫到Q表象 按力學(xué)量算符Q的本征函數(shù)展開 左乘um t 對(duì)x整個(gè)空間積分 H都是矩陣 簡(jiǎn)寫 三 Schrodinger方程的矩陣形式 作業(yè) 周世勛 量子力學(xué)教程 4 1 4 3 4 4 4Dirac符號(hào) 一 引 二 態(tài)矢量 三 算符 四 總結(jié) 返回 前四章給出的都是X 表象中的形式 本章中給出了任一力學(xué)量Q 表象中的形式 它們都是取定了某一具體的力學(xué)量空間 即某一具體的力學(xué)量表象 量子描述除了使用具體表象外 也可以不取定表象 正如幾何學(xué)和經(jīng)典力學(xué)中也可用矢量形式A來(lái)表示一個(gè)矢量 而不用具體坐標(biāo)系中的分量 Ax Ay Az 表示一樣 量子力學(xué)可以不涉及具體表象來(lái)討論粒子的狀態(tài)和運(yùn)動(dòng)規(guī)律 這種抽象的描述方法是由Dirac首先引用的 所以該方法所使用的符號(hào)稱為Dirac符號(hào) 一 引 1 右矢空間 前面已經(jīng)講過(guò) 一個(gè)狀態(tài)通過(guò)一組力學(xué)量完全集的測(cè)量 完全測(cè)量 來(lái)確定 通常用所測(cè)得的力學(xué)量的量子數(shù)來(lái)確定 例如 一維線性諧振子其狀態(tài)由量子數(shù)n確定 記為 n x 氫原子的狀態(tài)由量子數(shù)n l m確定 記為 nlm r 如此等等 在抽象表象中Dirac用右矢空間的一個(gè)矢量 與量子狀態(tài)相對(duì)應(yīng) 該矢量稱為右矢 n n x n l m nlm狀態(tài) n 和 n x 亦可分別記成 n 和 nlm 對(duì)力學(xué)量的本征態(tài)可表示為 x p Qn 等 因?yàn)榱W(xué)量本征態(tài)構(gòu)成完備系 所以本征函數(shù)所對(duì)應(yīng)的右矢空間中的右矢也組成該空間的完備右矢 或基組 即右矢空間中的完備的基本矢量 簡(jiǎn)稱基矢 右矢空間的任一矢量 可按該空間的某一完備基矢展開 例如 二 態(tài)矢量 2 左矢空間 右矢空間中的每一個(gè)右矢量在左矢空間都有一個(gè)相對(duì)應(yīng)的左矢量 記為 例如 Dirac符號(hào) 右矢空間和左矢空間稱為伴空間或?qū)ε伎臻g 稱為伴矢量 p x Qn 組成左矢空間的完備基組 任一左矢量可按其展開 即左矢空間的任一矢量可按左矢空間的完備基矢展開 3 伴矢量 和 的關(guān)系 按Q的左基矢 Qn 展開 a1 Q1 a2 Q2 an Qn 展開系數(shù)即相當(dāng)于Q表象中的表示 按Q的左基矢 Qn 展開 a 1 Q1 a 2 Q2 a n Qn 展開系數(shù)即相當(dāng)于Q表象中的表示 a 1 a 2 a n 同理某一左矢量和 的標(biāo)積為 顯然 這就是用Dirac表示的波函數(shù)歸一化條件 由標(biāo)積定義得 本征態(tài)的正交歸一化條件可寫為 由此可以看出 和 的關(guān)系 1 在同一確定表象中 各分量互為復(fù)共軛 2 由于二者屬于不同空間所以它們不能相加 只有同一空間的矢量才能相加 3 右矢空間任一右矢可以和左矢空間中任一左矢進(jìn)行標(biāo)積運(yùn)算 其結(jié)果為一復(fù)數(shù) 4 本征函數(shù)的封閉性 展開式 兩邊左乘 Qm 得 將an代回原式得 因?yàn)?是任意態(tài)矢量 所以 成立 本征矢 Qn 的封閉性 I分立譜 對(duì)于連續(xù)譜 q q取連續(xù)值 任一狀態(tài) 展開式為 II連續(xù)譜 左乘 q 代入原式 因?yàn)?是任意態(tài)矢 所以有 同理 對(duì)于 x 和 p 分別有 這就是連續(xù)本征值的本征矢的封閉性 由于 所以它們也稱為單位算符 在運(yùn)算中可插入 乘到 公式任何地方而不改變?cè)降恼_性 例如 在 左側(cè)插入算符 同理 即得態(tài)矢按各種力學(xué)量本征矢的展開式 投影算符 Qn 上 相當(dāng)于把 投影到左基矢 Qn 或 q 上 即作用的結(jié)果只是留下了該態(tài)矢在 Qn 上的分量或 故稱 Qn q 為投影算符 因?yàn)?在X表象的表示是 x t 所以顯然有 封閉性在X表象中的表示 左乘 正交歸一性的表示式是對(duì)坐標(biāo)的積分 封閉性表示式是對(duì)本征值求和或積分 所以 我們也可以把封閉性解釋為本征函數(shù)對(duì)于本征值的求和或積分是正交歸一的 它來(lái)自于本征函數(shù)的完備性 也是本征函數(shù)完備性的表示 分立譜 連續(xù)譜 封閉性與正交歸一性比較 在形式上二者相似 區(qū)別 1 右矢空間 在抽象的Dirac表象 Dirac符號(hào)的特點(diǎn)是簡(jiǎn)單靈活 如果欲把上式寫至Q表象 則只需在適當(dāng)位置插入單位算符 左乘 Qm 把公式變到Q表象 算符F在Q表象中的矩陣表示的矩陣元Fmn 寫成矩陣形式 F Q表象 X表象 三 算符 平均值公式 插入單位算符 2 共軛式 左矢空間 表明量子力學(xué)中的力學(xué)量既可以向右作用到右矢量上 也可以向左作用到左矢量上 若F是厄密算符 例 力學(xué)量算符x在動(dòng)量中的形式 左乘 p 代回原式 故坐標(biāo)算符x在動(dòng)量表象中取如下形式 1 X表象描述與Dirac符號(hào) 四 總結(jié) 2 左右矢空間的對(duì)應(yīng)關(guān)系 左矢空間右矢空間 3 厄密共軛規(guī)則 由常量C 左矢 右矢和算符組成的表示式 求其厄密共軛式的表示規(guī)則 1 把全部次序整個(gè)顛倒 2 作如下代換 常量CC 例如 一 引言 二 H F定理 三 實(shí)例 5Hellmann Feynman定理及應(yīng)用 返回 關(guān)于量子力學(xué)體系能量本征值問(wèn)題 有不少定理 其中應(yīng)用最廣泛的要數(shù)Hellmann Feynman定理 簡(jiǎn)稱H F定理 該定理的內(nèi)容涉及能量本征值及各種力學(xué)量平均值隨參數(shù)變化的規(guī)律 1 當(dāng)體系的能量本征值已求出 借助于H F定理可以得出關(guān)于各種力學(xué)量平均值的許多信息 而不必利用波函數(shù)去進(jìn)行煩瑣的計(jì)算 2 利用H F定理可以很巧妙地推出維里定理 一 引言 設(shè)體系的Hamilton量H中含有某參量 En是H的本征值 n是歸一的束縛態(tài)本征函數(shù) n為一組量子數(shù) 則 證 據(jù)題設(shè) n滿足本征值方程 其共軛方程為 對(duì) 求導(dǎo)數(shù)并左乘 n 得 1 證畢 H F定理很有實(shí)用價(jià)值 H中的 等都可以選為參數(shù) 二 H F定理 1 證明一維諧振子 證 一維諧振子Hamilton量 方法I 取 作為參數(shù) 由HF定理 簡(jiǎn)記為 三 實(shí)例 方法II 令 方法III 取 由HF定理 由HF定理 2 對(duì)類氫離子任何一個(gè)束縛態(tài) nlm 求1 r 1 r2的平均值 解 1 求1 r 取Z為變分參數(shù) 由HF定理 2 求 類氫離子徑向波函數(shù)unl滿足的徑向方程為 改寫成 該方程可看成是一維定態(tài)方程 其等效Hamilton量和本征值為 取 為變分參數(shù) 由HF定理 3 證明維里定理 即 證 I 在坐標(biāo)表象 將 視為參數(shù) 由HF定理 II 在動(dòng)量表象 由HF定理 4 對(duì)類氫原子定態(tài) 證明 證 對(duì)類氫原子 由HF定理 由例 2 知 一 算符a a N 二 占有數(shù)表象 返回 6占有數(shù)表象 本節(jié)我們從新的角度討論這一問(wèn)題 引進(jìn)占有數(shù)表象 2 定義新算符a a N 令 證明二者滿足如下對(duì)易關(guān)系 一 算符a a N 1 坐標(biāo)表象下的線性諧振子 證 證畢 3 用算符a a 表示振子Hamilton量 由a a 定義式將算符x p用新算符a a 表示出來(lái) 代入振子Hamilton量 2 4 a a N的物理意義 I a a 的物理意義 將a作用在能量本征態(tài) n x 上 由 n的遞推公式 用Dirac符號(hào)表示 其中 n n 1 n 1 等都是H的本征基矢 En En 1 En 1 是相應(yīng)本征值 因?yàn)檎褡幽芰恐荒芤?為單位變化 所以 能量單位可以看成是一個(gè)粒子 稱為 聲子 狀態(tài) n 表示體系在此態(tài)中有n個(gè)粒子 聲子 稱為n個(gè)聲子態(tài) 粒子湮滅算符 粒子產(chǎn)生算符 顯然有 振子基態(tài)的基矢 用產(chǎn)生算符a 表示的振子基矢 II N的意義 上式表明 n是N算符的本征值 描寫粒子的數(shù)目 故N稱為粒子數(shù)算符 以 n 為基矢的表象稱為占有數(shù)表象 湮滅算符a的矩陣元 矩陣形式為 產(chǎn)生算符a 的矩陣元 二 占有數(shù)表象 一 不同表象之間的變換和么正變換矩陣 二 波函數(shù)和算符的變換關(guān)系 三 么正變換的性質(zhì) 7么正變換矩陣 返回 1 么正變換矩陣 力學(xué)量A B其本征方程分別為 由于本征基矢的封閉性B基矢可按A的基矢展開 展開系數(shù) 一 不同表象之間的變換和么正變換矩陣 寫成矩陣形式 2 S矩陣的么正性 1 S S I 2 SS I S S SS S S 1 所以 3 如何求么正變換矩陣 方法I 方法II S矩陣元Sk n 1 2 3 即是基矢 在A表象中的表示 即 反之 如果我們已經(jīng)知道了某一力學(xué)量基矢在另一力學(xué)量表象中的表示 那末我們就可以直接把S變換矩陣寫出來(lái) 為清楚簡(jiǎn)單起見(jiàn) 假設(shè) A和B的本征矢各只有3個(gè) 分別為 1 2 3 和 1 2 3 1 S11 1 S21 2 S31 3 2 S12 1 S22 2 S32 3 3 S13 1 S23 2 S33 3 如果 1 2 3 在A表象中的表示已知 在A表象中 B的本征基矢可表示為 將三列矩陣元按原列次序組成一個(gè)新矩陣 就是由A表象到B表象的么正變換矩陣 1 波函數(shù)變換關(guān)系 對(duì)任一態(tài)矢 u 作用A的單位矢量 則 于是 u 在A表象中的表示為 同理 則 u 在B表象中的表示 為了找出b 與an之間的關(guān)系 我們對(duì)此式插入A表象的單位算符得 b S a S 1a b與a之間的變換關(guān)系 二 波函數(shù)和算符的變換關(guān)系 2 算符F的變換關(guān)系 A表象 B表象 F S FS S 1FS 1 么正變換不改變算符的本征值 設(shè)F在A表象中的本征方程為 Fa a 在B表象 S 1a F S 1FSb S 1a F b S 1Fa S 1 a b 可見(jiàn) 不同表象中 力學(xué)量算符F對(duì)應(yīng)同一狀態(tài) a和b描寫同一狀態(tài) 的的本征值不變 基于這一性質(zhì) 解F的本征值問(wèn)題就是把該力學(xué)量從某一表象變到自身表象 使F矩陣對(duì)角化 S 1FSS 1a 三 么正變換的性質(zhì) 2 么正變換不改變矩陣的跡 矩陣的跡定義為該矩陣對(duì)角元素之和 即 F 的跡等于F的跡 也就是說(shuō) 么正變換不改變矩陣的跡 3 矩陣方程式經(jīng)么正變換保持不變 矩陣方程式 證 F S 1FSb S 1a F S 1FS S 1 S 1F S 1 F 證畢 例 設(shè)在A表象中對(duì)易關(guān)系 在B表象 對(duì)易關(guān)系在么正變換下保持不變 4 么正變換不改變厄密矩陣的厄密性 設(shè) A表象 B表象 F S 1FS S 1FS F S 1FS S F S 1 F