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2016-2017學(xué)年河南省三門峽市義馬市八年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷 　 一、選擇題 1．一個正多邊形的每個內(nèi)角都等于150，那么它是（　?。? A．正六邊形 B．正八邊形 C．正十邊形 D．正十二邊形 2．如圖，小強(qiáng)利用全等三角形的知識測量池塘兩端M、N的距離，如果△PQO≌△NMO，則只需測出其長度的線段是（　　） A．PO B．PQ C．MO D．MQ 3．如圖，AC=AD，BC=BD，則有（　　） A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB C．AB與CD互相垂直平分 D．CD平分∠ACB 4．如圖，已知△ABC≌△ADE，∠D=55，∠AED=76，則∠C的大小是（　　） A．50 B．6O C．76 D．55 5．如圖，過△ABC的頂點(diǎn)A，作BC邊上的高，以下作法正確的是（　　） A． B． C． D． 6．下列圖形中，是軸對稱圖形的為（　　） A． B． C． D． 7．點(diǎn)M（3，﹣4）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)M′的坐標(biāo)是（　?。? A．（3，4） B．（﹣3，﹣4） C．（﹣3，4） D．（﹣4，3） 8．下列說法不正確的是（　?。? A．如果兩個圖形全等，那么它們的形狀和大小一定相同 B．圖形全等，只與形狀、大小有關(guān)，而與它們的位置無關(guān) C．全等圖形的面積相等，面積相等的兩個圖形是全等圖形 D．全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等 　 二、填空題 9．如圖△ABC≌△ADE，BC的延長線交DA于F，交DE于G，∠D=25，∠E=105，∠DAC=15，則∠DGB=　　． 10．如圖，已知△ABC是等邊三角形，點(diǎn)B、C、D、E在同一直線上，且CG=CD，DF=DE，則∠E=　　度． 11．如圖的七邊形ABCDEFG中，AB、ED的延長線相交于O點(diǎn)．若圖中∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和為220，則∠BOD的度數(shù)為　?。? 12．等腰三角形的周長為13cm，其中一邊長為3cm，則該等腰三角形的底邊為　　． 13．如圖，在△ABC中，∠C=90，AD平分∠CAB，交CB于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E．若∠B=30，CD=1，則BD的長為　?。? 14．如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（1，4）和（3，0），點(diǎn)C是y軸上的一個動點(diǎn)，且A、B、C三點(diǎn)不在同一條直線上，當(dāng)△ABC的周長最小時，點(diǎn)C的坐標(biāo)是　?。? 15．如圖，如果直線m是多邊形ABCDE的對稱軸，其中∠A=130，∠B=110．那么∠BCD的度數(shù)等于　　度． 　 三、解答題（8個大題，共75分） 16．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中， （1）畫出△ABC關(guān)于y軸的對稱圖形△A1B1C1； （2）直接寫出△ABC關(guān)于x軸對稱的三角形△A2B2C2的各頂點(diǎn)坐標(biāo)． 17．如圖，A、B是兩個蓄水池，都在河流a的同側(cè)，為了方便灌溉作物，要在河邊建一個抽水站，將河水送到A、B兩地，問該站建在河邊什么地方，可使所修的渠道最短，試在圖中確定該點(diǎn)．（保留作圖痕跡） 18．已知，如圖，在△ABC中，∠ACB=90，AE是角平分線，CD是高，AE、CD相交于點(diǎn)F，求證：∠CEF=∠CFE． 19．如圖，AB=AC，∠A=30，AB的垂直平分線MN交AC于點(diǎn)D，求∠DBC的度數(shù)． 20．如圖，已知△ABC≌△BAD，AC與BD相交于點(diǎn)O，求證：OC=OD． 21．如圖，在△ABC中，∠ACB=90，AC=BC，BE⊥CE于點(diǎn)E，AD⊥CE于點(diǎn)D．求證： （1）△BEC≌△CDA； （2）DE=AD﹣BE． 22．如圖，四邊形ABCD中，∠B=90，AB∥CD，M為BC邊上的一點(diǎn)，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC．求證： （1）AM⊥DM； （2）M為BC的中點(diǎn)． 23．閱讀下面關(guān)于三角形內(nèi)外角平分線所夾角的探究片段，完成所提出的問題． 探究一：如圖1，在△ABC中，已知O是∠ABC與∠ACB的平分線BO和CO的交點(diǎn)，通過分析發(fā)現(xiàn)∠BOC=90+∠A，理由如下： ∵BO和CO分別是∠ABC與∠ACB的平分線， ∴∠1=∠ABC，∠2=∠ACB； ∴∠1+∠2=（∠ABC+∠ACB）=（180﹣∠A）=90﹣∠A， ∴∠BOC=180﹣（∠1+∠2）=180﹣（90﹣∠A）=90+∠A． （1）探究二：如圖2中，已知O是∠ABC與外角∠ACD的平分線BO和CO的交點(diǎn)，試分析∠BOC與∠A有怎樣的關(guān)系？并說明理由． （2）探究二：如圖3中，已知O是外角∠DBC與外角∠ECB的平分線BO和CO的交點(diǎn)，試分析∠BOC與∠A有怎樣的關(guān)系？ 　  2016-2017學(xué)年河南省三門峽市義馬市八年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷 參考答案與試題解析 　 一、選擇題 1．一個正多邊形的每個內(nèi)角都等于150，那么它是（　　） A．正六邊形 B．正八邊形 C．正十邊形 D．正十二邊形 【考點(diǎn)】多邊形內(nèi)角與外角． 【分析】由條件可求得多邊形的外角，由外角和為360可求得其邊數(shù)． 【解答】解： ∵一個正多邊形的每個內(nèi)角都等于150， ∴多邊形的每個外角都等于30， ∴多邊形的邊數(shù)==12， 故選D． 【點(diǎn)評】本題主要考查多邊形的內(nèi)角和外角，由條件求得外角的度數(shù)是解題的關(guān)鍵，注意多邊形的外角和為360． 　 2．如圖，小強(qiáng)利用全等三角形的知識測量池塘兩端M、N的距離，如果△PQO≌△NMO，則只需測出其長度的線段是（　?。? A．PO B．PQ C．MO D．MQ 【考點(diǎn)】全等三角形的應(yīng)用． 【分析】利用全等三角形對應(yīng)邊相等可知要想求得MN的長，只需求得其對應(yīng)邊PQ的長，據(jù)此可以得到答案． 【解答】解：要想利用△PQO≌△NMO求得MN的長，只需求得線段PQ的長， 故選：B． 【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是如何將實(shí)際問題與數(shù)學(xué)知識有機(jī)的結(jié)合在一起． 　 3．如圖，AC=AD，BC=BD，則有（　?。? A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB C．AB與CD互相垂直平分 D．CD平分∠ACB 【考點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)． 【專題】壓軸題． 【分析】由已知條件AC=AD，利用線段的垂直平分線的性質(zhì)的逆用可得點(diǎn)A在CD的垂直平分線上，同理，點(diǎn)B也在CD的垂直平分線上，于是A是符合題意的，是正確的，答案可得． 【解答】解：∵AC=AD，BC=BD， ∴點(diǎn)A，B在線段CD的垂直平分線上． ∴AB垂直平分CD． 故選A． 【點(diǎn)評】本題考查的知識點(diǎn)為：與一條線段兩個端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上；兩點(diǎn)確定一條直線．分別應(yīng)用垂直平分線性質(zhì)定理的逆定理是解答本題的關(guān)鍵． 　 4．如圖，已知△ABC≌△ADE，∠D=55，∠AED=76，則∠C的大小是（　?。? A．50 B．6O C．76 D．55 【考點(diǎn)】全等三角形的性質(zhì)． 【分析】由全等三角形的性質(zhì)得出對應(yīng)角相等∠C=∠AED=76，即可得出結(jié)論． 【解答】解：∵△ABC≌△ADE， ∴∠C=∠AED=76； 故選：C 【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)；熟練掌握全等三角形的對應(yīng)角相等的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵． 　 5．如圖，過△ABC的頂點(diǎn)A，作BC邊上的高，以下作法正確的是（　?。? A． B． C． D． 【考點(diǎn)】三角形的角平分線、中線和高． 【分析】根據(jù)三角形高線的定義：過三角形的頂點(diǎn)向?qū)呉咕€，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高線解答． 【解答】解：為△ABC中BC邊上的高的是A選項． 故選A． 【點(diǎn)評】本題考查了三角形的角平分線、中線、高線，熟記高線的定義是解題的關(guān)鍵． 　 6．下列圖形中，是軸對稱圖形的為（　?。? A． B． C． D． 【考點(diǎn)】軸對稱圖形． 【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念求解． 【解答】解：A、不是軸對稱圖形，故本選項錯誤； B、不是軸對稱圖形，故本選項錯誤； C、不是軸對稱圖形，故本選項錯誤； D、是軸對稱圖形，故本選項正確． 故選D． 【點(diǎn)評】本題考查了軸對稱圖形的概念：軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合． 　 7．點(diǎn)M（3，﹣4）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)M′的坐標(biāo)是（　?。? A．（3，4） B．（﹣3，﹣4） C．（﹣3，4） D．（﹣4，3） 【考點(diǎn)】關(guān)于x軸、y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)． 【分析】根據(jù)“關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)”解答． 【解答】解：點(diǎn)M（3，﹣4）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)M′的坐標(biāo)是（3，4）． 故選A． 【點(diǎn)評】本題考查了關(guān)于x軸、y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，解決本題的關(guān)鍵是掌握好對稱點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律： （1）關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)； （2）關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)； （3）關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)． 　 8．下列說法不正確的是（　?。? A．如果兩個圖形全等，那么它們的形狀和大小一定相同 B．圖形全等，只與形狀、大小有關(guān)，而與它們的位置無關(guān) C．全等圖形的面積相等，面積相等的兩個圖形是全等圖形 D．全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等 【考點(diǎn)】全等圖形． 【分析】直接利用全等圖形的定義與性質(zhì)分別分析得出答案． 【解答】解：A．如果兩個圖形全等，那么它們的形狀和大小一定相同，正確，不合題意； B．圖形全等，只與形狀、大小有關(guān)，而與它們的位置無關(guān)，正確，不合題意； C．全等圖形的面積相等，但是面積相等的兩個圖形不一定是全等圖形，故此選項錯誤，符合題意； D．全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等，正確，不合題意； 故選：C． 【點(diǎn)評】此題主要考查了全等圖形的定義與性質(zhì)，正確掌握全等圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵． 　 二、填空題 9．如圖△ABC≌△ADE，BC的延長線交DA于F，交DE于G，∠D=25，∠E=105，∠DAC=15，則∠DGB=　65?。? 【考點(diǎn)】全等三角形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠ACB=∠E，再求出∠ACF，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式計算即可得解． 【解答】解：∵△ABC≌△ADE， ∴∠ACB=∠E=105， ∴∠ACF=180﹣105=75， 在△ACF和△DGF中，∠D+∠DGB=∠DAC+∠ACF， 即25+∠DGB=15+75， 解得∠DGB=65． 故答案為：65 【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識圖是解題的關(guān)鍵． 　 10．如圖，已知△ABC是等邊三角形，點(diǎn)B、C、D、E在同一直線上，且CG=CD，DF=DE，則∠E=　15　度． 【考點(diǎn)】等邊三角形的性質(zhì)；三角形的外角性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)． 【專題】幾何圖形問題． 【分析】根據(jù)等邊三角形三個角相等，可知∠ACB=60，根據(jù)等腰三角形底角相等即可得出∠E的度數(shù)． 【解答】解：∵△ABC是等邊三角形， ∴∠ACB=60，∠ACD=120， ∵CG=CD， ∴∠CDG=30，∠FDE=150， ∵DF=DE， ∴∠E=15． 故答案為：15． 【點(diǎn)評】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，互補(bǔ)兩角和為180以及等腰三角形的性質(zhì)，難度適中． 　 11．如圖的七邊形ABCDEFG中，AB、ED的延長線相交于O點(diǎn)．若圖中∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和為220，則∠BOD的度數(shù)為　40　． 【考點(diǎn)】多邊形內(nèi)角與外角． 【分析】由外角和內(nèi)角的關(guān)系可求得∠1、∠2、∠3、∠4的和，由五邊形內(nèi)角和可求得五邊形OAGFE的內(nèi)角和，則可求得∠BOD． 【解答】解： ∵∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和為220， ∴∠1+∠2+∠3+∠4+220=4180， ∴∠1+∠2+∠3+∠4=500， ∵五邊形OAGFE內(nèi)角和=（5﹣2）180=540， ∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠BOD=540， ∴∠BOD=540﹣500=40， 故答案為：40． 【點(diǎn)評】本題主要考查多邊形的內(nèi)角和，利用內(nèi)角和外角的關(guān)系求得∠1、∠2、∠3、∠4的和是解題的關(guān)鍵． 　 12．等腰三角形的周長為13cm，其中一邊長為3cm，則該等腰三角形的底邊為　3cm　． 【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)；三角形三邊關(guān)系． 【分析】分3cm長的邊是腰和底邊兩種情況進(jìn)行討論即可求解． 【解答】解：當(dāng)長是3cm的邊是底邊時，三邊為3cm，5cm，5cm，等腰三角形成立； 當(dāng)長是3cm的邊是腰時，底邊長是：13﹣3﹣3=7cm，而3+3＜7，不滿足三角形的三邊關(guān)系． 故底邊長是：3cm． 故答案是：3cm 【點(diǎn)評】本題主要考查了等腰三角形的計算，正確理解分兩種情況討論，并且注意到利用三角形的三邊關(guān)系定理，是解題的關(guān)鍵． 　 13．如圖，在△ABC中，∠C=90，AD平分∠CAB，交CB于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E．若∠B=30，CD=1，則BD的長為　2　． 【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠CAB，求出∠CAD=∠BAD=∠B=30，根據(jù)含30角的直角三角形性質(zhì)求出AD，即可得出答案． 【解答】解：∵∠B=30，∠C=90， ∴∠CAB=60， ∵AD平分∠CAB， ∴∠CAD=∠BAD=30， ∴AD=BD， 在△ACD中，∠C=90，CD=1，∠CAD=30， ∴AD=2CD=2， 即BD=2， 故答案為：2． 【點(diǎn)評】本題考查了含30角的直角三角形性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，能求出AD的長和求出BD=AD是解此題的關(guān)鍵． 　 14．如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（1，4）和（3，0），點(diǎn)C是y軸上的一個動點(diǎn)，且A、B、C三點(diǎn)不在同一條直線上，當(dāng)△ABC的周長最小時，點(diǎn)C的坐標(biāo)是　（0，3）?。? 【考點(diǎn)】軸對稱-最短路線問題；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)． 【分析】根據(jù)軸對稱做最短路線得出AE=B′E，進(jìn)而得出B′O=C′O，即可得出△ABC的周長最小時C點(diǎn)坐標(biāo)． 【解答】解：作B點(diǎn)關(guān)于y軸對稱點(diǎn)B′點(diǎn)，連接AB′，交y軸于點(diǎn)C′， 此時△ABC的周長最小， ∵點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（1，4）和（3，0）， ∴B′點(diǎn)坐標(biāo)為：（﹣3，0），AE=4， 則B′E=4，即B′E=AE， ∵C′O∥AE， ∴B′O=C′O=3， ∴點(diǎn)C′的坐標(biāo)是（0，3），此時△ABC的周長最小． 故答案為（0，3）． 【點(diǎn)評】此題主要考查了利用軸對稱求最短路線以及平行線的性質(zhì)，根據(jù)已知得出C點(diǎn)位置是解題關(guān)鍵． 　 15．如圖，如果直線m是多邊形ABCDE的對稱軸，其中∠A=130，∠B=110．那么∠BCD的度數(shù)等于　60　度． 【考點(diǎn)】軸對稱的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)軸對稱圖形的特點(diǎn)，且直線m把多邊形ABCDE分成二個四邊形，再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和是360，通過計算便可解決問題． 【解答】解：把AE與直線m的交點(diǎn)記作F， ∵在四邊形ABCF中，∠A=130，∠B=110，且直線m是多邊形的對稱軸； ∴∠BCD=2∠BCF=2（360﹣130﹣110﹣90）=60． 故填60． 【點(diǎn)評】此題考查了軸對稱圖形和四邊形的內(nèi)角和二項知識點(diǎn)，屬常見題型，比較簡單． 　 三、解答題（8個大題，共75分） 16．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中， （1）畫出△ABC關(guān)于y軸的對稱圖形△A1B1C1； （2）直接寫出△ABC關(guān)于x軸對稱的三角形△A2B2C2的各頂點(diǎn)坐標(biāo)． 【考點(diǎn)】作圖-軸對稱變換． 【分析】（1）分別作出各點(diǎn)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)，再順次連接即可； （2）分別作出各點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)，再順次連接，并寫出各點(diǎn)坐標(biāo)即可． 【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求； （2）如圖，△A2B2C2即為所求． A2（﹣3，﹣2），B2（﹣4，3），C2（﹣1，1）． 【點(diǎn)評】本題考查的是作圖﹣軸對稱變換，熟知軸對稱的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵． 　 17．如圖，A、B是兩個蓄水池，都在河流a的同側(cè)，為了方便灌溉作物，要在河邊建一個抽水站，將河水送到A、B兩地，問該站建在河邊什么地方，可使所修的渠道最短，試在圖中確定該點(diǎn)．（保留作圖痕跡） 【考點(diǎn)】軸對稱-最短路線問題． 【專題】作圖題． 【分析】根據(jù)兩點(diǎn)間線段最短可知作點(diǎn)A關(guān)于直線a對稱的點(diǎn)C，連接BC交a于點(diǎn)P，則點(diǎn)P就是抽水站的位置． 【解答】解：作點(diǎn)A關(guān)于直線a對稱的點(diǎn)C，連接BC交a于點(diǎn)P，則點(diǎn)P就是抽水站的位置． 【點(diǎn)評】本題要根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短的思路來做，但找兩點(diǎn)之間的線段卻要用到軸對稱，作對稱點(diǎn)是本題的一個關(guān)鍵． 　 18．已知，如圖，在△ABC中，∠ACB=90，AE是角平分線，CD是高，AE、CD相交于點(diǎn)F，求證：∠CEF=∠CFE． 【考點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理． 【專題】證明題． 【分析】先根據(jù)在△ABC中，∠ACB=90，CD是高可得出∠ACD+∠CAB=90，∠B+∠CAB=90，故∠ACD=∠B，再根據(jù)AE是角平分線可知∠CAE=∠BAE，進(jìn)而可得出結(jié)論． 【解答】證明：∵∠ACB=90，CD是高， ∴∠ACD+∠CAB=90，∠B+∠CAB=90， ∴∠ACD=∠B； ∵AE是角平分線， ∴∠CAE=∠BAE； ∵∠CFE=∠CAE+∠ACD，∠CEF=∠BAE+∠B， ∴∠CFE=∠CEF． 【點(diǎn)評】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，熟知三角形內(nèi)角和是180是解答此題的關(guān)鍵． 　 19．如圖，AB=AC，∠A=30，AB的垂直平分線MN交AC于點(diǎn)D，求∠DBC的度數(shù)． 【考點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)． 【分析】由AB=AC，∠A=30，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可求得∠ABC的度數(shù)，又由AB的垂直平分線MN交AC于點(diǎn)D，可得AD=BD，繼而求得∠ABD的度數(shù)，則可求得答案． 【解答】解：∵AB=AC，∠A=30， ∴∠ABC=∠C=75， ∵AB的垂直平分線MN交AC于點(diǎn)D， ∴AD=BD， ∴∠ABD=∠A=30， ∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=45． 【點(diǎn)評】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用． 　 20．如圖，已知△ABC≌△BAD，AC與BD相交于點(diǎn)O，求證：OC=OD． 【考點(diǎn)】全等三角形的性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)． 【專題】證明題． 【分析】由△ABC≌△BAD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠CAB=∠DBA，AC=BD，利用等角對等邊得到OA=OB，那么AC﹣OA=BD﹣OB，即：OC=OD． 【解答】證明：∵△ABC≌△BAD， ∴∠CAB=∠DBA，AC=BD， ∴OA=OB， ∴AC﹣OA=BD﹣OB， 即：OC=OD． 【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對應(yīng)邊相等，全等三角形的對應(yīng)角相等．也考查了等腰三角形的判定及等式的性質(zhì)． 　 21．如圖，在△ABC中，∠ACB=90，AC=BC，BE⊥CE于點(diǎn)E，AD⊥CE于點(diǎn)D．求證： （1）△BEC≌△CDA； （2）DE=AD﹣BE． 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形． 【專題】證明題． 【分析】（1）易證∠CAD=∠BCE，即可證明△CDA≌△BEC，即可解題； （2）根據(jù)（1）中結(jié)論可得CD=BE，CE=AD，根據(jù)DE=CE﹣CD，即可解題． 【解答】證明：（1）∵∠ACD+∠BCE=90，∠ACD+∠CAD=90， ∴∠CAD=∠BCE， 在△CDA和△BEC中， ， ∴△CDA≌△BEC（AAS）； （2）∵△CDA≌△BEC， ∴CD=BE，CE=AD， ∵DE=CE﹣CD， ∴DE=AD﹣BE． 【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證△CDA≌△BEC是解題的關(guān)鍵． 　 22．（2015秋?潮南區(qū)期末）如圖，四邊形ABCD中，∠B=90，AB∥CD，M為BC邊上的一點(diǎn)，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC．求證： （1）AM⊥DM； （2）M為BC的中點(diǎn)． 【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)． 【專題】證明題． 【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠BAD+∠ADC=180，根據(jù)角平分線的定義得到∠MAD+∠ADM=90，根據(jù)垂直的定義得到答案； （2）作NM⊥AD，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到BM=MN，MN=CM，等量代換得到答案． 【解答】解：（1）∵AB∥CD， ∴∠BAD+∠ADC=180， ∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC， ∴2∠MAD+2∠ADM=180， ∴∠MAD+∠ADM=90， ∴∠AMD=90， 即AM⊥DM； （2）作NM⊥AD交AD于N， ∵∠B=90，AB∥CD， ∴BM⊥AB，CM⊥CD， ∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC， ∴BM=MN，MN=CM， ∴BM=CM， 即M為BC的中點(diǎn)． 【點(diǎn)評】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)和角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵． 　 23．閱讀下面關(guān)于三角形內(nèi)外角平分線所夾角的探究片段，完成所提出的問題． 探究一：如圖1，在△ABC中，已知O是∠ABC與∠ACB的平分線BO和CO的交點(diǎn)，通過分析發(fā)現(xiàn)∠BOC=90+∠A，理由如下： ∵BO和CO分別是∠ABC與∠ACB的平分線， ∴∠1=∠ABC，∠2=∠ACB； ∴∠1+∠2=（∠ABC+∠ACB）=（180﹣∠A）=90﹣∠A， ∴∠BOC=180﹣（∠1+∠2）=180﹣（90﹣∠A）=90+∠A． （1）探究二：如圖2中，已知O是∠ABC與外角∠ACD的平分線BO和CO的交點(diǎn)，試分析∠BOC與∠A有怎樣的關(guān)系？并說明理由． （2）探究二：如圖3中，已知O是外角∠DBC與外角∠ECB的平分線BO和CO的交點(diǎn)，試分析∠BOC與∠A有怎樣的關(guān)系？ 【考點(diǎn)】三角形的外角性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理． 【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義可得∠1=∠ABC，∠2=∠ACD，再根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和和角平分線的定義可得∠2=∠ACD=（∠A+∠ABC），∠BOC=∠2﹣∠1，然后整理即可得解； （2）根據(jù)三角形的外角性質(zhì)以及角平分線的定義表示出∠OBC和∠OCB，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理解答． 【解答】解：（1）探究2結(jié)論：∠BOC=∠A． 理由如下：∵BO和CO分別是∠ABC和∠ACD的角平分線， ∴∠1=∠ABC，∠2=∠ACD， 又∵∠ACD是△ABC的一個外角， ∴∠2=∠ACD=（∠A+∠ABC）=∠A+∠1， ∵∠2是△BOC的一個外角， ∴∠BOC=∠2﹣∠1=∠A+∠1﹣∠1=∠A， 即∠BOC=∠A； （2）由三角形的外角性質(zhì)和角平分線的定義，∠OBC=（∠A+∠ACB），∠OCB=（∠A+∠ABC）， 在△BOC中，∠BOC=180﹣∠OBC﹣∠OCB=180﹣（∠A+∠ACB）﹣（∠A+∠ABC）， =180﹣（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）， =180﹣（180+∠A）， =90﹣∠A 【點(diǎn)評】本題考查了三角形的外角性質(zhì)，角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和定理，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識圖，整體思想的利用是解題的關(guān)鍵． 　  第23頁（共23頁）