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2020年1月29日星期三 1 第七節(jié)頻率特性和時域性能指標(biāo)的關(guān)系 2020年1月29日星期三 2 通過頻率特性曲線獲得穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)頻率域性能指標(biāo)頻率域特性指標(biāo)與時域瞬態(tài)指標(biāo)的關(guān)系 主要內(nèi)容 2020年1月29日星期三 3 一 穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)分析 在波德圖上 低頻漸進(jìn)線的斜率和的關(guān)系如下 由 可求得值 也可由 求 開環(huán)放大系數(shù)k的求法有兩種 2020年1月29日星期三 4 當(dāng)時 k也可由與橫軸的交點來求 當(dāng)時 有 2020年1月29日星期三 5 二 頻域性能指標(biāo) 開環(huán)頻域指標(biāo)幅值穩(wěn)定裕度 180 穿越頻率處的負(fù)增益定義在極坐標(biāo)上 定義在對數(shù)坐標(biāo)上 相角穩(wěn)定裕度 截止頻率 幅值穿越頻率 處的相位 180 其中 其中 2020年1月29日星期三 6 閉環(huán)頻域指標(biāo) 右圖為典型閉環(huán)系統(tǒng)的幅頻特性 常用的閉環(huán)頻域指標(biāo)包括 零頻振幅比M 0 直接反映系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度 M 0 1 當(dāng)階躍函數(shù)輸入系統(tǒng)時 其階躍響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)值c 等于輸入 即系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為0 M 0 1 表示系統(tǒng)存在穩(wěn)態(tài)誤差 M 0 越接近1 系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度越高 反之 系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度越低 諧振峰值Mp Mp值越大 表明系統(tǒng)對頻率為的正弦信號響應(yīng)越強烈 有諧振的趨勢 表明系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性較差 系統(tǒng)的階躍響應(yīng)將有較大的超調(diào)量 2020年1月29日星期三 7 諧振頻率 Mp對應(yīng)的頻率 從前面閉環(huán)系統(tǒng)的分析可知 未必所有的系統(tǒng)都有諧振峰值和諧振頻率 所以使用諧振頻率不能完善的描述系統(tǒng)的低通特性 帶寬頻率 帶寬較寬 表明系統(tǒng)能通過頻率較高的輸入信號 帶寬較窄 說明系統(tǒng)只能通過領(lǐng)率較低的輸入情號 因此 通頻帶較寬的系統(tǒng) 重演輸人信號的能力較強 但抑制輸入端高頻干擾的能力較弱 我們還將進(jìn)一步討論帶寬與系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時間之間的密切關(guān)系 開環(huán)頻率特性中頻段斜率與系統(tǒng)穩(wěn)定性的關(guān)系 中頻段是指系統(tǒng)截止頻率附近的頻段 右圖為開環(huán)為積分環(huán)節(jié)的單位反饋系統(tǒng) 系統(tǒng)的相角文檔裕度分別為90 和0 第二個系統(tǒng)是不穩(wěn)定的 2020年1月29日星期三 8 一般情況下 系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻特性的斜率在整個頻率范圍內(nèi)并非是一成不變的 系統(tǒng)相角余量r應(yīng)由整個對數(shù)幅頻特性中各段的斜率共同確定 但是 L 在 c處曲線的斜率對相角裕度r的影響最大 遠(yuǎn)離 c曲線的斜率對r的影響很小 當(dāng) c較低時 相角裕度主要由L 低頻段的斜率決定 當(dāng) c較高時 相角裕度主要由L 高頻段的斜率決定 當(dāng) c低頻往高頻變化時 相角裕度受L 低頻段斜率的影響逐步減小 受L 高頻段斜率的影響則逐步增大 例 分析相角穩(wěn)定裕度與系統(tǒng)參數(shù)的關(guān)系 解 繪制系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)頻率特性 使用分段直線近似 如右圖 分段直線的斜率分別為 40 20 40 要使得系統(tǒng)有較大的相角裕度 c應(yīng)取在什么位置 2020年1月29日星期三 9 令 相角裕度為 由上式可知 如果 c 2不變 r僅隨 1變化 1增高 r減小 1降低 r增大 若T1較大 1較低 即離 c較遠(yuǎn) 斜率為 40的低頻段對r的影響較小 若T1足夠大 低頻段影響可忽略 此時 如果 c 1不變 r僅隨 2變化 2增高 r減小 2降低 r增大 若T2較大 2較低 即離 c較遠(yuǎn) 斜率為 40的高頻段對r的影響較小 若T2足夠大 高頻段影響可忽略 此時 如果 1 2不變 令 2 h 1 其中h 2 1 h可描述L 中頻段寬度 2020年1月29日星期三 10 通過改變K值 相角裕度隨 c的變化如右圖 K增大 L 特性上移 c增大 更加靠近 2 L 高頻段斜率對r的影響大 相角裕度較小 K減小 L 特性下移 c減小 更加靠近 1 L 低頻段斜率對r的影響大 相角裕度較小 K減小取某個值時 可使r達(dá)到極大值 或 由上式可知 調(diào)節(jié)K使處于 1與 2的幾何中心點時 系統(tǒng)具有最大相角裕度 由上式又知 系統(tǒng)的中頻段寬度越寬 通過調(diào)節(jié)K可能達(dá)到的最大相角裕度越大 系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性也就越高 2020年1月29日星期三 11 四 開環(huán)頻率特性與瞬態(tài)性能指標(biāo)的關(guān)系 頻域性能指標(biāo) 由頻寬的定義知 我們知道一階慣性環(huán)節(jié)的調(diào)整時間是 則頻寬越大 調(diào)整時間越小 一階系統(tǒng) 傳遞函數(shù)為 二階系統(tǒng) 閉環(huán)頻率特性為 開環(huán)頻率特性為 2020年1月29日星期三 12 幅頻特性為 相頻特性為 r與的關(guān)系 2020年1月29日星期三 13 繪制r Mp 與 之間的關(guān)系 如右圖所示 由圖中可見r與 是單調(diào)增的 于是 r越小 越大 r越大 越小 為了使系統(tǒng)的瞬態(tài)過程震蕩不太激烈 調(diào)節(jié)時間比較小 通常取30 r 60 r c與Ts的關(guān)系 又 所以 可見 Ts與r和 c都有關(guān) 如果r給定 那么Ts與 c成反比 如果兩個二階系統(tǒng)的r相同 那么它們的 相同 c較大的系統(tǒng) Ts必然較短 2020年1月29日星期三 14 高階系統(tǒng) 對于一般的高階系統(tǒng) 要準(zhǔn)確推導(dǎo)出開環(huán)頻域特征量 r和 c 與時域指標(biāo) 和Ts 之間的關(guān)系是困難的 并且使用起來也不方便 在工程中 常遇到的一種高階系統(tǒng)是所謂1 2 1 2 3型系統(tǒng) 其傳遞函數(shù)為 其中a 2 b 2 c 2 d 2 此時 系統(tǒng)的中頻段寬度較大 這時可以用如下經(jīng)驗公式計算系統(tǒng)的 和Ts 2020年1月29日星期三 15 一般的高階系統(tǒng) 如果斜率為 20db dec的中頻段足夠?qū)挄r 也可以使用如下公式估計系統(tǒng)的性能指標(biāo) 滿足 右圖是根據(jù)上式繪制的r與 和Ts的曲線 可見隨著r的增加 和Ts均變小 說明系統(tǒng)的震蕩減弱并且速度加快 2020年1月29日星期三 16 五 開環(huán)頻率特性高頻段對系統(tǒng)性能的影響 L 高頻段特性由小時間常數(shù)的環(huán)節(jié)構(gòu)成 則其轉(zhuǎn)折頻率均遠(yuǎn)離截止頻率 c 所以對系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)影響不大 但是 從系統(tǒng)抗干擾的角度出發(fā) 研究高頻段的特性是有實際意義的 對于單位反饋系統(tǒng) 開環(huán)頻率特性G j 和閉環(huán)頻率特性 j 的關(guān)系為 在高頻段 即由上式 上式說明 閉環(huán)系統(tǒng)的高頻段特性近似等于開環(huán)頻率特性 因此 L 高頻段幅值直接反映系統(tǒng)對噪聲的抑制能力 高頻段分貝值越低 系統(tǒng)對高頻信號的衰減越厲害 系統(tǒng)抗噪聲能力越強 2020年1月29日星期三 17 六 閉環(huán)頻域指標(biāo)與時域指標(biāo)的關(guān)系 用閉環(huán)頻率特性分析 設(shè)計系統(tǒng) 通常以諧振峰值Mp和頻帶寬度 b 或諧振頻率 p 作為依據(jù) Mp b與時域指標(biāo) Ts之間存在確定關(guān)系 這種關(guān)系在二階系統(tǒng)中是嚴(yán)格的在高階系統(tǒng)中則是近似的 二階系統(tǒng) 閉環(huán)頻率特性為 開環(huán)頻率特性為 Mp與 的關(guān)系 閉環(huán)幅頻特性為 2020年1月29日星期三 18 繪制上述結(jié)果與 r之間關(guān)系 如右圖 圖中表明 Mp越小 系統(tǒng)的阻尼性能越好 若Mp值較高 則系統(tǒng)的動態(tài)過程超調(diào)量大 收斂慢 平穩(wěn)性和快速性都較差 Mp 1 2 1 5時 對應(yīng)的 26 30 這時的動態(tài)過程有適度的振蕩 平穩(wěn)性及快速性均較好 工程中常以Mp 1 3作為系統(tǒng)設(shè)計的依據(jù) Mp過大 如Mp 2 則閉環(huán)系統(tǒng)階躍響應(yīng)的超調(diào)量可達(dá)40 以上 Mp b與Ts的關(guān)系 2020年1月29日星期三 19 同樣可以繪制 bTs和Mp之間的關(guān)系 由圖可見 對于給定的諧振峰值Mp 調(diào)節(jié)時間Ts與帶寬 b成反比 頻帶寬度越寬 則調(diào)節(jié)時間Ts越短 實際上 如果系統(tǒng)有較寬的通頻帶 則表明系統(tǒng)自身的 慣性 很小 故動作過程迅速 系統(tǒng)的快速性好 高階系統(tǒng) 對于高階系統(tǒng) 難于找出閉環(huán)頻率特性的頻域指標(biāo)和時域指標(biāo)之間的關(guān)系 但是 若高階系統(tǒng)存在著一對共扼復(fù)數(shù)主導(dǎo)極點時 則可用二階系統(tǒng)所建立的關(guān)系來近似表示 至于一般的高階系統(tǒng) 常用下列兩個經(jīng)驗公式進(jìn)行分析 估算 其中 2020年1月29日星期三 20 七 結(jié)論 通過以上分析可以看出 系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性反映了閉環(huán)系統(tǒng)的性能 對于最小相位系統(tǒng) 開環(huán)幅頻特性和相頻特性之間有確定的關(guān)系 系統(tǒng)性能完全可以由開環(huán)對數(shù)幅頻特性L 反映 根據(jù)開環(huán)特性與系統(tǒng)性能之間的關(guān)系 我們所希望得到的開環(huán)對數(shù)幅頻特性應(yīng)具有如下的性質(zhì) 如果要求具有一階或二階無差度 則L 特性低頻段應(yīng)具有 20dB dec或 40dB dec的斜率 為保證系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度 低頻段應(yīng)有較高的分貝值 L 特性應(yīng)以 20dB dec的斜率穿過零分貝線 且具有一定的中頻段寬度 這樣 系統(tǒng)就有足夠的穩(wěn)定裕度 以保證閉環(huán)系統(tǒng)具有較好的平穩(wěn)性 L 特性應(yīng)具有盡可能高的截止頻率 c 以提高閉環(huán)系統(tǒng)的快速性 L 特性的高頻段應(yīng)有較大的斜率 以增強系統(tǒng)肋抗干擾能力 2020年1月29日星期三 21 小結(jié) 頻率特性的定義和表示方法Nyquist穩(wěn)定性判據(jù)及其應(yīng)用相對穩(wěn)定性開環(huán)頻率特性與系統(tǒng)性能的關(guān)系閉環(huán)頻率特性與系統(tǒng)性能的關(guān)系高階系統(tǒng)的經(jīng)驗分析方法