四川省成都市高中數(shù)學 第二章 推理與證明綜合檢測 新人教A版選修2-2.doc
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第二章 推理與證明綜合檢測一、選擇題1.自然數(shù)都是整數(shù),4是自然數(shù),所以4是整數(shù).以上“三段論”推理().A.正確B.推理形式不正確C.兩個“自然數(shù)”概念不一致D.“兩個整數(shù)”概念不一致【解析】“三段論”中的大前提,小前提及推理形式都是正確的.【答案】A2.余弦函數(shù)是偶函數(shù),f(x)=cos(x+1)是余弦函數(shù),因此f(x)=cos(x+1)是偶函數(shù),以上推理().A.結論正確B.大前提不正確C.小前提不正確D.全不正確【解析】因為f(x)=cos(x+1)不是余弦函數(shù),所以小前提錯誤.【答案】C3.下列推理不是合情推理的是().A.由圓的性質類比推出球的有關性質B.由直角三角形、等腰三角形、等邊三角形的內角和都是180,歸納出所有三角形的內角和都是180C.某次考試張軍的成績是100分,由此推出全班同學的成績都是100分D.蛇、海龜、蜥蜴是用肺呼吸的,蛇、海龜、蜥蜴是爬行動物,所以所有的爬行動物都是用肺呼吸的【解析】A是類比推理,B、D是歸納推理,C不是合情推理.【答案】C4.若f(n)=1+12+13+12n+1(nN*),則當n=2時,f(n)等于().A.1+12B.15C.1+12+13+14+15D.均不正確【解析】f(n)=1+12+13+12n+1,分子是1,分母是1,2,3,2n+1,故當n=2時,f(n)=1+12+13+122+1=1+12+13+14+15.【答案】C5.下列推理是歸納推理的是().A.A,B為定點,動點P滿足|PA|+|PB|=2a|AB|,則點P的軌跡為橢圓B.由a1=1,an=3n-1,求出S1,S2,S3,猜想出數(shù)列的前n項和Sn的表達式C.由圓x2+y2=r2的面積S=r2,猜想出橢圓x2a2+y2b2=1的面積S=abD.科學家利用魚的沉浮原理制造潛艇【解析】由S1,S2,S3猜想出數(shù)列的前n項和Sn的表達式,是從特殊到一般的推理,所以選項B中的推理是歸納推理,故選B.【答案】B6.函數(shù)y=f(x)的定義域為D,若對任意的x1,x2D都有|f(x1)-f(x2)|1,則稱函數(shù)y=f(x)為“Storm”函數(shù).那么下列函數(shù)是“Storm”函數(shù)的是().A.f(x)=x2(x-1,2)B.f(x)=x3(x0,1)C.f(x)=-2x+1(x-1,0)D.f(x)=1x(x1,3)【解析】由定義知|f(x1)-f(x2)|小于等于函數(shù)f(x)的最大值與最小值之差的絕對值,故要判斷一個函數(shù)是否為“Storm”函數(shù),只需看這個函數(shù)的最值之差的絕對值是否小于1即可.在選項D中,因為f(x)=1x在x1,3上是減函數(shù),所以令m=f(3)=13,M=f(1)=1,所以|M-m|=1-13=231,所以該函數(shù)是“Storm”函數(shù).【答案】D7.下列推理正確的是().A.把a(b+c)與loga(x+y)進行類比,則有l(wèi)oga(x+y)=logax+logayB.把a(b+c)與sin(x+y)進行類比,則有sin(x+y)=sin x+sin yC.把(ab)n與(a+b)n進行類比,則有(x+y)n=xn+ynD.把(a+b)+c與(xy)z進行類比,則有(xy)z=x(yz)【答案】D8.用數(shù)學歸納法證明:12+22+(n-1)2+n2+(n-1)2+22+12=n(2n2+1)3.從n=k到n=k+1,等式左邊應添加的式子是().A.(k-1)2+2k2B.(k+1)2+k2C.(k+1)2D.13(k+1)2(k+1)2+1【解析】當n=k時,左邊=12+22+(k-1)2+k2+(k-1)2+22+12;當n=k+1時,左邊=12+22+(k-1)2+k2+(k+1)2+k2+(k-1)2+22+12.所以從n=k到n=k+1,左邊應添加的式子為(k+1)2+k2.【答案】B9.如表所示,若數(shù)列xn滿足x0=5,且對任何自然數(shù)均有xn+1=f(xn),則x2019=().x12345f(x)41352A.1B.2C.4D.5【解析】因為x1=f(x0)=f(5)=2,x2=f(2)=1,x3=f(1)=4,x4=f(4)=5,x5=f(5)=2,所以數(shù)列xn是周期為4的數(shù)列,所以x2019=x3=4.故選C.【答案】C10.在ABC中,角A,B,C分別為邊a,b,c所對的角.若a,b,c成等差數(shù)列,則角B的取值范圍是().A.0,4B.0,3C.0,2D.2,【解析】a,b,c成等差數(shù)列,a+c=2b,cos B=a2+c2-b22ac=a2+c2-a+c222ac=3(a2+c2)8ac-146ac8ac-14=12.又余弦函數(shù)y=cosx在區(qū)間0,2內單調遞減,0B3.故選B.【答案】B11.觀察數(shù)表:1234第一行2345第二行3456第三行4567第四行第一列第二列第三列第四列根據(jù)數(shù)表所反映的規(guī)律,第n行第n列交叉點上的數(shù)應為().A.2n-1B.2n+1C.n2-1D.n2【答案】A12.若A1B1C1的三個內角的余弦值分別等于A2B2C2的三個內角的正弦值,則().A.A1B1C1和A2B2C2都是銳角三角形B.A1B1C1和A2B2C2都是鈍角三角形C.A1B1C1是鈍角三角形,A2B2C2是銳角三角形D.A1B1C1是銳角三角形,A2B2C2是鈍角三角形【解析】由條件知,A1B1C1的三個內角的余弦值均大于0,故A1B1C1是銳角三角形.假設A2B2C2是銳角三角形,由sin A2=cos A1=sin2-A1,sin B2=cos B1=sin2-B1,sin C2=cos C1=sin2-C1,得A2=2-A1,B2=2-B1,C2=2-C1,故A2+B2+C2=2,這與三角形內角和為相矛盾,所以假設不成立.又由已知可得A2B2C2不是直角三角形,所以A2B2C2是鈍角三角形.【答案】D二、填空題13.已知x,yR,且x+y1,求證:a,b,c,d至少有一個負數(shù).【解析】假設a,b,c,d都是非負數(shù),則1=(a+b)(c+d)=(ac+bd)+(ad+bc)ac+bd,這與已知ac+bd1矛盾.故a,b,c,d至少有一個負數(shù).18.已知A,B都是銳角,且A+B90,(1+tan A)(1+tan B)=2.求證:A+B=45.【解析】(1+tan A)(1+tan B)=2,tan A+tan B=1-tan Atan B.A+B90,tan(A+B)=tanA+tanB1-tanAtanB=1.A,B都是銳角,0A+B0,b0,2ca+b,求證:c-c2-abac+c2-ab.【解析】要證c-c2-abac+c2-ab,只需證-c2-aba-cc2-ab,即證|a-c|c2-ab,只需證(a-c)2(c2-ab)2,只需證a2-2ac+c2a2+ab.因為a0,所以只需證2ca+b.又因為2ca+b成立.所以原不等式成立.20.已知ABC的三邊長都是有理數(shù),求證:(1)cos A是有理數(shù);(2)對任何正整數(shù)n,cos nA和sin Asin nA都是有理數(shù).【解析】(1)由AB,BC,AC的長為有理數(shù)及余弦定理知,cos A=AB2+AC2-BC22ABAC是有理數(shù).(2)用數(shù)學歸納法證明cos nA和sin Asin nA都是有理數(shù).當n=1時,由(1)知cos A是有理數(shù),從而有sin Asin A=1-cos2A也是有理數(shù).假設當n=k(k1,kN*)時,cos kA和sin Asin kA都是有理數(shù),那么當n=k+1時,cos(k+1)A=cos Acos kA-sin Asin kA,sin Asin(k+1)A=sin A(sin Acos kA+cos Asin kA)=(sin Asin A)cos kA+(sin Asin kA)cos A,由和歸納假設知,cos(k+1)A和sin Asin(k+1)A都是有理數(shù).即當n=k+1時,結論成立.綜合可知,對任何正整數(shù)n,cos nA和sin Asin nA都是有理數(shù).21.如圖,已知在三棱錐P-ABC中,PAAB,PABC,ABBC,且PA=AB=BC=2,D為線段AC的中點,E為線段PC上一點.(1)求證:PABD.(2)求證:平面BDE平面PAC.(3)當PA平面BDE時,求三棱錐E-BCD的體積.【解析】(1)PAAB,PABC,且ABBC=B,PA平面ABC.又BD平面ABC,PABD.(2)AB=BC,D為線段AC的中點,在ABC中,BDAC.又由(1)知,PABD,PAAC=A,BD平面PAC.又BD平面BDE,平面BDE平面PAC.(3)當PA平面BDE時,由D是AC的中點知,E為PC的中點.因此ED=12PA=1,ED平面BDC.由AB=BC=2,ABBC,D為AC的中點知,BD=CD=2.又由BDAC知,BDDC,即BDC=90.因此VE-BCD=13SBCDED=1312221=13.22.已知數(shù)列an的前n項和Sn滿足Sn=an2+1an-1,且an0,nN*.(1)求a1,a2,a3;(2)猜想an的通項公式,并用數(shù)學歸納法證明.【解析】(1)a1=S1=a12+1a1-1,即a12+2a1-2=0,an0,a1=3-1.S2=a1+a2=a22+1a2-1,即a22+23a2-2=0,a2=5-3.S3=a1+a2+a3=a32+1a3-1,即a32+25a3-2=0,a3=7-5.(2)由(1)猜想an=2n+1-2n-1,nN*.下面用數(shù)學歸納法證明:當n=1時,由(1)知a1=3-1,猜想成立;假設當n=k(kN*)時,ak=2k+1-2k-1, 猜想成立,那么當n=k+1時,ak+1=Sk+1-Sk=ak+12+1ak+1-1-ak2+1ak-1=ak+12+1ak+1-2k+1.ak+12+22k+1ak+1-2=0.ak+1=2(k+1)+1-2(k+1)-1,即當n=k+1時猜想也成立.綜上可知,對任何nN*猜想都成立.- 配套講稿:
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