2019高中數(shù)學(xué) 第四章 圓與方程 4.2 直線、圓的位置關(guān)系(第1課時)直線與圓的位置關(guān)系講義(含解析)新人教A版必修2.doc
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第1課時直線與圓的位置關(guān)系核心必知1預(yù)習(xí)教材,問題導(dǎo)入根據(jù)以下提綱,預(yù)習(xí)教材P126P128,回答下列問題(1)怎樣用幾何法判斷直線與圓的位置關(guān)系?提示:利用圓心到直線的距離d與圓半徑的大小關(guān)系判斷它們之間的位置關(guān)系,若dr,直線與圓相離;若dr,直線與圓相切;若d0,即m0或m時,直線與圓相交,即直線與圓有兩個公共點(diǎn);當(dāng)0,即m0或m時,直線與圓相切,即直線與圓只有一個公共點(diǎn);當(dāng)0,即m0時,直線與圓相離,即直線與圓沒有公共點(diǎn)法二:已知圓的方程可化為(x2)2(y1)24,即圓心為C(2,1),半徑r2.圓心C(2,1)到直線mxym10的距離d .當(dāng)d0或m2,即m0時,直線與圓相離,即直線與圓沒有公共點(diǎn)判斷直線與圓位置關(guān)系的三種方法(1)幾何法:由圓心到直線的距離d與圓的半徑r的大小關(guān)系判斷(2)代數(shù)法:根據(jù)直線與圓的方程組成的方程組解的個數(shù)來判斷(3)直線系法:若直線恒過定點(diǎn),可通過判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷,但有一定的局限性,必須是過定點(diǎn)的直線系練一練1已知圓C: x2y24x0,l是過點(diǎn)P(3,0)的直線,則()Al與C相交Bl與C相切Cl與C相離 D以上三個選項(xiàng)均有可能解析:選A將點(diǎn)P(3,0)的坐標(biāo)代入圓的方程,得32024391231,點(diǎn)A在圓外(1)若所求直線的斜率存在,設(shè)切線斜率為k,則切線方程為y3k(x4)因?yàn)閳A心C(3,1)到切線的距離等于半徑1,所以1,解得k.所以切線方程為y3(x4),即15x8y360.(2)若切線斜率不存在,圓心C(3,1)到直線x4的距離也為1,這時直線與圓也相切,所以另一條切線方程是x4,綜上,所求切線方程為15x8y360或x4.圓的切線的求法(1)點(diǎn)在圓上時求過圓上一點(diǎn)(x0,y0)的圓的切線方程:先求切點(diǎn)與圓心連線的斜率k,再由垂直關(guān)系得切線的斜率為,由點(diǎn)斜式可得切線方程如果斜率為零或不存在,則由圖形可直接得切線方程xx0或yy0.(2)點(diǎn)在圓外時幾何法:設(shè)切線方程為yy0k(xx0)由圓心到直線的距離等于半徑,可求得k,也就得切線方程代數(shù)法:設(shè)切線方程為yy0k(xx0),與圓的方程聯(lián)立,消去y后得到關(guān)于x的一元二次方程,由0求出k,可得切線方程特別注意:切線的斜率不存在的情況,不要漏解練一練2求過點(diǎn)(1,7)且與圓x2y225相切的直線方程解:由題意知切線斜率存在,設(shè)切線的斜率為k,則切線方程為y7k(x1),即kxyk70.5.解得k或k.所求切線方程為y7(x1)或y7(x1),即4x3y250或3x4y250.講一講3直線l經(jīng)過點(diǎn)P(5,5)并且與圓C: x2y225相交截得的弦長為4,求l的方程(鏈接教材P127例2)思路點(diǎn)撥設(shè)出點(diǎn)斜式方程,利用r、弦心距及弦長的一半構(gòu)成三角形可求嘗試解答據(jù)題意知直線l的斜率存在,設(shè)直線l的方程為y5k(x5),與圓C相交于A(x1,y1),B(x2,y2),法一:聯(lián)立方程組消去y,得(k21)x210k(1k)x25k(k2)0.由10k(1k)24(k21)25k(k2)0,解得k0.又x1x2,x1x2,由斜率公式,得y1y2k(x1x2)|AB| 4.兩邊平方,整理得2k25k20,解得k或k2符合題意故直線l的方程為x2y50或2xy50.法二:如圖所示,|OH|是圓心到直線l的距離,|OA|是圓的半徑,|AH|是弦長|AB|的一半在RtAHO中,|OA|5,|AH|AB|42,則|OH|.,解得k或k2.直線l的方程為x2y50或2xy50.求直線與圓相交的弦長的兩種方法(1)幾何法:如圖1,直線l與圓C交于A,B兩點(diǎn),設(shè)弦心距為d,圓的半徑為r,弦長為|AB|,則有2d2r2,即|AB|2.(2)代數(shù)法:如圖2所示,將直線方程與圓的方程聯(lián)立,設(shè)直線與圓的兩交點(diǎn)分別是A(x1,y1),B(x2,y2),則|AB|x1x2| |y1y2|(直線l的斜率k存在)練一練3求直線l:3xy60被圓C: x2y22y40截得的弦長解:法一:由直線l與圓C的方程,得消去y,得x23x20.設(shè)兩交點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為A(x1,y1),B(x2,y2),由根與系數(shù)的關(guān)系有x1x23,x1x22,|AB|.弦AB的長為.法二:圓C: x2y22y40可化為x2(y1)25.其圓心坐標(biāo)為C(0,1),半徑r,點(diǎn)C(0,1)到直線l的距離為d,所以半弦長.所以弦長|AB|.課堂歸納感悟提升1本節(jié)課的重點(diǎn)是理解直線和圓的三種位置關(guān)系,會用圓心到直線的距離來判斷直線與圓的位置關(guān)系,能解決直線與圓位置關(guān)系的綜合問題難點(diǎn)是解決直線與圓的位置關(guān)系2本節(jié)課要重點(diǎn)掌握的規(guī)律方法(1)直線與圓位置關(guān)系的判斷方法,見講1.(2)求圓的切線的方法,見講2.(3)求直線與圓相交時弦長的方法,見講3.3本節(jié)課的易錯點(diǎn)是在解決直線與圓位置關(guān)系問題時易漏掉斜率不存在的情況,如講2、講3.課下能力提升(二十四)學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)練題組1直線與圓的位置關(guān)系1直線3x4y120與圓(x1)2(y1)29的位置關(guān)系是()A過圓心 B相切C相離 D相交但不過圓心解析:選D圓心(1,1)到直線3x4y120的距離d,0dr,所以相交但不過圓心2(2016洛陽高一檢測)直線l: y1k(x1)和圓x2y22y0的關(guān)系是()A相離 B相切或相交C相交 D相切解析:選Cl過定點(diǎn)A(1,1),1212210,點(diǎn)A在圓上,直線x1過點(diǎn)A且為圓的切線,又l斜率存在,l與圓一定相交,故選C.3求實(shí)數(shù)m的取值范圍,使直線xmy30與圓x2y26x50分別滿足:(1)相交;(2)相切;(3)相離解:圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式為(x3)2y24,故圓心(3,0)到直線xmy30的距離d,圓的半徑r2.(1)若相交,則dr,即r,即2,所以m(2,2)題組2圓的切線問題4若直線yxa與圓x2y21相切,則a的值為()A. BC1 D1解析:選B由題意得1,所以a,故選B.5圓心為(3,0)且與直線xy0相切的圓的方程為()A(x)2y21 B(x3)2y23C(x)2y23 D(x3)2y29解析:選B由題意知所求圓的半徑r,故所求圓的方程為(x3)2y23,故選B.6(2015重慶高考)若點(diǎn)P(1,2)在以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心的圓上,則該圓在點(diǎn)P處的切線方程為_解析:設(shè)切線斜率為k,則由已知得: kkOP1.k.切線方程為x2y50.答案:x2y507已知圓C:(x1)2(y2)22,過點(diǎn)P(2,1)作圓C的切線,切點(diǎn)為A,B.求直線PA,PB的方程解:切線的斜率存在,設(shè)切線方程為y1k(x2),即kxy2k10.圓心到直線的距離等于,即,k26k70,解得k7或k1,故所求的切線方程為y17(x2)或y1(x2),即7xy150或xy10.題組3圓的弦長問題8設(shè)A、B為直線yx與圓x2y21的兩個交點(diǎn),則|AB|()A1 B. C. D2解析:選D直線yx過圓x2y21的圓心C(0,0),則|AB|2.9過點(diǎn)(1,2)的直線l被圓x2y22x2y10截得的弦長為,求直線l的方程解:由題意,直線與圓要相交,斜率必須存在,設(shè)為k.設(shè)直線l的方程為y2k(x1)又圓的方程為(x1)2(y1)21,圓心為(1,1),半徑為1,所以圓心到直線的距離d.解得k1或.所以直線l的方程為y2x1或y2(x1),即xy10或17x7y30.能力提升綜合練1已知a,bR,a2b20,則直線l: axby0與圓x2y2axby0的位置關(guān)系是()A相交 B相切 C相離 D不能確定解析:選B聯(lián)立化簡得x2y20,則即直線l與圓只有一個公共點(diǎn)(0,0),因此它們相切,故選B.2(2015安徽高考)直線3x4yb與圓x2y22x2y10相切,則b的值是()A2或12 B2或12 C2或12 D2或12解析:選D因?yàn)橹本€3x4yb與圓心為(1,1),半徑為1的圓相切,所以1b2或12,故選D.3(2014浙江高考)已知圓x2y22x2ya0截直線xy20所得弦的長度為4,則實(shí)數(shù)a的值是()A2B4C6D8解析:選B圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1)2(y1)22a,r22a,則圓心(1,1)到直線xy20的距離為.由22()22a,得a4.4若點(diǎn)P(2,1)為圓C:(x1)2y225的弦AB的中點(diǎn),則直線AB的方程為()Axy10 B2xy30C2xy50 Dxy30解析:選D圓心是點(diǎn)C(1,0),由CPAB,得kAB1,又直線AB過點(diǎn)P,所以直線AB的方程為xy30.5過點(diǎn)P(1,6)且與圓(x3)2(y2)24相切的直線方程是_解析:當(dāng)所求直線的斜率存在時,設(shè)所求直線的方程為y6k(x1),則d2,解得k,此時,直線方程為: 4y3x270;當(dāng)所求直線的斜率不存在時,所求直線的方程為x1,驗(yàn)證可知,符合題意答案:4y3x270或x16直線l: yxb與曲線C: y有兩個公共點(diǎn),則b的取值范圍是_解析:如圖所示,y是一個以原點(diǎn)為圓心,長度1為半徑的半圓,yxb是一個斜率為1的直線,要使兩圖有兩個交點(diǎn),連接A(1,0)和B(0,1),直線l必在AB以上的半圓內(nèi)平移,直到直線與半圓相切,則可求出兩個臨界位置直線l的b值,當(dāng)直線l與AB重合時,b1;當(dāng)直線l與半圓相切時,b.所以b的取值范圍是1,)答案:1,)7(1)圓C與直線2xy50切于點(diǎn)(2,1),且與直線2xy150也相切,求圓C的方程;(2)已知圓C和y軸相切,圓心C在直線x3y0上,且被直線yx截得的弦長為2,求圓C的方程解:(1)設(shè)圓C的方程為(xa)2(yb)2r2.兩切線2xy50與2xy150平行,2r4,r2,r2,即|2ab15|10,r2,即|2ab5|10,又過圓心和切點(diǎn)的直線與切線垂直,由解得所求圓C的方程為(x2)2(y1)220.(2)設(shè)圓心坐標(biāo)為(3m,m)圓C和y軸相切,得圓的半徑為3|m|,圓心到直線yx的距離為|m|.由半徑、弦心距、半弦長的關(guān)系得9m272m2,m1,所求圓C的方程為(x3)2(y1)29或(x3)2(y1)29.8已知P是直線3x4y80上的動點(diǎn),PA、PB是圓C: x2y22x2y10的兩條切線,A、B是切點(diǎn)(1)求四邊形PACB面積的最小值;(2)直線上是否存在點(diǎn)P,使BPA60,若存在,求出P點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,說明理由解:(1)如圖,連接PC,由P點(diǎn)在直線3x4y80上,可設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為.所以S四邊形PACB2SPAC2|AP|AC|AP|.因?yàn)閨AP|2|PC|2|CA|2|PC|21,所以當(dāng)|PC|2最小時,|AP|最小因?yàn)閨PC|2(1x)2229.所以當(dāng)x時,|PC|9.所以|AP|min2.即四邊形PACB面積的最小值為2.(2)由(1)知圓心C到P點(diǎn)距離3為C到直線上點(diǎn)的最小值,若APB60易得需PC2,這是不可能的,所以這樣的點(diǎn)P是不存在的- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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