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4.5　解直角三角形 [過關演練]　(30分鐘　　70分) 1.cos 60的值等于 (D) A.3 B.1 C.22 D.12 【解析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值,可得cos 60=12. 2.如圖,在平面直角坐標系中,點A的坐標為(3,4),那么sin α的值是 (C) A.35 B.34 C.45 D.43 【解析】作AB⊥x軸于點B,由勾股定理得OA=5,在Rt△AOB中利用正弦的定義得出sin α=ABOA=45. 3.如圖,已知AD是等腰△ABC底邊上的高,且sin B=45.點E在AC上,且AE∶EC=2∶3,則tan ∠ADE= (D) A.13 B.23 C.25 D.12 【解析】作EF∥CD交AD于點F,∵sin B=sin C=ADAC=45,∴設AD=4x,則AC=5x,CD=3x.∵AEEC=AFDF=AD-DFDF=23,∴DF=125x,AF=85x,∵AFAD=EFCD=25,∴EF=65x,∴tan ∠ADE=EFDF=12. 4.△ABC在網(wǎng)格中的位置如圖所示(每個小正方形的邊長為1),AD⊥BC于點D,下列選項中,錯誤的是 (C) A.sin α=cos α B.tan C=2 C.sin β=cos β D.tan α=1 【解析】∵AD⊥BC,AD=BD,∴α=45,∴sin α=cos α,tan α=1.在Rt△ACD中,CD=1,AD=2,∴AC=12+22=5,∴tan C=ADCD=2,sin β=15=55,cos β=25=255,∴sin β≠cos β. 5.(xx浙江金華)如圖,兩根竹竿AB和AD斜靠在墻CE上,量得∠ABC=α,∠ADC=β,則竹竿AB與AD的長度之比為 (B) A.tanαtanβ B.sinβsinα C.sinαsinβ D.cosβcosα 【解析】在Rt△ABC中,AB=ACsinα,在Rt△ACD中,AD=ACsinβ,∴AB∶AD=ACsinα∶ACsinβ=sinβsinα. 6.(xx江蘇無錫)如圖,已知點E是矩形ABCD的對角線AC上的一動點,正方形EFGH的頂點G,H都在邊AD上,若AB=3,BC=4,則tan∠AFE的值 (A) A.等于37 B.等于33 C.等于34 D.隨點E位置的變化而變化 【解析】∵EF∥AD,∴∠AFE=∠FAG,∵EH∥CD,∴△AEH∽△ACD,∴EHAH=CDAD=34.設EH=3x,AH=4x,∴HG=GF=3x,∴tan ∠AFE=tan ∠FAG=GFAG=3x3x+4x=37. 7.(xx重慶)如圖,AB是一垂直于水平面的建筑物,某同學從建筑物底端B出發(fā),先沿水平方向向右行走20米到達點C,再經過一段坡度(或坡比)為i=1∶0.75、坡長為10米的斜坡CD到達點D,然后再沿水平方向向右行走40米到達點E(A,B,C,D,E均在同一平面內).在E處測得建筑物頂端A的仰角為24,則建筑物AB的高度約為(參考數(shù)據(jù):sin 24≈0.41,cos 24≈0.91,tan 24≈0.45)(A) A.21.7米 B.22.4米 C.27.4米 D.28.8米 【解析】作BM⊥ED交ED的延長線于點M,作CN⊥DM于點N.在Rt△CDN中,∵CNDN=10.75=43,∴設CN=4k,DN=3k,∵CD=10,∴(3k)2+(4k)2=100,∴k=2,∴CN=8,DN=6,∵四邊形BMNC是矩形,∴BM=CN=8,MN=BC=20,EM=MN+DN+DE=66,在Rt△AEM中,tan 24=AMEM,∴0.45=8+AB66,∴AB=21.7(米). 8.在△ABC中,AB=122,AC=13,cos ∠B=22,則BC的邊長為 (D) A.7 B.8 C.8或17 D.7或17 【解析】∵cos ∠B=22,∴∠B=45,當△ABC為鈍角三角形時,如圖1,∵AB=122,∠B=45,∴AD=BD=12,∵AC=13,∴由勾股定理得CD=5,∴BC=BD-CD=12-5=7;當△ABC為銳角三角形時,如圖2,∴BC=BD+CD=12+5=17.綜上,BC的長為7或17. 9.在Rt△ABC中,∠ACB=90,CD是斜邊AB的中線,CD=5,AC=6,則sin B的值是35　. 【解析】∵在Rt△ABC中,CD是斜邊AB的中線,CD=5,∴AB=2CD=10,∴sin B=ACAB=610=35. 10.(xx北京)如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格,∠BAC　>　∠DAE.(填“>”“=”或“<”) 【解析】如圖,連接NH,BC,過點N作NP⊥AD于點P,S△ANH=22-12122-1211=12AHNP,32=52PN,PN=35,在Rt△ANP中,sin ∠NAP=PNAN=355=35=0.6,在Rt△ABC中,sin ∠BAC=BCAB=222=22>0.6,∵正弦值隨著角度的增大而增大,∴∠BAC>∠DAE. 11.(xx浙江寧波)如圖,在菱形ABCD中,AB=2,∠B是銳角,AE⊥BC于點E,M是AB的中點,連接MD,ME.若∠EMD=90,則cos B的值為3-12　. 【解析】延長DM交CB的延長線于點H,連接ED.∵四邊形ABCD是菱形,∴AD=BC=AB=2,AD∥CH,∴∠ADM=∠H,∵AM=BM,∠AMD=∠HMB,∴△ADM≌△BHM,∴HB=AD=2,HM=DM,∵EM⊥DH,∴EH=ED,設BE=x,∵AE⊥BC,∴AE⊥AD,∴∠AEB=∠EAD=90,∵AE2=AB2-BE2=DE2-AD2,∴22-x2=(2+x)2-22,解得x=3-1或-3-1(舍棄),∴cos ∠ABE=BEAB=3-12. 12.如圖,一名滑雪運動員沿著傾斜角為34的斜坡,從A滑行至B,已知AB=500米,則這名滑雪運動員的高度下降了　280　米.(參考數(shù)據(jù):sin 34≈0.56,cos 34≈0.83,tan 34≈0.67) 【解析】在Rt△ABC中,sin B=ACAB,∴AC=ABsin 34≈5000.56=280(米). 13.(8分)某地鐵站口的垂直截圖如圖所示,已知∠A=30,∠ABC=75,AB=BC=4米,求點C到地面AD的距離.(結果保留根號) 解:過點B作BE⊥AD于點E,作BF∥AD,過點C作CF⊥BF于點F, 在Rt△ABE中,∠A=30, ∴BE=12AB=2(米). ∵BF∥AD,∴∠ABF=∠A=30, 又∵∠ABC=75,∴∠CBF=45. 在Rt△BCF中,CF=BCsin 45=422=22(米). ∴點C到地面AD的距離為(22+2)米. 14.(10分)(xx遼寧撫順)如圖,BC是路邊坡角為30,長為10米的一道斜坡,在坡頂燈桿CD的頂端D處有一探射燈,射出的邊緣光線DA和DB與水平路面AB所成的夾角∠DAN和∠DBN分別是37和60(圖中的點A,B,C,D,M,N均在同一平面內,CM∥AN). (1)求燈桿CD的高度; (2)求AB的長度.(結果精確到0.1米,參考數(shù)據(jù):3≈1.73,sin 37≈0.60,cos 37≈0.80,tan 37≈0.75) 解:(1)延長DC交AN于點H. ∵∠DBH=60,∠DHB=90, ∴∠BDH=30, ∵∠CBH=30, ∴∠CBD=∠BDC=30, ∴CD=BC=10(米). 答:燈桿CD的高度為10米. (2)在Rt△BCH中,CH=12BC=5,BH=53≈8.65, ∴DH=15, 在Rt△ADH中,AH=DHtan37≈150.75=20, ∴AB=AH-BH=20-8.65≈11.4(米). 答:AB的長度為11.4米. [名師預測] 1.∠A,∠B都是銳角△ABC的內角,cos A-32+sinB-322=0,則∠C的度數(shù)是 (D) A.30 B.45 C.60 D.90 【解析】由題意得cos A-32=0,sin B-32=0,則cos A=32,sin B=32,故∠A=30,∠B=60,則∠C=180-30-60=90. 2.坡比常用來反映斜坡的傾斜程度,如圖所示,斜坡AB的坡比為 (C) A.1∶3 B.3∶1 C.1∶22 D.22∶1 【解析】∵AB=3,BC=1,∠C=90,∴AC=32-12=22,∴斜坡AB的坡比為BCAC=1∶22. 3.如圖,點D(0,3),O(0,0),C(4,0)在☉A上,BD是☉A的一條弦,則sin ∠OBD= (A) A.35 B.34 C.45 D.12 【解析】連接CD,∵D(0,3),C(4,0),∴OD=3,OC=4,∵∠COD=90,∴CD=32+42=5,∵∠OBD=∠OCD,∴sin ∠OBD=sin ∠OCD=ODCD=35. 4.如圖,在水平地面上有一幢房屋BC與一棵樹DE,在地面觀測點A處測得屋頂C與樹梢D的仰角分別是45與60,∠CAD=60,在屋頂C處測得∠DCA=90.若房屋的高BC=6米,則樹高DE的長度為 (D) A.36米 B.62米 C.33米 D.66米 【解析】∵在Rt△ABC中,∠ABC=90,∠CAB=45,BC=6米,∴AC=2BC=62米;∵在Rt△ACD中,∠DCA=90,∠CAD=60,∴∠ADC=30,∴AD=2AC=122米;∵在Rt△DEA中,∠AED=90,∠EAD=60,∴DE=ADsin 60=66米. 5.如圖,在菱形ABCD中,DE⊥AB,垂足是E,DE=6,sin A=35,則菱形ABCD的周長是　40　. 【解析】由已知可得△AED為直角三角形,則sin A=DEAD,即35=6AD,解得AD=10,故菱形ABCD的周長為104=40. 6.如圖,在等腰Rt△ABC中,∠C=90,AC=6,D是AC上一點,若tan ∠DBA=15,則AD的長為　2　. 【解析】過點D作DE⊥AB于點E,∵∠C=90,AC=BC=6,∴AB=2AC=62,∠A=45,在Rt△ADE中,設AE=x,則DE=x,AD=2x,在Rt△BED中,tan ∠DBE=DEBE=15,∴BE=5x,∴x+5x=62,解得x=2,∴AD=22=2. 7.輪船從B處以每小時50海里的速度沿南偏東30方向勻速航行,在B處觀測燈塔A位于南偏東75方向上,輪船航行半小時到達C處,在C處觀測燈塔A位于北偏東60方向上,則C處與燈塔A的距離是　25　海里. 【解析】根據(jù)題意,∠BCD=30,∵∠ACD=60,∴∠ACB=30+60=90,∵∠CBA=75-30=45,∴△ABC為等腰直角三角形,∵BC=500.5=25,∴AC=BC=25(海里). 8.計算:2cos 30-(xx+π)0+|3tan 30-2|. 解:原式=232-1+|3-2| =3-1+2-3 =1. 9.如圖,為了測量建筑物AB的高度,在D處豎立標桿CD,標桿的高是2 m,在DB上選取觀測點E,F,從點E測得標桿和建筑物的頂部C,A的仰角分別為58,45.從點F測得C,A的仰角分別為22,70.求建筑物AB的高度.(結果精確到0.1 m,參考數(shù)據(jù):tan 22≈0.40,tan 58≈1.60,tan 70≈2.75) 解:在Rt△CED中,∠CED=58, ∴DE=CDtan58=2tan58, 在Rt△CFD中,∠CFD=22, ∴DF=CDtan22=2tan22, ∴EF=DF-DE=2tan22-2tan58, 同理EF=BE-BF=ABtan45-ABtan70, ∴ABtan45-ABtan70=2tan22-2tan58, 解得AB≈5.9(米), 答:建筑物AB的高度約為5.9米. 10.如圖,學校的實驗樓對面是一棟教學樓,小敏在實驗樓的窗戶C處測得教學樓頂部D的仰角是18,教學樓底部B的俯角是20,量得實驗樓與教學樓之間的距離是AB=30 m. (1)求∠BCD的度數(shù); (2)求教學樓的高BD. (結果精確到0.1 m,參考數(shù)據(jù):tan 18≈0.32,tan 20≈0.36) 解:(1)過點C作CE⊥BD于點E, ∴∠DCE=18,∠BCE=20, ∴∠BCD=∠DCE+∠BCE=18+20=38. (2)由已知得CE=AB=30 m, 在Rt△CBE中,BE=CEtan 20≈300.36=10.80 (m), 在Rt△CDE中,DE=CEtan 18≈300.32=9.60 (m), ∴教學樓的高BD=BE+DE=10.80+9.60=20.4 (m). 答:教學樓的高為20.4 m.