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第二節(jié)直線與圓的位置關(guān)系 知識梳理 1 圓周角 圓心角 弦切角定理 一半 弧的度數(shù) 相等 相等 圓周角 2 1 性質(zhì) 定理1 圓的內(nèi)接四邊形的對角 定理2 圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的 2 判定 定理 如果一個四邊形的對角互補 那么這個四邊形的四個頂點 推論 如果四邊形的一個外角等于它的內(nèi)角的對角 那么這個四邊形的四個頂點共圓 互補 內(nèi)角的對角 共圓 3 圓的切線的性質(zhì)與判定定理 1 性質(zhì)定理 圓的切線垂直于經(jīng)過切點的 推論1 經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過 推論2 經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過 2 判定定理 經(jīng)過半徑的外端并且 于這條半徑的直線是圓的切線 半徑 切點 圓心 垂直 4 與圓有關(guān)的比例線段 相等 相等 切線長 切線長 兩條切線 小題快練 1 2014 天津高考 如圖 ABC是圓的內(nèi)接三角形 BAC的平分線交圓于點D 交BC于點E 過點B的圓的切線與AD的延長線交于點F 在上述條件下 給出下列四個結(jié)論 BD平分 CBF FB2 FD FA AE CE BE DE AF BD AB BF 則所有正確結(jié)論的序號是 A B C D 解析 選D 由弦切角定理得 FBD EAC BAE 又 BFD AFB 所以 BFD AFB 所以即AF BD AB BF 排除A C 又 FBD EAC DBC 排除B 2 2014 湖北高考 如圖 P為 O外一點 過P作 O的兩條切線 切點分別為A B 過PA的中點Q作割線交 O于C D兩點 若QC 1 CD 3 則PB 解析 由切割線定理得QA2 QC QD 1 1 3 4 所以QA 2 PB PA 4 答案 4 3 2014 湖南高考 如圖 已知AB BC是 O的兩條弦 AO BC AB BC 2 則 O的半徑等于 解析 延長AO 作出直徑AD 連接BD 則AB垂直于BD 設(shè)BC AD交于E 因為AO BC AB BC 2 所以AE 1 由射影定理得AB2 AE AD 3 2r r 答案 4 2014 陜西高考 如圖 ABC中 BC 6 以BC為直徑的半圓分別交AB AC于點E F 若AC 2AE 則EF 解析 由已知利用割線定理得 AE AB AF AC 又AC 2AE 得AB 2AF 所以且 A A得 AEF ACB且相似比為1 2 又BC 6 所以EF 3 答案 3 考點1圓周角定理及圓內(nèi)接四邊形 典例1 2015 南陽模擬 已知 直線AB過圓心O 交 O于A B 直線AF交 O于F 不與B重合 直線l與 O相切于C 交AB于E 且與AF垂直 垂足為G 連接AC 求證 1 BAC CAG 2 AC2 AE AF 解題提示 1 連接BC 根據(jù)AB為 O的直徑得到 ECB與 ACG互余 根據(jù)弦切角得到 ECB BAC 得到 BAC與 ACG互余 再根據(jù) CAG與 ACG互余 得到 BAC CAG 2 連接CF 利用弦切角結(jié)合 1 的結(jié)論 可得 GCF ECB 再用外角進行等量代換 得到 AFC ACE 結(jié)合 FAC CAE得到 FAC CAE 從而得到AC是AE AF的比例中項 從而得到AC2 AE AF 規(guī)范解答 1 連接BC 因為AB為 O的直徑 所以 ACB 90 ECB ACG 90 因為GC與 O相切于C 所以 ECB BAC 所以 BAC ACG 90 又因為AG CG CAG ACG 90 所以 BAC CAG 2 連接CF 由 1 可知 EAC CAF 因為GE與 O相切于C 所以 GCF CAF BAC ECB 因為 AFC GCF 90 ACE ECB 90 所以 AFC ACE 因為 FAC CAE 所以 FAC CAE 所以所以AC2 AE AF 規(guī)律方法 圓周角定理常用的轉(zhuǎn)化 1 圓周角與圓周角之間的轉(zhuǎn)化 2 圓周角與圓心角之間的轉(zhuǎn)化 3 弧的度數(shù)與圓心角和圓周角之間的轉(zhuǎn)化 4 圓內(nèi)接四邊形的外角與其相對的內(nèi)角的轉(zhuǎn)化 變式訓(xùn)練 2015 撫順模擬 如圖 PA PB是圓O的兩條切線 A B是切點 C是劣弧AB 不包括端點 上一點 直線PC交圓O于另一點D Q在弦CD上 且 DAQ PBC 求證 1 2 ADQ DBQ 證明 1 因為 PBC PDB 所以同理又因為PA PB 所以即 2 連接AB 因為 BAC BDQ PBC DAQ ABC ADQ 所以 ABC ADQ 所以故又因為 DAQ PBC BDQ 所以 ADQ DBQ 加固訓(xùn)練 如圖 圓O的兩弦AB和CD交于點E EF CB EF交AD的延長線于點F 求證 DEF EAF 證明 因為EF CB 所以 BCD FED 又 BAD與 BCD是所對應(yīng)的圓周角 所以 BAD BCD 所以 BAD FED 又 EFD EFD 所以 DEF EAF 考點2圓的切線性質(zhì)與判定定理 弦切角定理 典例2 2014 遼寧高考 如圖 EP交圓于E C兩點 PD切圓于D G為CE上一點且PG PD 連接DG并延長交圓于點A 作弦AB垂直EP 垂足為F 1 求證 AB為圓的直徑 2 若AC BD 求證 AB ED 解題提示 1 利用已知條件證明 ADB 90 從而證明AB為圓的直徑 2 設(shè)法證明ED也是直徑 即可證明AB ED 規(guī)范解答 1 因為PG PD 所以 PDG PGD 由于PD為切線 所以 PDA DBA 又由于 EGA PGD 所以 EGA DBA 所以 DBA BAD EGA BAD 從而 BDA PFA 由于AF EP 所以 PFA 90 所以 BDA 90 故AB為圓的直徑 2 連接BC DC 由于AB為圓的直徑 所以 BDA ACB 90 在Rt BDA Rt ACB中 AB BA BD AC 從而Rt BDA Rt ACB 所以 DAB CBA 又因為 DCB DAB 所以 DCB CBA 故DC AB 由于AB EP 所以DC EP 所以 DCE 90 所以ED為直徑 所以AB ED 規(guī)律方法 與圓的切線有關(guān)的問題及處理方法 1 證明直線是圓的切線的常用方法 若已知直線與圓有公共點 則需證明圓心與公共點的連線垂直于已知直線即可 若已知直線與圓沒有明確的公共點 則需證明圓心到直線的距離等于圓的半徑 2 求弦切角的問題往往轉(zhuǎn)化為求同弧上的圓周角 3 求切線長問題往往利用切線長定理和切割線定理 提醒 利用弦切角定理時 一定要注意是弦切角與同弧上的圓周角相等 變式訓(xùn)練 2015 張掖模擬 如圖 C點在圓O直徑BE的延長線上 CA切圓O于A點 ACB平分線CD交AE于點F 交AB于D點 1 求 ADF的度數(shù) 2 若AB AC 求AC BC 解析 1 因為AC為圓O的切線 所以 B EAC 又知CD是 ACB的平分線 所以 ACD DCB 所以 B DCB EAC ACD 即 ADF AFD 又因為BE為圓O的直徑 所以 DAE 90 所以 ADF 180 DAE 45 2 因為 B EAC ACB ACB 所以 ACE BCA 所以又因為AB AC 所以 B ACB 30 所以在Rt ABE中 tan B tan30 考點3與圓有關(guān)的比例線段 典例3 2015 濮陽模擬 如圖 O的直徑AB的延長線與弦CD的延長線相交于點P E為 O上一點 DE交AB于點F 1 證明 DF EF OF FP 2 當(dāng)AB 2BP時 證明 OF BF 解題提示 1 證明 OFE DFP后利用對應(yīng)邊成比例求解 2 利用相交弦定理化簡證明 規(guī)范解答 1 連接OE 因為所以 AOE CDE 所以 EOF PDF 又 EFO PFD 所以 OFE DFP 所以所以DF EF OF FP 2 設(shè)BP a 由AB 2BP 得AO BO BP a 由相交弦定理得 DF EF AF BF 所以AF BF OF FP 所以O(shè)F a BF a OF BF 所以O(shè)F BF 規(guī)律方法 與圓有關(guān)的比例線段解題思路 1 見到圓的兩條相交弦就要想到相交弦定理 2 見到圓的兩條割線就要想到割線定理 3 見到圓的切線和割線就要想到切割線定理 變式訓(xùn)練 2014 新課標全國卷 如圖 P是 O外一點 PA是切線 A為切點 割線PBC與 O相交于點B C PC 2PA D為PC的中點 AD的延長線交 O于點E 證明 1 BE EC 2 AD DE 2PB2 證明 1 因為PC 2PA PD DC 所以PA PD PAD為等腰三角形 連接AB 則 PAB DEB BCE BAE 因為 PAB BCE PAB BAD PAD PDA DEB DBE 所以 DBE 所以 DBE 即 BCE DBE 所以BE EC 2 因為AD DE BD DC PA2 PB PC PD DC PA 所以PA2 PB PC PB 2PA 即PA 2PB 所以BD DC PA PB PA PA2 PB PA PB PC PB PA PB PC PA PB PA PB 2PB 2PB2 即AD DE 2PB2 加固訓(xùn)練 如圖 AB CD是圓的兩條平行弦 BE AC BE交CD于E 交圓于F 過A點的切線交DC的延長線于P PC ED 1 PA 2 1 求AC的長 2 試比較BE與EF的長度關(guān)系 解析 1 連接BC 因為過A點的切線交DC的延長線于P 所以PA2 PC PD 因為PC 1 PA 2 所以PD 4 又PC ED 1 所以CE 2 因為 PAC CBA PCA CAB 所以 PAC CBA 所以所以AC2 PC AB 2 所以AC 2 BE AC 由相交弦定理可得CE ED BE EF 因為CE 2 ED 1 所以EF 所以EF BE