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第九節(jié)函數(shù)模型及其應用 知識梳理 1 必會知識教材回扣填一填 1 幾種常見的函數(shù)模型 2 三種函數(shù)模型性質(zhì)比較 增 增 增 快 慢 y x 3 解決實際應用問題的一般步驟 審題 弄清題意 分清條件和結(jié)論 理順數(shù)量關系 初步選擇數(shù)學模型 建模 將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言 利用數(shù)學知識 建立相應的數(shù)學模型 求模 求解數(shù)學模型 得出數(shù)學結(jié)論 還原 將數(shù)學問題還原為實際問題 以上過程用框圖表示如下 2 必備結(jié)論教材提煉記一記 f x x a 0 型函數(shù)模型形如f x x a 0 的函數(shù)模型稱為 對勾 函數(shù)模型 該函數(shù)在 和 上單調(diào)遞增 在 0 和 0 上單調(diào)遞減 當x 0時 x 時取最小值 當x 0時 x 時取最大值 3 必用技法核心總結(jié)看一看 1 常用方法 圖象法 導數(shù)法 配方法 待定系數(shù)法 2 數(shù)學思想 函數(shù)與方程 數(shù)形結(jié)合 分類討論 轉(zhuǎn)化與化歸 小題快練 1 思考辨析靜心思考判一判 1 函數(shù)y 2x的函數(shù)值在 0 上一定比y x2的函數(shù)值大 2 在 0 上 隨著x的增大 y ax a 1 的增長速度會超過并遠遠大于y xa a 0 的增長速度 3 指數(shù)爆炸 是指數(shù)型函數(shù)y a bx c a 0 b 0 b 1 增長速度越來越快的形象比喻 4 指數(shù)函數(shù)模型 一般用于解決變化較快 短時間內(nèi)變化量較大的實際問題中 解析 1 錯誤 當x 0 2 和 4 時 2x x2 當x 2 4 時 x2 2x 2 正確 由兩者的圖象易知 3 錯誤 增長越來越快的指數(shù)型函數(shù)是y a bx c a 0 b 1 4 正確 根據(jù)指數(shù)函數(shù)y ax a 1 函數(shù)值增長特點知 4 正確 答案 1 2 3 4 2 教材改編鏈接教材練一練 1 必修1P107A組T1改編 在某個物理實驗中 測量得變量x和變量y的幾組數(shù)據(jù) 如下表 則x y最適合的函數(shù)的是 A y 2xB y x2 1C y 2x 2D y log2x 解析 選D 根據(jù)x 0 50 y 0 99 代入計算 可以排除A 根據(jù)x 2 01 y 0 98 代入計算 可以排除B C 將各數(shù)據(jù)代入函數(shù)y log2x 可知滿足題意 故選D 2 必修1P107A組T3改編 一根蠟燭長20cm 點燃后每小時燃燒5cm 燃燒時剩下的高度h cm 與燃燒時間t h 的函數(shù)關系用圖象表示為圖中的 解析 選B 由題意知h 20 5t 0 t 4 故選B 3 真題小試感悟考題試一試 1 2015 泉州模擬 某產(chǎn)品的總成本y 萬元 與產(chǎn)量x 臺 之間的函數(shù)關系是y 3000 20 x 0 1x2 0 x 240 x N 若每臺產(chǎn)品的售價為25萬元 則生產(chǎn)者不虧本時 銷售收入不小于總成本 的最低產(chǎn)量是 A 100臺B 120臺C 150臺D 180臺 解析 選C 設利潤為f x 萬元 則f x 25x 3000 20 x 0 1x2 0 1x2 5x 3000 0 所以x 150 2 2015 武漢模擬 里氏震級M的計算公式為 M lgA lgA0 其中A是測震儀記錄的地震曲線的最大振幅 A0是相應的標準地震的振幅 假設在一次地震中 測震儀記錄的最大振幅是1000 此時標準地震的振幅為0 001 則此次地震的震級為級 9級地震的最大振幅是5級地震最大振幅的倍 解析 由lg1000 lg0 001 6 得此次地震的震級為6級 因為標準地震的振幅為0 001 設9級地震最大振幅為A9 則lgA9 lg0 001 9解得A9 106 同理5級地震最大振幅A5 102 所以9級地震的最大振幅是5級地震的最大振幅的10000倍 答案 610000 考點1一次函數(shù) 二次函數(shù)模型知 考情以一次函數(shù) 二次函數(shù)為模型的應用題常出現(xiàn)在高考試題中 尤其是二次函數(shù) 考查較多 既有選擇題 填空題 也有解答題 難度適中 屬中檔題 明 角度命題角度1 單一考查一次函數(shù)或二次函數(shù)模型 典例1 1 2015 西安模擬 某電信公司推出兩種手機收費方式 A種方式是月租20元 B種方式是月租0元 一個月的本地網(wǎng)內(nèi)通話時間t 分鐘 與電話費s 元 的函數(shù)關系如圖所示 當通話150分鐘時 這兩種方式電話費相差 A 10元B 20元C 30元D 元 2 2015 昆明模擬 在如圖所示的銳角三角形空地中 欲建一個面積最大的內(nèi)接矩形花園 陰影部分 則其邊長x為m 解題提示 1 根據(jù)對應點的坐標分別求出兩條直線方程 2 根據(jù)相似三角形的性質(zhì) 找出比例關系 列出以x為變量的二次函數(shù)式表示出陰影部分的面積 規(guī)范解答 1 選A 依題意可設sA t 20 kt sB t mt 又sA 100 sB 100 所以100k 20 100m 得k m 0 2 于是sA 150 sB 150 20 150k 150m 20 150 0 2 10 即兩種方式電話費相差10元 2 由相似三角形性質(zhì)可得 解得y 40 x 所以面積S x 40 x x2 40 x x 20 2 400 0 x 40 當x 20時 Smax 400 答案 20 互動探究 在本例 2 中 欲建一個面積不小于300m2的內(nèi)接矩形花園 則其邊長x的取值范圍又是多少呢 解析 則x 40 y y 40 x 由xy 300 即x 40 x 300 解得10 x 30 命題角度2 以分段函數(shù)的形式考查一次函數(shù)和二次函數(shù)模型 典例2 2015 廈門模擬 提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況 在一般情況下 大橋上的車流速度v 單位 千米 時 是車流密度x 單位 輛 千米 的函數(shù) 當橋上的車流密度達到200輛 千米時 造成堵塞 此時車流速度為0 當車流密度不超過20輛 千米時 車流速度為60千米 時 研究表明 當20 x 200時 車流速度v是車流密度x的一次函數(shù) 1 當0 x 200時 求函數(shù)v x 的表達式 2 當車流密度x為多大時 車流量 單位時間內(nèi)通過橋上某觀測點的車輛數(shù) 單位 輛 時 f x x v x 可以達到最大 并求出最大值 精確到1輛 時 解題提示 1 根據(jù)已知條件 確定0 x 200時v x 的表達式 2 確定0 x 20及20 x 200時 v x 的分段函數(shù) 根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)確定f x x v x 的最大值 規(guī)范解答 1 由題意 當0 x 20時 v x 60 當20 x 200時 設v x ax b 再由已知得解得故函數(shù)v x 的表達式為v x 2 依題意并由 1 可得f x 當0 x 20時 f x 為增函數(shù) 故當x 20時 其最大值為60 20 1200 當20 x 200時 f x x 200 x 當且僅當x 200 x 即x 100時 等號成立 所以當x 100時 f x 在區(qū)間 20 200 上取得最大值 3333 綜上 當車流密度為100輛 千米時 車流量可以達到最大 最大值約為3333輛 時 悟 技法一次函數(shù) 二次函數(shù)模型問題的常見類型及解題策略 1 直接考查一次函數(shù) 二次函數(shù)模型 解決此類問題應注意三點 二次函數(shù)的最值一般利用配方法與函數(shù)的單調(diào)性解決 但一定要密切注意函數(shù)的定義域 否則極易出錯 確定一次函數(shù)模型時 一般是借助兩個點來確定 常用待定系數(shù)法 解決函數(shù)應用問題時 最后要還原到實際問題 2 以分段函數(shù)的形式考查 解決此類問題應關注以下三點 實際問題中有些變量間的關系不能用同一個關系式給出 而是由幾個不同的關系式構成 如出租車票價與路程之間的關系 應構建分段函數(shù)模型求解 構造分段函數(shù)時 要力求準確 簡潔 做到分段合理 不重不漏 分段函數(shù)的最值是各段的最大 或最小 者的最大者 最小者 提醒 1 構建函數(shù)模型時不要忘記考慮函數(shù)的定義域 2 對構建的較復雜的函數(shù)模型 要適時地用換元法轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)問題求解 通 一類1 2015 鹽城模擬 某廠有許多形狀為直角梯形的鐵皮邊角料 如圖 為降低消耗 開源節(jié)流 現(xiàn)要從這些邊角料上截取矩形鐵片 如圖陰影部分 備用 則截取的矩形面積的最大值為 解析 依題意知 即x 24 y 所以陰影部分的面積S xy 24 y y y2 24y 所以當y 12時 S有最大值為180 答案 180 2 2015 福州模擬 為了在 十一 黃金周期間降價搞促銷 某超市對顧客實行購物優(yōu)惠活動 規(guī)定一次購物付款總額 如果不超過200元 則不予優(yōu)惠 如果超過200元 但不超過500元 則按標價給予9折優(yōu)惠 如果超過500元 其中500元按第 條給予優(yōu)惠 超過500元的部分給予7折優(yōu)惠 辛云和她母親兩次去購物 分別付款168元和423元 假設他們一次性購買上述同樣的商品 則應付款額為 解析 依題意 價值為x元的商品和實際付款數(shù)f x 之間的函數(shù)關系式為當f x 168時 由168 0 9 187 200 故此時x 168 當f x 423時 由423 0 9 470 200 500 故此時x 470 所以兩次共購得價值為470 168 638元的商品 又500 0 9 638 500 0 7 546 6元 即若一次性購買上述商品 應付款額為546 6元 答案 546 6元 3 2015 日照模擬 某家庭進行理財投資 根據(jù)長期收益率市場預測 投資債券等穩(wěn)健型產(chǎn)品的收益與投資額成正比 投資股票等風險型產(chǎn)品的收益與投資額的算術平方根成正比 已知投資1萬元時兩類產(chǎn)品的收益分別為0 125萬元和0 5萬元 1 分別寫出兩類產(chǎn)品的收益與投資額的函數(shù)關系 2 該家庭有20萬元資金 全部用于理財投資 問 怎么分配資金能使投資獲得最大收益 其最大收益是多少萬元 解析 1 設兩類產(chǎn)品的收益與投資額的函數(shù)分別為f x k1x g x k2 由已知得f 1 k1 g 1 k2 所以f x x x 0 g x x 0 2 設投資債券類產(chǎn)品為x萬元 則投資股票類產(chǎn)品為 20 x 萬元 依題意得y f x g 20 x 0 x 20 令t 則y 所以當t 2 即x 16時 收益最大 ymax 3萬元 投資債券類產(chǎn)品16萬元 投資股票類產(chǎn)品4萬元 可使投資獲得最大收益 最大收益為3萬元 加固訓練 1 2014 武漢模擬 在經(jīng)濟學中 函數(shù)f x 的邊際函數(shù)Mf x 定義為 Mf x f x 1 f x 某公司每月生產(chǎn)x臺某種產(chǎn)品的收入為R x 元 成本為C x 元 且R x 3000 x 20 x2 C x 500 x 4000 x N 現(xiàn)已知該公司每月生產(chǎn)該產(chǎn)品不超過100臺 1 求利潤函數(shù)P x 以及它的邊際利潤函數(shù)MP x 2 求利潤函數(shù)的最大值與邊際利潤函數(shù)的最大值之差 解析 1 由題意 得x 1 100 且x N P x R x C x 3000 x 20 x2 500 x 4000 20 x2 2500 x 4000 MP x P x 1 P x 20 x 1 2 2500 x 1 4000 20 x2 2500 x 4000 2480 40 x 2 P x 74125 當x 62或x 63時 P x 取得最大值74120元 因為MP x 2480 40 x是減函數(shù) 所以當x 1時 MP x 取得最大值2440元 故利潤函數(shù)的最大值與邊際利潤函數(shù)的最大值之差為71680元 2 據(jù)氣象中心觀察和預測 發(fā)生于M地的沙塵暴一直向正南方向移動 其移動速度v km h 與時間t h 的函數(shù)圖象如圖所示 過線段OC上一點T t 0 作橫軸的垂線l 梯形OABC在直線l左側(cè)部分的面積即為t h 內(nèi)沙塵暴所經(jīng)過的路程s km 1 當t 4時 求s的值 2 將s隨t變化的規(guī)律用數(shù)學關系式表示出來 3 若N城位于M地正南方向 且距M地650km 試判斷這場沙塵暴是否會侵襲到N城 如果會 在沙塵暴發(fā)生后多長時間它將侵襲到N城 如果不會 請說明理由 解析 1 由圖象可知 當t 4時 v 3 4 12 km h 所以s 4 12 24 km 2 當0 t 10時 s t 3t t2 當10 t 20時 s 10 30 30 t 10 30t 150 當20 t 35時 s 10 30 10 30 t 20 30 t 20 2 t 20 t2 70t 550 綜上 可知s 3 沙塵暴會侵襲到N城 因為t 0 10 時 smax 102 150 650 t 10 20 時 smax 30 20 150 450 650 所以當t 20 35 時 令 t2 70t 550 650 解得t1 30 t2 40 舍 所以沙塵暴發(fā)生后30h會侵襲到N城 考點2函數(shù)y x 模型的應用 典例3 2015 天津模擬 某村計劃建造一個室內(nèi)面積為800m2的矩形蔬菜溫室 在溫室內(nèi) 沿左 右兩側(cè)與后側(cè)內(nèi)墻各保留1m寬的通道 沿前側(cè)內(nèi)墻保留3m寬的空地 當矩形溫室的邊長各為多少時 蔬菜的種植面積最大 最大面積是多少 解題提示 根據(jù)條件設溫室的左側(cè)邊長為xm 列出種植面積y x 4 2 然后化簡 構建 對勾函數(shù) 求解 規(guī)范解答 設溫室的左側(cè)邊長為xm 則右側(cè)邊長為m 所以蔬菜種植面積y x 4 2 808 2 x 4 x 400 因為x 2 80 所以y 808 2 80 648 當且僅當x 即x 40時取等號 此時 20 y最大值 648 m2 即當矩形溫室的邊長各為40m 20m時 蔬菜的種植面積最大 最大面積是648m2 規(guī)律方法 應用函數(shù)y x 模型的關鍵點 1 明確對勾函數(shù)是正比例函數(shù)f x ax與反比例函數(shù)f x 疊加而成的 2 解決實際問題時一般可以直接建立f x ax 的模型 有時可以將所列函數(shù)關系式轉(zhuǎn)化為f x ax 的形式 3 利用模型f x ax 求解最值時 要注意自變量的取值范圍 及取得最值時等號成立的條件 變式訓練 為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗 房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層 某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層 每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元 該建筑物每年的能源消耗費用C 單位 萬元 與隔熱層厚度x 單位 cm 滿足關系C x 0 x 10 若不建隔熱層 每年能源消耗費用為8萬元 設f x 為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和 1 求k的值及f x 的表達式 2 隔熱層修建多厚時 總費用f x 達到最小 并求最小值 解析 1 由已知條件得C 0 8 則k 40 因此f x 6x 20C x 6x 0 x 10 2 f x 6x 10 10 2 10 70 萬元 當且僅當6x 10 即x 5時等號成立 所以當隔熱層厚度為5cm時 總費用f x 達到最小值 最小值為70萬元 加固訓練 1 某化工廠引進一條先進生產(chǎn)線生產(chǎn)某種化工產(chǎn)品 其生產(chǎn)的總成本y 萬元 與年產(chǎn)量x 噸 之間的函數(shù)關系式可以近似地表示為y 48x 8000 已知此生產(chǎn)線年產(chǎn)量最大為210噸 1 求年產(chǎn)量為多少噸時 生產(chǎn)每噸產(chǎn)品的平均成本最低 并求最低成本 2 若每噸產(chǎn)品平均出廠價為40萬元 那么當年產(chǎn)量為多少噸時 可以獲得最大利潤 最大利潤是多少 解析 1 每噸平均成本為 萬元 則當且僅當 即x 200時取等號 所以年產(chǎn)量為200噸時 每噸平均成本最低為32萬元 2 設年獲得總利潤為R x 萬元 則R x 40 x y 40 x 48x 8000 88x 8000 x 220 2 1680 0 x 210 因為R x 在 0 210 上是增函數(shù) 所以當x 210時 R x 有最大值為 210 220 2 1680 1660 所以年產(chǎn)量為210噸時 可獲得最大利潤1660萬元 2 某旅游風景區(qū)為方便學生集體旅游 特制學生寒假旅游專用卡 每張卡60元 使用規(guī)定 不記名 每卡每次一人 每天只限一次 可連續(xù)使用一周 實驗小學現(xiàn)有1500名學生 準備在寒假分若干批去此風景區(qū)旅游 來回只需一天 除需購買若干張旅游卡外 每次都乘坐5輛客車 每輛客車最大客容量為55人 每輛客車每天費用為500元 若使全體同學都到風景區(qū)旅游一次 按上述方案 每位同學最少要交多少錢 解析 設買x張旅游卡 總費用為y元 依題意 購買卡需60 x元 租車的次數(shù)為 則租車的費用為 500 5 元 所以y 60 x 500 5 00 所以y 30000 元 當且僅當60 x 500 5 即x 250時 y取得最小值為30000元 此時 每人所需交錢數(shù)為 20 元 旅游所需天數(shù) 6 7 每輛車所載人數(shù)為 50 55 符合要求 故每位同學至少要交20元 考點3指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)模型 典例4 2015 長春模擬 某醫(yī)藥研究所開發(fā)的一種新藥 如果成年人按規(guī)定的劑量服用 據(jù)監(jiān)測 服藥后每毫升血液中的含藥量y 微克 與時間t 小時 之間近似滿足如圖所示的曲線 1 寫出第一次服藥后 y與t之間的函數(shù)關系式y(tǒng) f t 2 據(jù)進一步測定 每毫升血液中含藥量不少于0 25微克時 治療有效 求服藥一次后治療有效的時間是多長 解題提示 1 依據(jù)圖象寫出y f t 2 令y 0 25解所得不等式即可 規(guī)范解答 1 由題意可設y 當t 1時 由y 4得 k 4 由 4得 a 3 因此 y 2 由y 0 25得 或解得 t 5 因此 服藥一次后治療有效的時間是小時 規(guī)律方法 應用指數(shù)函數(shù)模型應注意的問題 1 指數(shù)函數(shù)模型的應用類型 常與增長率相結(jié)合進行考查 在實際問題中有人口增長 銀行利率 細胞分裂等增長問題可以利用指數(shù)函數(shù)模型來解決 2 應用指數(shù)函數(shù)模型時的關鍵 關鍵是對模型的判斷 先設定模型 再將已知有關數(shù)據(jù)代入驗證 確定參數(shù) 從而確定函數(shù)模型 3 y a 1 x n通常利用指數(shù)運算與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解 變式訓練 2015 商丘模擬 為了保證信息安全 傳輸必須使用加密方式 有一種方式其加密 解密原理如下 已知加密為y ax 2 x為明文 y為密文 如果明文 3 通過加密后得到密文為6 再發(fā)送 接收方通過解密得到明文 3 若接收方接到密文為 14 則原發(fā)的明文是 解析 依題意y ax 2中 當x 3時 y 6 故6 a3 2 解得a 2 所以加密為y 2x 2 因此 當y 14時 由14 2x 2 解得x 4 答案 4 加固訓練 1 某位股民購進某支股票 在接下來的交易時間內(nèi) 他的這支股票先經(jīng)歷了n次漲停 每次上漲10 又經(jīng)歷了n次跌停 每次下跌10 則該股民這支股票的盈虧情況 不考慮其他費用 為 A 略有盈利B 略有虧損C 沒有盈利也沒有虧損D 無法判斷盈虧情況 解析 選B 設該股民購這支股票的價格為a 則經(jīng)歷n次漲停后的價格為a 1 10 n a 1 1n 經(jīng)歷n次跌停后的價格為a 1 1n 1 10 n a 1 1n 0 9n a 1 1 0 9 n 0 99n a a 故該股民這支股票略有虧損 2 一個人喝了少量酒后 血液中的酒精含量迅速上升到0 3mg mL 在停止喝酒后 血液中的酒精含量以每小時25 的速度減少 為了保障交通安全 某地根據(jù) 道路交通安全法 規(guī)定 駕駛員血液中的酒精含量不得超過0 09mg mL 那么 此人至少經(jīng)過小時后才能開車 精確到1小時 解析 設經(jīng)過x小時才能開車 由題意得0 3 1 25 x 0 09 所以0 75x 0 3 x log0 750 3 4 19 所以此人至少經(jīng)過5小時后才能開車 答案 5 3 一片森林原來面積為a 計劃每年砍伐一些樹 且每年砍伐面積的百分比相等 當砍伐到面積的一半時 所用時間是10年 為保護生態(tài)環(huán)境 森林面積至少要保留原面積的 已知到今年為止 森林剩余面積為原來的 1 求每年砍伐面積的百分比 2 到今年為止 該森林已砍伐了多少年 3 今后最多還能砍伐多少年 解析 1 設每年降低的百分比為x 0 x 1 則a 1 x 10 a 即 1 x 10 解得x 1 2 設經(jīng)過m年剩余面積為原來的 則a 1 x m 即解得m 5 故到今年為止 已砍伐了5年 3 設從今年開始 以后砍了n年 則n年后剩余面積為a 1 x n 令a 1 x n a 即 1 x n 解得n 15 故今后最多還能砍伐15年 4 燕子每年秋天都要從北方飛向南方過冬 研究燕子的科學家發(fā)現(xiàn) 兩歲燕子的飛行速度可以表示為函數(shù)v 5log2 單位是m s 其中Q表示燕子的耗氧量 1 試計算 燕子靜止時的耗氧量是多少個單位 2 當一只燕子的耗氧量是80個單位時 它的飛行速度是多少 解析 1 由題意知 當燕子靜止時 它的速度為0 代入題目所給公式可得0 5log2 解得Q 10 即燕子靜止時的耗氧量為10個單位 2 將耗氧量Q 80代入公式得v 5log2 5log28 15 m s 即當一只燕子耗氧量為80個單位時 它的飛行速度為15m s 規(guī)范解答1利用函數(shù)模型解決實際問題 典例 12分 2015 合肥模擬 已知美國蘋果公司生產(chǎn)某款iPhone手機的年固定成本為40萬美元 每生產(chǎn)1萬只還需另投入16萬美元 設蘋果公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該款iPhone手機x萬只并全部銷售完 每萬只的銷售收入為R x 萬美元 且R x 1 寫出年利潤W 萬美元 關于年產(chǎn)量x 萬只 的函數(shù)解析式 2 當年產(chǎn)量為多少萬只時 蘋果公司在該款iPhone手機的生產(chǎn)中所獲得的利潤最大 并求出最大利潤 解題導思研讀信息快速破題 規(guī)范解答閱卷標準體會規(guī)范 1 當040時 W xR x 16x 40 16x 7360 所以 4分 2 當040時 W 16x 7360 由于 16x 1600 10分當且僅當 16x 即x 50 40 時 取等號 所以W取最大值為5760 綜合 知 當x 32時 W取最大值為6104萬元 12分 高考狀元滿分心得把握規(guī)則爭取滿分1 解答數(shù)學應用題的關鍵有兩點一是認真審題 讀懂題意 理解問題的實際背景 將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題 二是靈活運用數(shù)學知識和方法解答問題 得到數(shù)學問題中的解 再把結(jié)論轉(zhuǎn)譯成實際問題的答案 2 解答數(shù)學應用題的失誤與防范 1 函數(shù)模型應用不當 是常見的解題錯誤 所以 正確理解題意 選擇適當?shù)暮瘮?shù)模型 2 要特別關注實際問題的自變量的取值范圍 合理確定函數(shù)的定義域 3 注意問題反饋 在解決函數(shù)模型后 必須驗證這個數(shù)學解答對實際問題的合理性