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2019-2020年高中物理 第5章 磁場與回旋加速器 探究洛倫茲力學案 滬科版選修3-1 [學習目標定位] 1.通過實驗，觀察陰極射線在磁場中的偏轉(zhuǎn)，認識洛倫茲力.2.會判斷洛倫茲力的方向，會計算洛倫茲力的大小.3.知道帶電粒子在勻強磁場中做勻速圓周運動，并會推導其運動半徑公式和周期公式． 一、洛倫茲力的方向 1．磁場對通電導體有安培力的作用，而電流是由電荷的定向移動形成的．由此推斷：磁場對通電導體的安培力，是由作用在運動電荷上的力引起的．磁場對運動電荷的作用力稱為洛倫茲力． 2．安培力的方向是跟電流方向和磁場方向垂直的．由此推斷，洛倫茲力的方向也應跟電荷運動方向和磁場方向垂直．判斷洛倫茲力的方向應該根據(jù)左手定則． 二、洛倫茲力的大小 電荷量為q的粒子以速度v運動時，如果速度方向與磁感應強度方向垂直，那么粒子所受的洛倫茲力為f＝qvB. 三、帶電粒子的軌道半徑和周期 1．當一個帶電粒子垂直射入勻強磁場中時，帶電粒子在洛倫茲力的作用下，將做勻速圓周運動． 2．由qvB＝得，帶電粒子在勻強磁場中做勻速圓周運動的半徑r＝，進一步得周期T＝. 一、洛倫茲力的方向 [問題設計] 如圖1所示，我們用陰極射線管研究磁場對運動電荷的作用，不同方向的磁場對電子束徑跡有不同影響．那么電荷偏轉(zhuǎn)方向與磁場方向、電子運動方向的關系滿足怎樣的規(guī)律？ 圖1 答案　左手定則． [要點提煉] 1．洛倫茲力的方向可以根據(jù)左手定則來判斷，四指所指的方向為正電荷的運動方向(或為負電荷運動的反方向)，拇指所指的方向就是運動的正電荷(負電荷)在磁場中所受洛倫茲力的方向．負電荷受力的方向與同方向運動的正電荷受力的方向相反． 2．洛倫茲力的方向與電荷運動方向和磁場方向都垂直，即洛倫茲力的方向總是垂直于v和B所決定的平面(但v和B的方向不一定垂直)． 由于洛倫茲力方向始終與電荷運動方向垂直，因此洛倫茲力對電荷不做功(填“做功”或“不做功”)，洛倫茲力只改變電荷速度的方向而不改變其速度的大?。? 二、洛倫茲力的大小 [問題設計] 如圖2所示，將直導線垂直放入磁場中，直導線中自由電荷的電荷量為q，定向移動的速度為v，單位體積的自由電荷數(shù)為n，導線長度為L，橫截面積為S，磁場的磁感應強度為B. 圖2 (1)導線中的電流是多少？導線在磁場中所受安培力多大？ (2)長為L的導線中含有的自由電荷數(shù)為多少？如果把安培力看成是每個自由電荷所受洛倫茲力的合力，則每個自由電荷所受洛倫茲力是多少？ 答案　(1)I＝nqvS　F＝BIL＝BnqvSL (2)N＝nSL　f＝＝qvB [要點提煉] 1．洛倫茲力與安培力的關系 (1)安培力是導體中所有定向移動的自由電荷受到的洛倫茲力的宏觀表現(xiàn)．而洛倫茲力是安培力的微觀本質(zhì)． (2)洛倫茲力對電荷不做功，但安培力卻可以對導體做功． 2．洛倫茲力的大?。篺＝qvBsin θ，θ為電荷運動的方向與磁感應強度方向的夾角． (1)當電荷運動方向與磁場方向垂直時：f＝qvB； (2)當電荷運動方向與磁場方向平行時：f＝0； (3)當電荷在磁場中靜止時：f＝0. 電荷在磁場中是否受洛倫茲力及洛倫茲力的大小與電荷的運動情況有關． 三、研究帶電粒子在磁場中的運動 [問題設計] 如圖3所示的裝置是用來演示電子在勻強磁場中運動軌跡的裝置． 圖3 (1)當不加磁場時，電子的運動軌跡如何？當加上磁場時，電子的運動軌跡如何？ (2)如果保持電子的速度不變，加大磁場的磁感應強度，圓半徑如何變化？如果保持磁場的強弱不變，增大電子的速度，圓半徑如何變化？ 答案　(1)是一條直線　是一個圓周 (2)半徑減小　半徑增大 [要點提煉] 1．帶電粒子所受洛倫茲力與速度方向垂直，只改變速度方向，不改變速度大小，對運動電荷不做功． 2．沿著與磁場垂直的方向射入磁場中的帶電粒子，在勻強磁場中做勻速圓周運動．向心力為洛倫茲力f＝qvB，由qvB＝可知半徑r＝，又T＝，所以T＝. [延伸思考] 由r＝知同一帶電粒子，在同一勻強磁場中，半徑r會隨著速度的增大而增大，它的周期也會隨著速度的增大而增大嗎？ 答案　不會．由T＝，得出T＝與速度無關． 一、對洛倫茲力方向的判定 例1　下列關于圖中各帶電粒子所受洛倫茲力的方向或帶電粒子的帶電性的判斷錯誤的是(　　) A．洛倫茲力方向豎直向上 B．洛倫茲力方向垂直紙面向里 C．粒子帶負電 D．洛倫茲力方向垂直紙面向外 解析　根據(jù)左手定則可知A圖中洛倫茲力方向應該豎直向上，B圖中洛倫茲力方向垂直紙面向里，C圖中粒子帶正電，D圖中洛倫茲力方向垂直紙面向外，故A、B、D正確，C錯誤． 答案　C 二、對洛倫茲力公式的理解 例2　如圖4所示，各圖中的勻強磁場的磁感應強度均為B，帶電粒子的速率均為v，帶電荷量均為q.試求出圖中帶電粒子所受洛倫茲力的大小，并指出洛倫茲力的方向． 圖4 解析　(1)因v⊥B，所以F＝qvB，方向垂直v指向左上方． (2)v與B的夾角為30，將v分解成垂直磁場的分量和平行磁場的分量，v⊥＝vsin 30，F(xiàn)＝qvBsin 30＝qvB.方向垂直紙面向里． (3)由于v與B平行，所以不受洛倫茲力． (4)v與B垂直，F(xiàn)＝qvB，方向垂直v指向左上方． 答案　(1)qvB　垂直v指向左上方　(2)qvB　垂直紙面向里　(3)不受洛倫茲力　(4)qvB　垂直v指向左上方 三、帶電粒子在磁場中的圓周運動 例3　質(zhì)量和電荷量都相等的帶電粒子M和N，以不同的速率經(jīng)小孔S垂直進入勻強磁場，運行的半圓軌跡如圖5中虛線所示，下列表述正確的是(　　) 圖5 A．M帶負電，N帶正電 B．M的速率小于N的速率 C．洛倫茲力對M、N做正功 D．M的運行時間大于N的運行時間 解析　根據(jù)左手定則可知N帶正電，M帶負電，A正確；因為r＝，而M的半徑大于N的半徑，所以M的速率大于N的速率，B錯誤；洛倫茲力不做功，C錯誤；M和N的運行時間都為t＝，D錯誤．故選A. 答案　A 四、帶電物體在勻強磁場中的運動問題 例4　一個質(zhì)量為m＝0.1 g的小滑塊，帶有q＝510－4C的電荷量，放置在傾角α＝30的光滑斜面上(絕緣)，斜面固定且置于B＝0.5 T的勻強磁場中，磁場方向垂直紙面向里，如圖6所示，小滑塊由靜止開始沿斜面滑下，斜面足夠長，小滑塊滑至某一位置時，要離開斜面(g取10 m/s2)．求： 圖6 (1)小滑塊帶何種電荷？ (2)小滑塊離開斜面時的瞬時速度多大？ (3)該斜面長度至少多長？ 解析　(1)小滑塊在沿斜面下滑的過程中，受重力mg、斜面支持力N和洛倫茲力f作用，如圖所示，若要使小滑塊離開斜面，則洛倫茲力f應垂直斜面向上，根據(jù)左手定則可知，小滑塊應帶負電荷． (2)小滑塊沿斜面下滑的過程中，由平衡條件得f＋N＝mgcos α，當支持力N＝0時，小滑塊脫離斜面．設此時小滑塊速度為vmax，則此時小滑塊所受洛倫茲力f＝qvmaxB， 所以vmax＝＝m/s≈3.5 m/s (3)設該斜面長度至少為l，則小滑塊離開斜面的臨界情況為小滑塊剛滑到斜面底端時．因為下滑過程中只有重力做功，由動能定理得mglsin α＝mv－0，所以斜面長至少為l＝＝ m≈1.2 m 答案　(1)負電荷　(2)3.5 m/s　(3)1.2 m 規(guī)律總結(jié)　1.帶電物體在磁場或電場中運動的分析方法和分析力學的方法一樣，只是比力學多了洛倫茲力和電場力． 2．對帶電粒子受力分析求合力，若合力為零，粒子做勻速直線運動或靜止；若合力不為零，粒子做變速直線運動，再根據(jù)牛頓第二定律分析粒子速度變化情況． 1．(對洛倫茲力公式的理解)一帶電粒子在勻強磁場中沿著磁感線方向運動，現(xiàn)將該磁場的磁感應強度增大一倍，則帶電粒子受到的洛倫茲力(　　) A．增大兩倍 B．增大一倍 C．減小一半 D．依然為零 答案　D 解析　本題考查了洛倫茲力的計算公式F＝qvB，注意公式的適用條件．若粒子速度方向與磁場方向平行，洛倫茲力為零，故A、B、C錯誤，D正確． 2．(帶電粒子在磁場中的圓周運動)在勻強磁場中，一個帶電粒子做勻速圓周運動，如果又垂直進入另一磁感應強度是原來的磁感應強度2倍的勻強磁場，則(　　) A．粒子的速率加倍，周期減半 B．粒子的速率不變，軌道半徑減半 C．粒子的速率減半，軌道半徑為原來的四分之一 D．粒子的速率不變，周期減半 答案　BD 解析　洛倫茲力不改變帶電粒子的速率，A、C錯．由r＝，T＝知：磁感應強度加倍時，軌道半徑減半、周期減半，故B、D正確． 3．(帶電物體在勻強磁場中的運動)光滑絕緣桿與水平面保持θ角，磁感應強度為B的勻強磁場充滿整個空間，一個帶正電q、質(zhì)量為m、可以自由滑動的小環(huán)套在桿上，如圖7所示，小環(huán)下滑過程中對桿的壓力為零時，小環(huán)的速度為________． 圖7 答案　 解析　以帶電小環(huán)為研究對象，受力如圖． F＝mgcos θ，F(xiàn)＝qvB， 解得v＝. 題組一　對洛倫茲力方向的判定 1．在以下幾幅圖中，對洛倫茲力的方向判斷正確的是(　　) 答案　ABD 2.一束混合粒子流從一發(fā)射源射出后，進入如圖1所示的磁場，分離為1、2、3三束，則下列判斷正確的是(　　) 圖1 A．1帶正電 B．1帶負電 C．2不帶電 D．3帶負電 答案　ACD 解析　根據(jù)左手定則，帶正電的粒子左偏，即1；不偏轉(zhuǎn)說明不帶電，即2；帶負電的粒子向右偏，即3，因此答案為A、C、D. 3．一長方形金屬塊放在勻強磁場中，將金屬塊通以電流，磁場方向和電流方向如圖2所示，則金屬塊兩表面M、N的電勢高低情況是(　　) 圖2 A．φM＝φN B．φM＞φN C．φM＜φN D．無法比較 答案　C 解析　金屬導體導電時是自由電子定向移動，導體處于磁場中，定向移動的自由電子受到洛倫茲力向M表面偏轉(zhuǎn)，則在N表面積累正電荷，故φM<φN，故C正確． 題組二　對洛倫茲力特點及公式的應用 4．一個運動電荷在某個空間里沒有受到洛倫茲力的作用，那么(　　) A．這個空間一定沒有磁場 B．這個空間不一定沒有磁場 C．這個空間可能有方向與電荷運動方向平行的磁場 D．這個空間可能有方向與電荷運動方向垂直的磁場 答案　BC 解析　由題意，運動電荷在某個空間里沒有受到洛倫茲力，可能空間沒有磁場，也可能存在磁場，磁場方向與電荷運動方向平行．故A錯誤，B、C正確．若磁場方向與電荷運動方向垂直，電荷一定受到洛倫茲力，不符合題意，故D錯誤．故選B、C. 5．關于帶電粒子在勻強電場和勻強磁場中的運動，下列說法中正確的是(　　) A．帶電粒子沿電場線方向射入，則電場力對帶電粒子做正功，粒子動能一定增加 B．帶電粒子垂直于電場線方向射入，則電場力對帶電粒子不做功，粒子動能不變 C．帶電粒子沿磁感線方向射入，洛倫茲力對帶電粒子做正功，粒子動能一定增加 D．不管帶電粒子怎樣射入磁場，洛倫茲力對帶電粒子都不做功，粒子動能不變 答案　D 解析　帶電粒子在電場中受到的電場力F＝qE，只與電場有關，與粒子的運動狀態(tài)無關，做功的正負由θ角(力與位移方向的夾角)決定．對選項A，只有粒子帶正電時才成立；垂直射入勻強電場的帶電粒子，不管帶電性質(zhì)如何，電場力都會做正功，動能增加．帶電粒子在磁場中的受力——洛倫茲力F′＝qvBsin θ，其大小除與運動狀態(tài)有關，還與θ角(磁場方向與速度方向之間的夾角)有關，帶電粒子沿平行磁感線方向射入，不受洛倫茲力作用，粒子做勻速直線運動．在其他方向上由于洛倫茲力方向始終與速度方向垂直，故洛倫茲力對帶電粒子始終不做功．綜上所述，正確選項為D. 6.有一個帶正電荷的離子，沿垂直于電場的方向射入帶電平行板的勻強電場，離子飛出電場后的動能為Ek.當在帶電平行板間再加入一個垂直紙面向里的如圖3所示的勻強磁場后，離子飛出電場后的動能為Ek′，磁場力做功為W，則下列判斷正確的是(　　) 圖3 A．EkEk′，W＝0 C．Ek＝Ek′，W＝0 D．Ek>Ek′，W>0 答案　B 解析　磁場力即洛倫茲力，不做功，故W＝0，D錯誤；有磁場時，帶正電的粒子受到洛倫茲力的作用使其所受的電場力做功減少，故B選項正確． 題組三　帶電粒子在磁場中的圓周運動 7．質(zhì)子(p)和α粒子以相同的速率在同一勻強磁場中做勻速圓周運動，軌道半徑分別為Rp和Rα，周期分別為Tp和Tα.則下列選項正確的是(　　) A．Rp∶Rα＝1∶2，Tp∶Tα＝1∶2 B．Rp∶Rα＝1∶1，Tp∶Tα＝1∶1 C．Rp∶Rα＝1∶1，Tp∶Tα＝1∶2 D．Rp∶Rα＝1∶2，Tp∶Tα＝1∶1 答案　A 解析　由qvB＝，有R＝，而mα＝4mp，qα＝2qp，故Rp∶Rα＝1∶2，又T＝，故Tp∶Tα＝1∶2.故A正確． 8．處于勻強磁場中的一個帶電粒子，僅在磁場力作用下做勻速圓周運動．將該粒子的運動等效為環(huán)形電流，那么此電流值(　　) A．與粒子電荷量成正比 B．與粒子速率成正比 C．與粒子質(zhì)量成正比 D．與磁感應強度成正比 答案　D 解析　帶電粒子在勻強磁場中做勻速圓周運動的周期T＝，與該粒子運動等效的環(huán)形電流I＝＝，由此可知，I∝q2，故選項A錯誤；I與粒子速率無關，選項B錯誤；I∝，即I與m成反比，故選項C錯誤；I∝B，選項D正確． 9．如圖4所示是在勻強磁場中觀察到的粒子的軌跡，a和b是軌跡上的兩點，勻強磁場B垂直于紙面向里．該粒子在運動時，其質(zhì)量和電荷量不變，而動能逐漸減少，下列說法正確的是(　　) 圖4 A．粒子先經(jīng)過a點，再經(jīng)過b點 B．粒子先經(jīng)過b點，再經(jīng)過a點 C．粒子帶負電 D．粒子帶正電 答案　AC 解析　由于粒子的速率減小，由r＝知，軌道半徑不斷減小，所以A對，B錯；由左手定則得粒子應帶負電，C對，D錯． 題組四　帶電物體在磁場中的運動問題 10．帶電油滴以水平速度v0垂直進入磁場，恰做勻速直線運動，如圖5所示，若油滴質(zhì)量為m，磁感應強度為B，則下述說法正確的是(　　) 圖5 A．油滴必帶正電荷，電荷量為 B．油滴必帶正電荷，比荷＝ C．油滴必帶負電荷，電荷量為 D．油滴帶什么電荷都可以，只要滿足q＝ 答案　A 解析　油滴水平向右勻速運動，其所受洛倫茲力必向上，且與重力平衡，故帶正電，其電荷量q＝，A正確． 11.如圖6所示，在豎直平面內(nèi)放一個光滑絕緣的半圓形軌道，水平方向的勻強磁場與半圓形軌道所在的平面垂直．一個帶負電荷的小滑塊由靜止開始從半圓軌道的最高點M下滑到最右端，則下列說法中正確的是(　　) 圖6 A．滑塊經(jīng)過最低點時的速度比磁場不存在時大 B．滑塊從M點到最低點的加速度比磁場不存在時小 C．滑塊經(jīng)過最低點時對軌道的壓力比磁場不存在時小 D．滑塊從M點到最低點所用時間與磁場不存在時相等 答案　D 解析　由于洛倫茲力不做功，故與磁場不存在時相比，滑塊經(jīng)過最低點時的速度不變，選項A錯誤；由a＝，與磁場不存在時相比，滑塊經(jīng)過最低點時的加速度不變，選項B錯誤；由左手定則，滑塊經(jīng)最低點時受的洛倫茲力向下，而滑塊所需的向心力不變，故滑塊經(jīng)最低點時對軌道的壓力比磁場不存在時大，選項C錯誤；由于洛倫茲力始終與運動方向垂直，在任意一點，滑塊經(jīng)過時的速度均與不加磁場時相同，選項D正確． 12.如圖7所示，套在足夠長的絕緣粗糙直棒上的帶正電小球，其質(zhì)量為m，帶電荷量為q，小球可在棒上滑動，現(xiàn)將此棒豎直放入沿水平方向且相互垂直的勻強磁場和勻強電場中，設小球的電荷量不變，小球由靜止下滑的過程中(　　) 圖7 A．小球加速度一直增大 B．小球速度一直增大，直到最后勻速 C．棒對小球的彈力一直減小 D．小球所受洛倫茲力一直增大，直到最后不變 答案　BD 解析　小球由靜止開始下滑，受到向左的洛倫茲力不斷增大．在開始階段，洛倫茲力小于向右的電場力，棒對小球有向左的彈力，隨著洛倫茲力的增大，棒對小球的彈力減小，小球受到的摩擦力減小，所以在豎直方向的重力和摩擦力作用下加速運動的加速度增加． 當洛倫茲力等于電場力時，棒對小球沒有彈力，摩擦力隨之消失，小球受到的合力最大，加速度最大． 隨著速度繼續(xù)增大，洛倫茲力大于電場力，棒對小球又產(chǎn)生向右的彈力，隨著速度增大，洛倫茲力增大，棒對小球的彈力增大，小球受到的摩擦力增大，于是小球在豎直方向受到的合力減小，加速度減小，小球做加速度減小的加速運動，當加速度減小為零時，小球的速度不再增大，以此時的速度做勻速運動．綜上所述，選項B、D正確． 13.如圖8所示，質(zhì)量為m的帶正電小球能沿著豎直的絕緣墻豎直下滑，磁感應強度為B的勻強磁場方向水平，并與小球運動方向垂直．若小球電荷量為q，球與墻間的動摩擦因數(shù)為μ.則小球下滑的最大速度為__________，最大加速度為__________． 圖8 答案　　g 解析　當小球剛開始下滑時有最大加速度，即a＝g， 當小球的加速度為零時有最大速度，即mg＝μF， F＝qvB.解得v＝. 14.質(zhì)量為m、帶電荷量為＋q的小球，用一長為l的絕緣細線懸掛在方向垂直紙面向里的勻強磁場中，磁感應強度為B，如圖9所示，用絕緣的方法使小球位于使懸線呈水平的位置A，然后靜止釋放，小球運動的平面與B的方向垂直，求小球第一次和第二次經(jīng)過最低點C時懸線的拉力T1和T2. 圖9 答案　3mg－qB　3mg＋qB 解析　小球由A運動到C的過程中，洛倫茲力始終與v的方向垂直，對小球不做功，只有重力做功，由動能定理有mgl＝mv， 解得vC＝. 在C點，由左手定則可知洛倫茲力向上，其受力情況如圖①所示． 由牛頓第二定律，有T1＋f－mg＝m. 又f＝qvCB， 所以T1＝3mg－qB. 同理可得小球第二次經(jīng)過C點時，受力情況如圖②所示，所以T2＝3mg＋qB. 15．如圖10所示，質(zhì)量為m＝1 kg、電荷量為q＝510－2 C的帶正電的小滑塊，從半徑為R＝0.4 m的光滑絕緣圓弧軌道上由靜止自A端滑下．整個裝置處在方向互相垂直的勻強電場與勻強磁場中．已知E＝100 V/m，方向水平向右，B＝1 T，方向垂直紙面向里，g＝10 m/s2. 圖10 求：(1)滑塊到達C點時的速度； (2)在C點時滑塊所受洛倫茲力． 答案　(1)2 m/s，方向水平向左　(2)0.1 N，方向豎直向下 解析　以滑塊為研究對象，自軌道上A點滑到C點的過程中，受重力mg，方向豎直向下；靜電力qE，方向水平向右；洛倫茲力f＝qvB，方向始終垂直于速度方向． (1)滑塊從A到C過程中洛倫茲力不做功，由動能定理得 mgR－qER＝mv 得vC＝ ＝2 m/s.方向水平向左． (2)根據(jù)洛倫茲力公式得：f＝qvCB＝510－221 N＝0.1 N，方向豎直向下．