2019-2020年高考數學第二輪復習 專題六 解析幾何第2講 橢圓、雙曲線、拋物線 文.doc
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2019-2020年高考數學第二輪復習 專題六解析幾何第2講橢圓、雙曲線、拋物線 文真題試做1(xx江西高考,文8)橢圓1(ab0)的左、右頂點分別是A,B,左、右焦點分別是F1,F2若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比數列,則此橢圓的離心率為()A B C D22(xx湖南高考,文6)已知雙曲線C:1的焦距為10,點P(2,1)在C的漸近線上,則C的方程為()A1 B1C1 D13(xx大綱全國高考,文10)已知F1,F2為雙曲線C:x2y22的左、右焦點,點P在C上,|PF1|2|PF2|,則cosF1PF2()A B C D4(xx江西高考,文20)已知三點O(0,0),A(2,1),B(2,1),曲線C上任意一點M(x,y)滿足|()2(1)求曲線C的方程;(2)點Q(x0,y0)(2x02)是曲線C上的動點,曲線C在點Q處的切線為l,點P的坐標是(0,1),l與PA,PB分別交于點D,E,求QAB與PDE的面積之比考向分析圓錐曲線是高考的重點和熱點,是高考中每年必考的內容所占分數約在1218分主要考查圓錐曲線的標準方程、幾何性質、直線與圓錐曲線的位置關系等內容其中對圓錐曲線方程與性質的考查,多以選擇題、填空題為主,如xx年湖南高考文6,xx年江西高考文8等題;對直線與圓錐曲線的位置關系的考查,常與其他知識結合,形成曲線中的存在性問題、曲線中的證明問題等,多以解答題的形式出現預計在今后高考中,解析幾何中的解答題仍將以直線與圓錐曲線為載體,繼續(xù)與函數、方程、不等式、向量等知識結合,考查最值問題、范圍問題、存在性問題以及有關的證明等,試題屬于中、高檔題,考查的思想方法主要有數形結合、等價轉化、分類討論等數學思想方法熱點例析熱點一圓錐曲線的定義、性質與標準方程【例1】若橢圓1與雙曲線1(m,n,p,q均為正數)有共同的焦點F1,F2,P是兩曲線的一個公共點,則|PF1|PF2|等于()Ap2m2 BpmCmp Dm2p2規(guī)律方法 1求圓錐曲線方程常用的方法有定義法、待定系數法、軌跡方程法而對于雙曲線和橢圓在不明確焦點坐標的情況下可以統(tǒng)一設成mx2ny21(mn0),這樣可以避免對參數的討論2應特別重視圓錐曲線的定義在解題中的運用,若已知圓錐曲線上一點及焦點的相關信息,應首先要考慮使用圓錐曲線的定義來求解3在求解有關離心率的問題時,一般并不是直接求出c和a的值,而是根據題目給出的橢圓或雙曲線的幾何特點,建立關于參數c,a,b的方程或不等式,通過解方程或不等式求得離心率的值或范圍4在雙曲線中,由于e21,故雙曲線的漸近線與離心率密切相關5拋物線的幾何性質的特點:有一個頂點、一個焦點、一條準線、一條對稱軸、無對稱中心、沒有漸近線,這里強調p的幾何意義是焦點到準線的距離變式訓練1 (1)(xx江蘇南京二模,6)已知雙曲線y21的一條漸近線方程為x2y0,則該雙曲線的離心率e_(2)已知雙曲線1(a0,b0)的一條漸近線方程是yx,它的一個焦點與拋物線y216x的焦點相同,則雙曲線的方程為_熱點二圓錐曲線的最值或定值問題【例2】在平面直角坐標系xOy中,已知橢圓C:y21如圖所示,斜率為k(k0)且不過原點的直線l交橢圓C于A,B兩點,線段AB的中點為E,射線OE交橢圓C于點G,交直線x3于點D(3,m)(1)求m2k2的最小值;(2)若|OG|2|OD|OE|,求證:直線l過定點;試問點B,G能否關于x軸對稱?若能,求出此時ABG的外接圓方程;若不能,請說明理由規(guī)律方法1求最值的常用方法(1)函數法,如通過二次函數求最值;(2)三角代換法,轉化為三角函數,利用三角函數的有界性求最值;(3)不等式法,通過基本不等式求最值;(4)數形結合法等2定值問題的求解策略解這類問題常通過取參數和特殊值先確定“定值”是多少,再進行證明,或者將問題轉化為代數式,再證明該式是與變量無關的常數特別提醒:解決定值問題一定要分清哪些量為變量,哪些量為常量變式訓練2 (xx安徽安慶二模,20)已知,橢圓C:1(ab0)的左、右焦點為F1,F2,e,過F1的直線l交橢圓C于A,B兩點,|AF2|,|AB|,|BF2|成等差數列,且|AB|4(1)求橢圓C的方程;(2)M,N是橢圓C上的兩點,若線段MN被直線x1平分,證明:線段MN的中垂線過定點熱點三圓錐曲線中的參數范圍【例3】如圖,已知圓C:(x1)2y28,定點A(1,0),M為圓上一動點,點P在AM上,點N在CM上,且滿足2,0,點N的軌跡為曲線E(1)求曲線E的方程;(2)若過定點F(0,2)的直線交曲線E于不同的兩點G,H(點G在點F,H之間),且滿足,求的取值范圍規(guī)律方法 求參數范圍的常用方法(1)函數法,用其他變量表示該參數,建立函數關系,利用求函數值域的方法求解(2)不等式法,根據題意建立含參數的不等關系,通過解不等式求參數的范圍(3)判別式法,建立關于某變量的一元二次方程,利用判別式0求參數的范圍(4)數形結合法,研究該參數所對應的幾何意義,利用數形結合思想求解特別提醒:直線與圓錐曲線相交(有兩個交點),聯立方程消元后得方程ax2bxc0(a0),則b24ac0,求字母范圍時易忽視此限制條件,從而產生增根變式訓練3 已知點P(4,4),圓C:(xm)2y25(m3)與橢圓E:1(ab0)有一個公共點A(3,1),F1,F2分別是橢圓的左、右焦點,直線PF1與圓C相切(1)求m的值與橢圓E的方程;(2)設Q為橢圓E上的一個動點,求的取值范圍熱點四開放性、探索性問題(存在性問題)【例4】在平面直角坐標系xOy中,經過點(0,)且斜率為k的直線l與橢圓y21有兩個不同的交點P和Q(1)求k的取值范圍;(2)設橢圓與x軸正半軸、y軸正半軸的交點分別為A,B,是否存在常數k,使得向量與共線?如果存在,求k的值;如果不存在,請說明理由規(guī)律方法 1解決探索性問題應注意以下幾點:存在性問題,先假設存在,推證滿足條件的結論,若結論正確則存在,若結論不正確則不存在(1)當條件和結論不唯一時要分類討論(2)當給出結論而要推導出存在的條件時,先假設成立,再推出條件(3)當條件和結論都不知,按常規(guī)方法解題很難時,要思維開放,采取另外的途徑2存在性問題的解題步驟:(1)先假設存在,引入參變量,根據題目條件列出關于參變量的方程(組)或不等式(組)(2)解此方程(組)或不等式(組),若有解則存在,若無解則不存在(3)得出結論變式訓練4 如圖,橢圓C:1的頂點為A1,A2,B1,B2,焦點為F1,F2,|A1B1|,(1)求橢圓C的方程;(2)設n是過原點的直線,l是與n垂直相交于P點,與橢圓相交于A,B兩點的直線,|1是否存在上述直線l使1成立?若存在,求出直線l的方程;若不存在,請說明理由思想滲透分類討論思想解析幾何中含參數的問題解析幾何中含參數的問題類型:(1)當直線過定點設直線方程時,應對直線分斜率存在與不存在兩種情況進行討論;(2)求有關直線與圓錐曲線交點個數問題時,對參數的討論;(3)求有關線段長度、圖形面積的最值問題時,對解析式中含有的參數進行討論;(4)對有關二元二次方程表示曲線類型的判定等求解時注意的問題:(1)求解有關含參數的問題時應結合參數的意義,對參數的不同取值或不同取值范圍進行分類討論,分類時應注意討論的時機、標準、原因,做到不重不漏(2)對參數的分類討論,最后仍然分類寫出答案;如果是對所求的字母進行分類求解,最后一般要整理得出并集【典型例題】(xx浙江高考,理21)如圖,橢圓C:1(ab0)的離心率為,其左焦點到點P(2,1)的距離為,不過原點O的直線l與C相交于A,B兩點,且線段AB被直線OP平分(1)求橢圓C的方程;(2)求ABP面積取最大值時直線l的方程解:(1)設橢圓左焦點為F(c,0),則由題意得得所以橢圓方程為1(2)設A(x1,y1),B(x2,y2),線段AB的中點為M當直線AB與x軸垂直時,直線AB的方程為x0,與不過原點的條件不符,舍去故可設直線AB的方程為ykxm(m0),由消去y,整理得(34k2)x28kmx4m2120,則64k2m24(34k2)(4m212)0,所以線段AB的中點M,因為M在直線OP上,所以,得m0(舍去)或k此時方程為3x23mxm230,則3(12m2)0,所以|AB|x1x2|設點P到直線AB距離為d,則d設ABP的面積為S,則S|AB|d,其中m(2,0)(0,2)令u(m)(12m2)(m4)2,m2,2,u(m)4(m4)(m22m6)4(m4)(m1)(m1)所以當且僅當m1時,u(m)取到最大值故當且僅當m1時,S取到最大值綜上,所求直線l方程為3x2y2201(xx江西八校聯考,文10)設拋物線M:y22px(p0)的焦點F是雙曲線N:1(a0,b0)的右焦點,若M與N的公共弦AB恰好過F,則雙曲線N的離心率e的值為()A B1 C3 D22(xx河北邯鄲一模,11)拋物線y22px(p0)的焦點為F,傾斜角為60的直線l過點F且與拋物線的一個交點為A,|AF|3,則拋物線的方程為()Ay23x By2xCy2x或y2x Dy23x或y29x3以F1(1,0),F2(1,0)為焦點且與直線xy30有公共點的橢圓中,離心率最大的橢圓方程是()A1 B1C1 D14(xx山東濰坊3月模擬,13)雙曲線y21(a0)的離心率為2,則該雙曲線的漸近線方程為_5(xx北京豐臺3月模擬,10)已知拋物線y28x上一點P到焦點的距離是6,則點P的坐標是_6(xx山東濟南3月模擬,15)過雙曲線1(a0,b0)的一個焦點F作一條漸近線的垂線,若垂足恰在線段OF(O為原點)的垂直平分線上,則雙曲線的離心率為_7(xx山東濟南3月模擬,22)已知中心在原點O,焦點F1,F2在x軸上的橢圓E經過點C(2,2),且拋物線y24x的焦點為F1(1)求橢圓E的方程;(2)垂直于OC的直線l與橢圓E交于A,B兩點,當以AB為直徑的圓P與y軸相切時,求直線l的方程和圓P的方程參考答案命題調研明晰考向真題試做1B解析:因為A,B為左,右頂點,F1,F2為左,右焦點,所以|AF1|ac,|F1F2|2c,|F1B|ac又因為|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比數列,所以(ac)(ac)4c2,即a25c2所以離心率e,故選B2A解析:2c10,c5點P(2,1)在直線yx上,1又a2b225,a220,b25故C的方程為:13C解析:設|PF2|m,則|PF1|2m,由雙曲線定義知|PF1|PF2|2a,得2mm2,m2又2c2224,由余弦定理可得:cosF1PF24解:(1)由(2x,1y),(2x,1y),得|,()(x,y)(0,2)2y,由已知得2y2,化簡得曲線C的方程是x24y(2)直線PA,PB的方程分別是yx1,yx1,曲線C在Q處的切線l的方程是yx,且與y軸的交點為F,分別聯立方程組解得D,E的橫坐標分別是xD,xE,則xExD2,|FP|1,故SPDE|FP|xExD|2,而SQAB4,則2,即QAB與PDE的面積之比為2精要例析聚焦熱點熱點例析【例1】C解析:根據題意可知mn,由于點P是橢圓上的點,據橢圓定義有|PF1|PF2|2又點P在雙曲線上,再據雙曲線定義有|PF1|PF2|2,將上述兩式分別平方再相減得|PF1|PF2|mp【變式訓練1】(1)(2)1解析:由雙曲線1(a0,b0)的一條漸近線方程為yx得,ba拋物線y216x的焦點為F(4,0),c4又c2a2b2,16a2(a)2a24,b212所求雙曲線的方程為1【例2】解:(1)設直線l的方程為ykxt(k0),由題意知,t0由方程組得(3k21)x26ktx3t230由題意0,所以3k21t2設A(x1,y1),B(x2,y2),由韋達定理得x1x2所以y1y2由于E為線段AB的中點,因此xE,yE,此時kOE所以OE所在直線方程為yx又由題設知D(3,m),令x3,得m,即mk1所以m2k22mk2當且僅當mk1時上式等號成立此時由0得0t2因此當mk1且0t2時,m2k2取最小值2(2)證明:由(1)知OD所在直線的方程為yx,將其代入橢圓C的方程,并由k0,解得G,又E,D,由距離公式及t0得|OG|222,|OD|,|OE|,由|OG|2|OD|OE|得tk,因此直線l的方程為yk(x1),所以直線l過定點(1,0)由得G,若B,G關于x軸對稱,則B代入yk(x1),整理得3k21k,即6k47k210,解得k2(舍去)或k21,所以k1此時B,G關于x軸對稱又由(1)得x10,y11,所以A(0,1)由于ABG的外接圓的圓心在x軸上,可設ABG的外接圓的圓心為(d,0),因此d212,解得d故ABG的外接圓的半徑為r所以ABG的外接圓方程為2y2【變式訓練2】解:(1)|AF2|,|AB|,|BF2|成等差數列,|AF2|BF2|2|AB|4a|AF2|AF1|BF2|BF1|AF2|BF2|AB|3|AB|12a3又e,c1,b2所求的橢圓方程為1(2)設M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中點為(1,y0),由題意,知,兩式相減,得0,kMN線段MN的中垂線方程為yy0(x1),易證,此直線過定點【例3】解:(1)2,0,NP為AM的垂直平分線,|NA|NM|又|CN|NM|2,|CN|AN|22,點N的軌跡是以點C(1,0),A(1,0)為焦點的橢圓且橢圓長軸長為2a2,焦距2c2,a,c1,b21,曲線E的方程為y21(2)當直線GH的斜率存在時,設直線GH的方程為ykx2,代入橢圓方程y21,得x24kx30由0得k2設G(x1,y1),H(x2,y2),則x1x2,x1x2又,(x1,y12)(x2,y22),x1x2,x1x2(1)x2,x1x2x2,2x222,整理得k2,442,3又01,1又當直線GH的斜率不存在,即其方程為x0時,1,即所求的取值范圍是【變式訓練3】解:(1)點A坐標代入圓C方程,得(3m)215m3,m1圓C:(x1)2y25設直線PF1的斜率為k,則PF1:yk(x4)4,即kxy4k40直線PF1與圓C相切,解得k,或k當k時,直線PF1與x軸的交點橫坐標為,不合題意,舍去;當k時,直線PF1與x軸的交點橫坐標為4,c4F1(4,0),F2(4,0)2aAF1AF256,a3,a218,b22橢圓E的方程為1(2)(1,3),設Q(x,y),(x3,y1),(x3)3(y1)x3y61,即x2(3y)218,而x2(3y)22|x|3y|,186xy18則(x3y)2x2(3y)26xy186xy的取值范圍是0,36x3y的取值范圍是6,6x3y6的取值范圍是12,0【例4】解:(1)由已知條件知直線l的方程為ykx,代入橢圓方程得(kx)21整理得x22kx10直線l與橢圓有兩個不同的交點P和Q等價于8k244k220,解得k或k即k的取值范圍為(2)設P(x1,y1),Q(x2,y2),則(x1x2,y1y2),由方程得x1x2又y1y2k(x1x2)2,而A(,0),B(0,1),(2,1),所以與共線等價于x1x2(y1y2)將代入上式,解得k由(1)知k或k,故沒有符合題意的常數k【變式訓練4】解:(1)由|A1B1|知a2b27,知a2c,又b2a2c2,由解得a24,b23,故橢圓C的方程為1(2)設A,B兩點的坐標分別為(x1,y1),(x2,y2),假設使1成立的直線l存在,當l不垂直于x軸時,設l的方程為ykxm,由l與n垂直相交于P點且|1,得1,即m2k211,|1,()()10010,即x1x2y1y20將ykxm代入橢圓方程,得(34k2)x28kmx(4m212)0,由求根公式可得x1x2,x1x20x1x2y1y2x1x2(kx1m)(kx2m)x1x2k2x1x2km(x1x2)m2(1k2)x1x2km(x1x2)m2,將代入上式并化簡得(1k2)(4m212)8k2m2m2(34k2)0,將m21k2代入并化簡得5(k21)0,矛盾即此時直線l不存在當l垂直于x軸時,滿足|1的直線l的方程為x1或x1,當x1時,A,B,P的坐標分別為,(1,0),1當x1時,同理可得1,即此時直線l也不存在綜上可知,使1成立的直線l不存在創(chuàng)新模擬預測演練1B解析:由條件可知雙曲線的半焦距e,則|AB|2p4c,即c2a22ac設雙曲線的離心率為e,則e22e10,故e12D解析:直線l方程為y設A(x1,y1),則y1又根據拋物線定義,有x13,x13故A將A點坐標代入拋物線方程,并整理有:4p224p270,p1,p2故拋物線方程為y23x或y29x3C解析:c1,故若使橢圓的離心率最大,則a最小,即在直線xy30上求一點M使|MF1|MF2|最小,易求點F1關于直線xy30的對稱點N為(3,2),|NF2|22a2,故所求橢圓方程是1故選C4yx解析:c2a21,由4得a故漸近線方程為yxx5(4,4)解析:利用拋物線定義先求出P點的橫坐標6解析:設垂足為M則OFM為等腰直角三角形,設OF中點為N,利用MNONOF,列出關于a,c的關系式即可解決7解:(1)設橢圓E的方程為1(ab0),則1,拋物線y24x的焦點為F1,c又a2b2c2,由得a212,b26橢圓E的方程為1(2)依題意,直線OC斜率為1,由此設直線l的方程為yxm,代入橢圓E的方程,得3x24mx2m2120由16m212(2m212)8(18m2)0,得m218A(x1,y1),B(x2,y2),則x1x2,x1x2圓P的圓心為,半徑r|x1x2|當圓P與y軸相切時,r,則2x1x2,即,m2918,m3當m3時,直線l方程為yx3,此時,x1x24,圓心為(2,1),半徑為2,圓P的方程為(x2)2(y1)24;同理,當m3時,直線l方程為yx3,圓P的方程為(x2)2(y1)24- 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