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第三講：勾股定理與實數的綜合運用 ◆ 【知識考點梳理】 1、 求線段的長主要考慮用勾股定理建立方程求解； 2、 運用勾股定理解決實際問題關鍵在于建立直角三角形模型，常用的方法有： （1）直接作高法；（2）補形法；（3）整體結構法；（4）圖形變換法； ◆◆ 【考點聚焦、方法導航】 ◆【考點題型1】---勾股定理、實數的有關計算 【例1】1.如圖：大正方形的面積為，小正方形的面積為，則圖中陰影部分的面積是 ； 2.（南通）如圖，在中，，，，在直線上．將繞點順時針旋轉到位置①，可得到點，此時；將位置①的三角形繞點順時針旋轉到位置②，可得到點，此時；將位置②的三角形繞點順時針旋轉到位置③，可得到點，此時；…，按此規(guī)律繼續(xù)旋轉，直到得到點為止，則（ ） 、 、、 、 3題圖 4題圖 3.（淮安）如圖，在中，，，將繞點按逆時針方向旋轉后得到，交于點，如果，則的周長等于 ； ◆【考點題型2】---最短距離問題的應用舉例 【例2】一線圈纏繞在底面周長為，高為的圓柱體上，如圖示： （1）若纏繞3圈，則線圈的長度至少為 ； （2）若纏繞圈需要的線的長度至少為 ；（用含的代數式表示） 【例3】（鄂州）如圖，已知直線，且與之間的距離為4，點到直線的距離為2，點到直線的距離為3，．試在直線上找一點，在直線上找一點，滿足且的長度和最短， 則此時（　　 ） 、6 、8 、10 、12 ◆ 方法歸納： ◆【考點題型3】---勾股定理與實數的綜合運用 【例4】（山東威海）一副直角三角板如圖放置，點在的延長線上，，,,,,求的長。 【例5】圖①是一面長方形彩旗完全展平時的尺寸圖（單位：）。其中長方形是由雙層白布縫制的穿旗桿用的旗褲，陰影部分為長方形綢緞旗面。 （1）用經加工的圓木桿穿入旗褲作旗桿，求旗桿的最大直徑（精確到，?。?； （2）將穿好彩旗的旗桿垂直插在操場上，旗桿從旗頂到地面的高度為，在無風的天氣里，彩旗自然下垂，如圖②. 求彩旗下垂時最低處離地面的最小高度。 【例6】（13北京一模）已知：如圖，四邊形ABCD中，，，E是AD上一點，∠BED=135，，，． 求：（1）點C到直線AD的距離； （2）線段BC的長． ◆【考點題型3】---創(chuàng)新思維與能力拓展 【例7】（12紹興）三角形三邊垂直平分線的交點到三角形三個頂點的 距離相等，這個交點叫三角形的外心。 如圖：，點稱為的外心。 聯(lián)想三角形外心的概念，我們引入如下概念。 定義：到三角形的兩個頂點距離相等的點，叫做此三角形的準外心。 舉例：如圖1，若，則點為的準外心。 應用：如圖2，為等邊的高，準外心在高上，且，求的度數。 探究：已知為直角三角形，斜邊，，準外心在邊上，試探究的長。 【例8】1、如圖：在矩形中，已知，，是邊上任意一點，于，于，那么的值為 ； 2、（廣州-改編）如圖，在等邊中，，是上一點，且，繞點旋轉后得到，則； 3、（深圳）如圖，中，，以斜邊為邊向外作正方形，且正方形對角線交于點，連接，已知，，則另一直角邊的長為 ． 【例9】如圖，為線段上一動點,分別過點、作，，連接、。已知,,,設。 （1）用含的代數式表示的長； （2）請問點滿足什么條件時,的值最小? E D C B A （3）根據（2）中的規(guī)律和結論,請構圖求出代數式的最小值. 作業(yè)設計 姓名： 作業(yè)等級： . 第一部分： 1、已知，則； 2、若，則； 3、若，則的平方根是（ ） 、 、 、 、 4、（湖北孝感）對實數、，定義運算★如下：★=，例如： 2★3。計算：[2★（﹣4）][（﹣4）★（﹣2）] 第二部分： 1、若，化簡 ； B A 6cm 3cm 1cm 2、代數式有意義的實數的取值范圍是 ； 3、（青島）如圖，長方體的底面邊長分別為和，高為 。如果用一根細線從點開始經過4個側面纏繞一圈到達點， 那么所用細線最短需要 ；若從點開始經過4個側面 纏繞圈到達點，則所用細線最短需要 4（13哈爾濱）在中，，，，以為一邊作等腰直角三角形，使，連接，則線段的長為