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專題能力訓(xùn)練10　三角變換與解三角形 一、能力突破訓(xùn)練 1.(2018全國(guó)Ⅲ,文4)若sin α=,則cos 2α=(　　) A. B. C.- D.- 2.已知cos(π-2α)sinα-π4=-22,則sin α+cos α等于(　　) A.-72 B.72 C. D.- 3.△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c.已知b=c,a2=2b2(1-sin A),則A=(　　) A.3π4 B.π3 C.π4 D.π6 4.(2018全國(guó)Ⅱ,文7)在△ABC中,cos C2=55,BC=1,AC=5,則AB=(　　) A.42 B.30 C.29 D.25 5.若α∈π2,π,3cos 2α=sinπ4-α,則sin 2α的值為 (　　) A.118 B.-118 C.1718 D.-1718 6.若tanα-π4=16,則tan α=　　　　　. 7.△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若2bcos B=acos C+ccos A,則B=. 8.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知asin 2B=3bsin A. (1)求B; (2)若cos A=,求sin C的值. 9.已知函數(shù)f(x)=sin2x-cos2x-23sin xcos x(x∈R). (1)求f2π3的值; (2)求f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間. 10.設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,a=btan A,且B為鈍角. (1)證明:B-A=π2; (2)求sin A+sin C的取值范圍. 11.設(shè)f(x)=sin xcos x-cos2x+π4. (1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間; (2)在銳角三角形ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.若fA2=0,a=1,求△ABC面積的最大值. 二、思維提升訓(xùn)練 12.若0<α<π2,-π2<β<0,cosπ4+α=13,cosπ4-β2=33,則cosα+β2等于(　　) A.33 B.-33 C.539 D.-69 13.△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c=2,則C=(　　) A.π12 B.π6 C.π4 D.π3 14.(2018全國(guó)Ⅰ,文11)已知角α的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,終邊上有兩點(diǎn)A(1,a),B(2,b),且cos 2α=,則|a-b|=(　　) A. B.55 C.255 D.1 15.已知△ABC,AB=AC=4,BC=2.點(diǎn)D為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn),BD=2,連接CD,則△BDC的面積是　　　　　,cos∠BDC=　　　　　. 16.△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若cos A=,cos C=513,a=1,則b=　　　　　. 17.(2018全國(guó)Ⅰ,文16)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知bsin C+csin B=4asin Bsin C,b2+c2-a2=8,則△ABC的面積為　　　　　. 18.已知向量a=(cos x,sin x),b=(3,-3),x∈[0,π]. (1)若a∥b,求x的值; (2)記f(x)=ab,求f(x)的最大值和最小值以及對(duì)應(yīng)的x的值.  專題能力訓(xùn)練10　三角變換與解三角形 一、能力突破訓(xùn)練 1.B　解析 cos 2α=1-2sin2α=1-2132=79. 2.D　解析 cos(π-2α)sinα-π4=-cos2αsinα-π4=sin2α-π2sinα-π4=2cosα-π4=2cos α+2sin α=-22, ∴sin α+cos α=-12,故選D. 3.C　解析 由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos A, 又因?yàn)閎=c,所以a2=b2+b2-2bbcos A=2b2(1-cos A). 由已知a2=2b2(1-sin A),所以sin A=cos A, 因?yàn)锳∈(0,π),所以A=π4. 4.A　解析 ∵cos C=2cos2C2-1=-,∴AB2=BC2+AC2-2BCACcos C=1+25+215=32. ∴AB=42. 5.D　解析 ∵3cos 2α=sinπ4-α, ∴3cos2α-3sin2α=22(sin α-cos α), 又α∈π2,π,∴sin α-cos α≠0, ∴3(sin α+cos α)=-22.平方求得sin 2α=-1718. 6.　解析 方法一:tan α=tanα-π4+π4=tanα-π4+tanπ41-tanα-π4tanπ4=16+11-161=75. 方法二:因?yàn)閠anα-π4=tanα-tanπ41+tanαtanπ4=tanα-11+tanα=16,所以tan α=75,答案為75. 7.π3　解析 由題意和正弦定理,可得2sin Bcos B=sin Acos C+sin Ccos A=sin(A+C)=sin B, 即cos B=12.又因?yàn)锽∈(0,π),所以B=π3. 8.解 (1)在△ABC中,由asinA=bsinB,可得asin B=bsin A, 又由asin 2B=3bsin A,得2asin Bcos B=3bsin A=3asin B,所以cos B=32,得B=π6. (2)由cos A=13,可得sin A=223,則sin C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sinA+π6=32sin A+12cos A=26+16. 9.解 (1)由sin2π3=32,cos2π3=-, f2π3=322--122-2332-12, 得f2π3=2. (2)由cos 2x=cos2x-sin2x與sin 2x=2sin xcos x得f(x)=-cos 2x-3sin 2x=-2sin2x+π6. 所以f(x)的最小正周期是π. 由正弦函數(shù)的性質(zhì)得π2+2kπ≤2x+π6≤3π2+2kπ,k∈Z,解得π6+kπ≤x≤2π3+kπ,k∈Z,所以,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是π6+kπ,2π3+kπ(k∈Z). 10.(1)證明 由a=btan A及正弦定理,得sinAcosA=ab=sinAsinB,所以sin B=cos A,即sin B=sinπ2+A. 又B為鈍角,因此π2+A∈π2,π,故B=π2+A,即B-A=π2. (2)解 由(1)知,C=π-(A+B)=π-2A+π2=π2-2A>0,所以A∈0,π4,于是sin A+sin C=sin A+sinπ2-2A=sin A+cos 2A=-2sin2A+sin A+1=-2sinA-142+98. 因?yàn)?0,所以sin A+cos A=0,即tan A=-1,因?yàn)锳∈(0,π),所以A=3π4.由正弦定理asinA=csinC,得2sin3π4=2sinC,即sin C=12,所以C=π6,故選B. 14.B　解析 因?yàn)閏os 2α=2cos2α-1=,所以cos2α=,sin2α=.所以tan2α=,tan α=55. 由于a,b的正負(fù)性相同,不妨設(shè)tan α>0,即tan α=55,由三角函數(shù)定義得a=55,b=255,故|a-b|=55. 15.152　104　解析 如圖,取BC中點(diǎn)E,DC中點(diǎn)F, 由題意知AE⊥BC,BF⊥CD. 在Rt△ABE中,cos∠ABE=BEAB=14,∴cos∠DBC=-14,sin∠DBC=1-116=154. ∴S△BCD=12BDBCsin∠DBC=152. ∵cos∠DBC=1-2sin2∠DBF=-14,且∠DBF為銳角,∴sin∠DBF=104. 在Rt△BDF中,cos∠BDF=sin∠DBF=104. 綜上可得,△BCD的面積是152,cos∠BDC=104. 16.2113　解析 因?yàn)閏os A=,cos C=513,且A,C為△ABC的內(nèi)角, 所以sin A=35,sin C=1213, sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C) =sin Acos C+cos Asin C=6365. 又因?yàn)閍sinA=bsinB,所以b=asinBsinA=2113. 17.233　解析 由正弦定理及條件,得bc+cb=4absin C,所以csinC=2a,設(shè)△ABC的外接圓半徑為R,則csinC=2R,所以a=R. 因?yàn)閎2+c2-a2=8>0,所以cos A>0,0

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