2019-2020年三年級數(shù)學 奧數(shù)講座 包含與排除.doc
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2019-2020年三年級數(shù)學 奧數(shù)講座 包含與排除同學們對這個題目可能很陌生,為了搞清楚什么是“包含與排除”,大家先一起回答兩個問題:(1) 兩個面積都是4厘米2的正方形擺在桌面上(見左下圖),它們遮蓋住桌面的面積是8厘米2嗎?(2)一個正方形每條邊上有6個點(見右上圖),四條邊上一共有24個點嗎?聰明的同學馬上就會發(fā)現(xiàn):(1)兩個正方形的面積和是8厘米2,現(xiàn)在它們有一部分重疊了。因此蓋住桌面的面積應當從兩個正方形的面積和中減去重疊的這部分面積,所以蓋住桌面的面積應少于8厘米2。(2)四個角上的點每個點都在兩條邊上,因此被重復計算了,在求四條邊上共有多少點時,應當減去重復計算的點,所以共有 64-4 20(個)點。這兩個問題,在計算時,都采用了“去掉”重復的數(shù)值(面積或個數(shù))的方法。一般地,若已知A,B,C三部分的數(shù)量(見右圖),其中C為A,B的重復部分,則圖中的數(shù)量就等于A B- C。因為A,B有互相包含(重復)的部分C,所以,在求A和B合在一起的數(shù)量時,就要在AB中減去A和B互相包含的部分C。這種方法稱為包含排除法。實際上,我們前面已經(jīng)遇到過包含與排除的問題。如,第10講“植樹問題”的例3和例4,只不過那時我們沒有明確提出“包含排除法”。例1 把長38厘米和53厘米的兩根鐵條焊接成一根鐵條。已知焊接部分長4厘米,焊接后這根鐵條有多長?解:因為焊接部分為兩根鐵條的重合部分,所以,由包含排除法知,焊接后這根鐵條長38 53- 4 87(厘米)。例2某小學三年級四班,參加語文興趣小組的有28人,參加數(shù)學興趣小組的有29人,有12人兩個小組都參加。這個班有多少人參加了語文或數(shù)學興趣小組?分析與解:如上頁左下圖所示,A圓表示參加語文興趣小組的人,B圓表示參加數(shù)學興趣小組的人,A與B重合的部分(陰影部分)表示同時參加兩個小組的人。圖中A圓不含陰影的部分表示只參加語文興趣小組未參加數(shù)學興趣小組的人,有28-1216(人);圖中B圓不含陰影的部分表示只參加數(shù)學興趣小組未參加語文興趣小組的人,有29-1217(人)(見上頁右下圖)。由此得到參加語文或數(shù)學興趣小組的有16 12 17 45(人)。根據(jù)包含排除法,直接可得28 29- 12 45(人)。例3 某班共有46人,參加美術小組的有12人,參加音樂小組的有23人,有5人兩個小組都參加了。這個班既沒參加美術小組也沒參加音樂小組的有多少人?分析與解:與例2對比,本例已知全班總人數(shù),如果能仿照例2求出參加了美術或音樂小組的人數(shù),那么只需用全班總人數(shù)減去這個人數(shù),就得到所求的人數(shù)。根據(jù)包含排除法知,該班至少參加了一個小組的總人數(shù)為12 23- 5 30(人)。所以,該班未參加美術或音樂小組的人數(shù)是46-30=16(人)。綜合列式為46- ( 12 23- 5) 16(人)。例4 三年級科技活動組共有63人。在一次剪貼汽車模型和裝配飛機模型的定時科技活動比賽中,老師到時清點發(fā)現(xiàn):剪貼好一輛汽車模型的同學有42人,裝配好一架飛機模型的同學有34人。每個同學都至少完成了一項活動。問:同時完成這兩項活動的同學有多少人?分析與解:因423476,7663,所以必有人同時完成了這兩項活動。由于每個同學都至少完成了一項活動,根據(jù)包含排除法知,4234-(完成了兩項活動的人數(shù))=全組人數(shù),即76-(完成了兩項活動的人數(shù))63。由減法運算法則知,完成兩項活動的人數(shù)為76-6313(人)。例5 在前100個自然數(shù)中,能被2或3整除的數(shù)有多少個?分析與解:如右圖所示,A圓內是前100個自然數(shù)中所有能被2整除的數(shù),B圓內是前100個自然數(shù)中所有能被3整除的數(shù),C為前100個自然數(shù)中既能被2整除也能被3整除的數(shù)。前100個自然數(shù)中能被2整除的數(shù)有1002=50(個)。由 1003 33 1知,前 100個自然數(shù)中能被 3整除的數(shù)有 33個。由 100(23) 164知,前 100個自然數(shù)中既能被2整除也能被3整除的數(shù)有16個。所以A中有50個數(shù),B中有33個數(shù),C中有16個數(shù)。因為A,B都包含C,根據(jù)包含排除法得到,能被2或3整除的數(shù)有50 33- 16 67(個)。附送:2019-2020年三年級數(shù)學 奧數(shù)講座 周期問題專題簡析:在日常生活中,有一些按照一定的規(guī)律不斷重復的現(xiàn)象,如:人的十二生肖,一年有春夏秋冬四個季節(jié),一個星期七天等等。像這樣日常生活中常碰到的有一定周期的問題,我們稱為簡單周期問題。這類問題一般要利用余數(shù)的知識來解答。在研究這些簡單周期問題時,我們首先要仔細審題,判斷其不斷重復出現(xiàn)的規(guī)律,也就是找出循環(huán)的固定數(shù),然后利用除法算式求出余數(shù),最后根據(jù)余數(shù)得出正確的結果。例題1 小丁把同樣大小的紅、白、黑珠子按先2個紅的、后1個白的、再3個黑的的規(guī)律排列(如下圖),請你算一算,第32個珠子是什么顏色?從上圖可以看出,珠子是按“兩紅一白三黑”的規(guī)律重復排列,即6個珠子為一周期。326=5(組)2(個),32個珠子中含有5個周期多2個,所以第32個珠子就是重復5個周期后的第2個珠子,應為紅色。練 習 一1如圖,算出第20個圖形是什么? 2“數(shù)學趣味題數(shù)學趣味題”依次重復排列,第xx個字是什么?3把38面小三角旗按下圖排列,其中有多少面白旗? 例題2 2001年10月1日是星期一,問:10月25日是星期幾?思路導航:我們知道,每星期有7天,也就是說以7天為一個周期不斷地重復。從10月1日到10月25日經(jīng)過251=24天,247=3(星期)3(天),說明24天中包括3個星期還多3天。所以從10月1日開始過3個星期,最后一天還是星期一,從這最后一天起再過3天就應是星期四。練 習 二12001年5月3日是星期四,5月20日是星期幾?22001年8月1日是星期三,8月28日是星期幾?32001年6月1日是星期五,9月1日是星期幾?例題3 100個3相乘,積的個位數(shù)字是幾?思路導航:這道題我們只考慮積的個位數(shù)字的排列規(guī)律。1個3,積的個位是3;2個3相乘積的個位數(shù)字是9;3個3相乘積的個位數(shù)字是7;4個3相乘積的個位數(shù)字是1;5個3相乘積的個位數(shù)字是3可以發(fā)現(xiàn),積的個位數(shù)字分別以3、9、7、1不斷重復出現(xiàn),即每4個3積的個位數(shù)字為一周期。1004=25(個),因此100個3相乘積的個位數(shù)字是第25個周期中的最后一個,即是1。練 習 三123個3相乘,積的個位數(shù)字是幾?2100個2相乘,積的個位數(shù)字是幾?350個7相乘,積的個位數(shù)字是幾?例題4 有一列數(shù)按“432791864327918643279186”排列,那么前54個數(shù)字之和是多少?思路導航:上面一列數(shù)中,從第1個數(shù)字開始重復出現(xiàn)的部分是“43279186”,周期數(shù)是8。要求出這列數(shù)字的和,就要先求出這列數(shù)里共有多少組“43279186”。548=6(組)6(個)因此,前6組數(shù)字和是(43279186)6=240,余下6個數(shù)字之和是432791=26。所以,這列數(shù)中前54個數(shù)字之和是24026=266。練 習 四1一列數(shù)按“294736294736294”排列,那么前40個數(shù)字之和是多少?2有一列數(shù)按“9453672945367294”排列,那么前50個數(shù)字之和是多少?3有一列數(shù)“7231652316523165”,請問從左起第2個數(shù)字到第25個數(shù)字之間(含第2個與第25個數(shù)字)所有數(shù)字的和是多少?例題5 小紅買了一本童話書,每兩頁文字之間有3頁插圖,也就是說3頁插圖前后各有1頁文字。如果這本書有128頁,而第1頁是文字,這本童話書共有插圖多少頁?思路導航:已知這本童話書3頁插圖前后各有1頁文字,也就是說這本書是按“1頁文字3頁插圖“的規(guī)律重復排列的,把“1頁文字3頁插圖”看作一周期,128頁中含有128(13)=32個周期,所以這本童話書共有插圖332=96頁。練 習 五1校門口擺了一排花,每兩盆菊花之間擺3盆月季,共擺了112盆花。如果第一盆花是菊花,那么共擺了多少盆月季花?2同學們做早操,36個同學排成一列,每兩個女生中間是兩個男生,第一個是女生,這列隊伍中男生有多少人?3一個圓形花輔周圍長30米,沿周圍每隔3米插一面紅旗,每兩面紅旗中間插兩面黃旗?;ㄝo周圍共插了多少面黃旗?- 配套講稿:
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- 2019-2020年三年級數(shù)學 奧數(shù)講座 包含與排除 2019 2020 三年級 數(shù)學 講座 包含 排除
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