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成才之路 數學 路漫漫其修遠兮吾將上下而求索 人教A版 選修1 11 2 圓錐曲線與方程 第二章 我們知道 用一個垂直于圓錐的軸的平面截圓錐 截口曲線是一個圓 如果改變平面與圓錐軸線的夾角 又會得到什么圖形呢 如圖 當截面與圓錐軸的夾角不同時 可以得到不同的截口曲線 它們分別是橢圓 拋物線 雙曲線 我們通常把圓 橢圓 拋物線 雙曲線統(tǒng)稱為圓錐曲線 實際上 我們生活的地球每時每刻都在環(huán)繞太陽的橢圓軌道上運行 太陽系其他行星也是如此 太陽則位于橢圓的一個焦點上 如果這些行星的運行速度增大到某種程度 它們就會沿拋物線或雙曲線軌跡運行 人類發(fā)射人造地球衛(wèi)星或人造行星就要遵照這個原理 相對于一個物體 按萬有引力定律受它吸引的另一物體的運動 不可能有任何其他的軌道了 因而 圓錐曲線在這種意義上講 構成了我們宇宙的基本形式 圓錐曲線具有怎樣的幾何特征 如何研究圓錐曲線的性質呢 2 1橢圓 第二章 2 1 1橢圓及其標準方程 1 了解橢圓的實際背景 經歷從具體情境中抽象出橢圓的過程和橢圓標準方程的推導與化簡過程 2 掌握橢圓的定義 標準方程及幾何圖形 會用待定系數法求橢圓的標準方程 重點 橢圓的定義和橢圓標準方程的兩種形式 難點 橢圓標準方程的建立和推導 思維導航在生活中 我們對橢圓并不陌生 油罐汽車的貯油罐橫截面的外輪廓線 天體中一些行星和衛(wèi)星運行的軌道都是橢圓 燈光斜照在圓形桌面上 地面上形成的影子也是橢圓形的 那么橢圓是怎樣定義的 怎樣才能畫出橢圓呢 給你兩個圖釘 一根無彈性的細繩 一張紙板 能畫出橢圓嗎 橢圓的定義思維導航 新知導學1 我們已知平面內到兩定點距離相等的點的軌跡為 也曾討論過到兩定點距離之比為某個常數的點的軌跡的情形 那么平面內到兩定點距離的和 或差 等于常數的點的軌跡是什么呢 2 平面內與兩個定點F1 F2的距離的 等于常數 大于 F1F2 的點的軌跡 或集合 叫做橢圓 這兩個定點叫做橢圓的 間的距離叫做橢圓的焦距 當常數等于 F1F2 時軌跡為 當常數小于 F1F2 時 軌跡 連結這兩點的線段的垂直平分線 和 焦點 兩焦點 線段 F1F2 不存在 牛刀小試1 已知F1 F2是兩點 F1F2 8 1 動點M滿足 MF1 MF2 10 則點M的軌跡是 2 動點M滿足 MF1 MF2 8 則點M的軌跡是 答案 1 以F1 F2為焦點 焦距為8的橢圓 2 線段F1F2 解析 1 因為 F1F2 8且動點M滿足 MF1 MF2 10 8 F1F2 由橢圓定義知 動點M的軌跡是以F1 F2為焦點 焦距為8的橢圓 2 因為 MF1 MF2 8 F1F2 所以動點M的軌跡是線段F1F2 思維導航1 如何建立坐標系才能使橢圓的方程比較簡單 求橢圓的方程 首先要建立直角坐標系 由于曲線上同一個點在不同的坐標系中的坐標不同 曲線的方程也不同 為了使方程簡單 必須注意坐標系的選擇 一般情況下 應使已知點的坐標和直線 或曲線 的方程盡可能簡單 在求橢圓的標準方程時 選擇x軸經過兩個定點F1 F2 并且使坐標原點為線段F1F2的中點 這樣兩個定點的坐標比較簡單 便于推導方程 橢圓的標準方程思維導航 2 在推導橢圓方程時 為何要設 F1F2 2c 常數為2a 為何令a2 c2 b2 在求方程時 設橢圓的焦距為2c c 0 橢圓上任意一點到兩個焦點的距離的和為2a a 0 這是為了使推導出的橢圓的方程形式簡單 令a2 c2 b2是為了使方程的形式整齊而便于記憶 3 推導橢圓方程時 需化簡無理式 應注意什么 1 方程中只有一個根式時 需將它單獨留在方程的一側 把其他項移到另一側 2 方程中有兩個根式時 需將它們放在方程的兩側 并使其中一側只有一個根式 然后兩邊平方 答案 C 答案 B 解析 由題設條件知 ABF2的周長為 AF1 AF2 BF1 BF2 4a 16 橢圓的定義 分析 1 中 根據橢圓方程求出a 利用橢圓定義求點M到另一個焦點的距離 2 中 由方程表示橢圓知分母都為正值 由焦點位置確定分母的大小 答案 C 方法規(guī)律總結 1 由橢圓的標準方程可求a b c的值 進而可求焦點坐標等 2 橢圓標準方程中 哪個項的分母大 焦點就在哪個軸上 3 當問題中涉及橢圓上的點到焦點距離時 注意考慮可否利用定義求解 答案 1 B 2 20 求適合下列條件的橢圓的標準方程 1 兩個焦點的坐標分別為F1 4 0 F2 4 0 并且橢圓上一點P與兩焦點的距離的和等于10 求橢圓的標準方程 分析 1 由已知可得a c的值 由b2 a2 c2可求出b 再根據焦點位置寫出橢圓的方程 2 利用兩點間的距離公式求出2a 再寫方程 也可用待定系數法 3 利用待定系數法 但需討論焦點的位置 也可利用橢圓的一般方程Ax2 By2 1 A 0 B 0 A B 直接求A B得方程 方法規(guī)律總結 求橢圓的標準方程常用的方法有 定義法和待定系數法 無論何種方法都應做到 先定位 即確定焦點的位置 以便正確選擇方程的形式 如果不能確定焦點的位置 就需分類討論 或者利用橢圓方程的一般形式 通常設為Ax2 By2 1 A 0 B 0 A B 避免討論 后定量 根據已知條件 列出方程組求解未知數 分析 橢圓上一點P與兩焦點F1 F2構成的三角形PF1F2我們通常稱其為焦點三角形 在這個三角形中 既可運用橢圓定義 又可運用正 余弦定理 有時還運用整體思想求 PF1 PF2 等 焦點三角形問題 方法規(guī)律總結 在解焦點三角形問題時 一般有兩種方法 1 幾何法 利用兩個關系式 PF1 PF2 2a 2a F1F2 利用正余弦定理可得 PF1 PF2 F1F2 的關系式 然后求出 PF1 PF2 但是 一般我們不直接求出 而是根據需要 把 PF1 PF2 PF1 PF2 PF1 PF2 看成一個整體來處理 2 代數法 將P點坐標設出來 利用條件 得出點P的坐標間的關系式 再由點P在橢圓上 代入橢圓方程 聯(lián)立方程組 解出點P的縱坐標 然后求出面積 答案 A 解析 解法一 幾何法如圖 由已知得a 5 b 3 c 4 則 已知B C是兩個定點 BC 8 且 ABC的周長等于18 求這個三角形的頂點A的軌跡方程 分析 由 ABC的周長等于18 BC 8 可知點A到B C兩個定點的距離之和是10 所以點A的軌跡是以B C為焦點的橢圓 但點A與點B C不能在同一直線上 適當建立平面直角坐標系 可以求出這個橢圓的標準方程 定義法解決軌跡問題 方法規(guī)律總結 如果在條件中有兩定點 涉及動點到兩定點的距離 可考慮能否運用橢圓定義求解 利用橢圓的定義求動點的軌跡方程 應先根據動點具有的條件 驗證是否符合橢圓的定義 即動點到兩定點距離之和是否是一常數 且該常數 定值 大于兩點的距離 若符合 則動點的軌跡為橢圓 然后確定橢圓的方程 已知兩圓C1 x 4 2 y2 169 C2 x 4 2 y2 9 動圓和圓C1內切 和圓C2外切 求動圓圓心的軌跡方程 解析 如圖所示 設動圓圓心為M x y 半徑為r