《高中數(shù)學(xué) 2.3.1 數(shù)學(xué)歸納法課件 北師大版選修4-5.ppt》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué) 2.3.1 數(shù)學(xué)歸納法課件 北師大版選修4-5.ppt（26頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

3數(shù)學(xué)歸納法與貝努利不等式 3 1數(shù)學(xué)歸納法 對數(shù)學(xué)歸納法的理解 1 數(shù)學(xué)歸納法原理 數(shù)學(xué)歸納法原理是設(shè)有一個(gè)關(guān)于正整數(shù)n的命題 若當(dāng)n取第1個(gè)值n0時(shí)該命題成立 又在假設(shè)當(dāng)n取第k個(gè)值時(shí)該命題成立后可以推出n取第k 1個(gè)值時(shí)該命題成立 則該命題對一切自然數(shù)n n0都成立 2 數(shù)學(xué)歸納法 數(shù)學(xué)歸納法可以用于證明與正整數(shù)有關(guān)的命題 證明需要經(jīng)過兩個(gè)步驟 驗(yàn)證當(dāng)n取第一個(gè)值n0 如n0 1或2等 時(shí)命題正確 假設(shè)當(dāng)n k時(shí) k N k n0 命題正確 證明當(dāng)n k 1時(shí)命題也正確 在完成了上述兩個(gè)步驟之后 就可以斷定命題對于從n0開始的所有正整數(shù)都正確 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等問題數(shù)學(xué)歸納法可以證明與自然數(shù)有關(guān)的恒等式問題 證明此類問題的關(guān)鍵在于第二步 它有一個(gè)基本格式 我們不妨設(shè)命題為P n f n g n 其第二步相當(dāng)于做一道條件等式的證明題 已知 f k g k 求證 f k 1 g k 1 通?？刹捎玫母袷椒譃槿?1 找出f k 1 與f k 的遞推關(guān)系 2 把歸納假設(shè)f k g k 代入 3 作恒等變形化為g k 1 示意圖為 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一 探究二 探究三 探究四 點(diǎn)評用數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)代數(shù)恒等式 解題前先要分析清楚等式兩邊的構(gòu)成情況 解這類題的關(guān)鍵在第二步 將式子轉(zhuǎn)化為與歸納假設(shè)的等式結(jié)構(gòu)相同的形式 湊假設(shè) 然后應(yīng)用歸納假設(shè) 經(jīng)過恒等變形得到結(jié)論所需形式 湊結(jié)論 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一 探究二 探究三 探究四 探究二用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題利用數(shù)學(xué)歸納法證明整除性問題時(shí) 第二步一般先將n k 1代入原式 然后將原式作適當(dāng)?shù)暮愕茸冃?湊出歸納假設(shè) 這是證明的關(guān)鍵和難點(diǎn) 典型例題2求證 an 1 a 1 2n 1能被a2 a 1整除 n N 思路分析 對于多項(xiàng)式A B 如果A BC C也是多項(xiàng)式 那么A能被B整除 若A B都能被C整除 則A B A B也能被C整除 證明 1 當(dāng)n 1時(shí) a1 1 a 1 2 1 1 a2 a 1 命題顯然成立 探究一 探究二 探究三 探究四 2 假設(shè)n k k N 且k 1 時(shí) ak 1 a 1 2k 1能被a2 a 1整除 則當(dāng)n k 1時(shí) ak 2 a 1 2k 1 a ak 1 a 1 2 a 1 2k 1 a ak 1 a 1 2k 1 a 1 2 a 1 2k 1 a a 1 2k 1 a ak 1 a 1 2k 1 a2 a 1 a 1 2k 1 由歸納假設(shè) 得上式中的兩項(xiàng)均能被a2 a 1整除 故n k 1時(shí)命題成立 由 1 2 知 對n N 命題成立 點(diǎn)評證明整除性問題的關(guān)鍵是 湊項(xiàng) 而采用增項(xiàng) 減項(xiàng) 拆項(xiàng) 因式分解等手段 湊出n k時(shí)的情形 從而利用歸納假設(shè)使問題得證 探究一 探究二 探究三 探究四 變式訓(xùn)練2求證 對任意正整數(shù)n 34n 2 52n 1能被14整除 證明 1 當(dāng)n 1時(shí) 34n 2 52n 1 36 53 854 14 61 能被14整除 命題成立 2 假設(shè)當(dāng)n k時(shí)命題成立 即34k 2 52k 1能被14整除 那么當(dāng)n k 1時(shí) 34 k 1 2 52 k 1 1 34k 2 34 52k 1 52 34k 2 34 52k 1 34 52k 1 34 52k 1 52 34 34k 2 52k 1 52k 1 34 52 34 34k 2 52k 1 56 52k 1 因?yàn)?4k 2 52k 1能被14整除 56也能被14整除 所以34 k 1 2 52 k 1 1能被14整除 故命題成立 由 1 2 知 命題對任意正整數(shù)n都成立 探究一 探究二 探究三 探究四 探究三用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題對于幾何問題的證明 可以先從有限情形中歸納出一個(gè)變化的過程 或者說體會出是怎樣變化的 然后再去證明 也可以用 遞推 的方法來證明 證明的關(guān)鍵是尋找f k 1 與f k 之間的遞推關(guān)系 基本策略是 往后退 從f k 1 中將f k 分離出來 典型例題3平面內(nèi)有n個(gè)圓 任意兩個(gè)圓都相交于兩點(diǎn) 任意三個(gè)圓不相交于同一點(diǎn) 求證 這n個(gè)圓將平面分成f n n2 n 2個(gè)部分 n N 思路分析 因?yàn)閒 n 為n個(gè)圓把平面分割成的區(qū)域數(shù) 那么再有一個(gè)圓和這n個(gè)圓相交 就有2n個(gè)交點(diǎn) 這些交點(diǎn)將增加的這個(gè)圓分成2n段弧 且每一段弧又將原來的平面區(qū)域一分為二 因此 增加一個(gè)圓后 平面分成的區(qū)域數(shù)增加2n個(gè) 即f n 1 f n 2n 有了上述關(guān)系 數(shù)學(xué)歸納法的第二步證明可迎刃而解 探究一 探究二 探究三 探究四 證明 1 當(dāng)n 1時(shí) 一個(gè)圓將平面分成兩個(gè)部分 且f 1 1 1 2 2 所以n 1時(shí)命題成立 2 假設(shè)當(dāng)n k k N 且k 1 時(shí)命題成立 即k個(gè)圓把平面分成f k k2 k 2個(gè)部分 則當(dāng)n k 1時(shí) 在k 1個(gè)圓中任取一個(gè)圓O 剩下的k個(gè)圓將平面分成f k 個(gè)部分 而圓O與k個(gè)圓有2k個(gè)交點(diǎn) 這2k個(gè)點(diǎn)將圓O分成2k段弧 每段弧將原平面一分為二 故得f k 1 f k 2k k2 k 2 2k k 1 2 k 1 2 所以當(dāng)n k 1時(shí) 命題成立 綜合 1 2 可知 對一切n N 命題成立 點(diǎn)評證明幾何問題的難點(diǎn)是找出由f k 到f k 1 增加了幾個(gè)量 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一 探究二 探究三 探究四 1234 1 下列代數(shù)式中 n N 則可能被13整除的是 A n3 5nB 34n 1 52n 1C 62n 1 1D 42n 1 3n 2解析 當(dāng)n 1時(shí) 只有D項(xiàng)能被13整除 答案 D 1234 2 凸n邊形有f n 條對角線 則凸 n 1 邊形的對角線的條數(shù)f n 1 為 A f n n 1B f n nC f n n 1D f n n 2解析 從凸n邊形到凸 n 1 邊形 對角線增加了 n 1 條 答案 C 1234 1234 1234