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2019-2020年三年級(jí)數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 重疊問(wèn)題 專題簡(jiǎn)析： 三（1）班準(zhǔn)備給參加班級(jí)繪畫比賽的16位同學(xué)和參加朗讀比賽的12位同學(xué)每人發(fā)一份紀(jì)念品，當(dāng)中隊(duì)長(zhǎng)玲玲將28份紀(jì)念品發(fā)下去時(shí)，卻多出5份，這是怎么回事？對(duì)了，因?yàn)橛?位同學(xué)既參加了繪畫比賽，又參加了朗讀比賽，所以獎(jiǎng)品就多出了5份。數(shù)學(xué)中，我們將這樣的問(wèn)題稱為重疊問(wèn)題。 解答重疊問(wèn)題要用到數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要原理——包含與排除原理，即當(dāng)兩個(gè)計(jì)數(shù)部分有重復(fù)包含時(shí)，為了不重復(fù)計(jì)數(shù)，應(yīng)從它們的和中排除重復(fù)部分。 解答重疊問(wèn)題的應(yīng)用題，必須從條件入手進(jìn)行認(rèn)真的分析，有時(shí)還要畫出圖示，借助圖形進(jìn)行思考，找出哪些是重復(fù)的，重復(fù)了幾次？明確求的是哪一部分，從而找出解答方法。 例題1 六一兒童節(jié)，學(xué)校門口掛了一行彩旗。小張從前數(shù)起，紅旗是第8面；從后數(shù)起，紅旗是第10面。這行彩旗共多少面？ 思路導(dǎo)航：根據(jù)題意，畫出下圖： 從圖上可以看出，從前數(shù)起紅旗是第8面，從后數(shù)起是第10面，這樣紅旗就數(shù)了兩次，重復(fù)了一次，所以這行彩旗共有8＋10－1=17面。 練 習(xí) 一 1．小朋友排隊(duì)做操，小明從前數(shù)起排在第4個(gè)，從后數(shù)起排在第7個(gè)。這隊(duì)小朋友共有多少人？ 2．學(xué)校組織看文藝演出，冬冬的座位從左數(shù)起是第12個(gè)，從右數(shù)起是第21個(gè)。這一行座位有多少個(gè)？ 3．同學(xué)們排隊(duì)去參觀展覽，無(wú)論從前數(shù)還是從后起，李華都排在第8個(gè)。這一排共有多少個(gè)同學(xué)？ 例題2 同學(xué)們排隊(duì)做操，每行人數(shù)同樣多。小明的位置從左數(shù)起是第4個(gè)，從右數(shù)起是第3個(gè)，從前數(shù)起是第5個(gè)，從后數(shù)起是第6個(gè)。做操的同學(xué)共有多少個(gè)？ 思路導(dǎo)航：根據(jù)題意，畫出下圖： 由圖可看出：小明的位置從左數(shù)第4個(gè)，右數(shù)第3個(gè)，說(shuō)明橫行有4＋3－1=6個(gè)人；從前數(shù)第5個(gè)，從后數(shù)第6個(gè)，說(shuō)明豎行有5＋6－1=10人，所以做操的同學(xué)共有：610=60人。 練 習(xí) 二 1．同學(xué)們排隊(duì)跳舞，每行、每列人數(shù)同樣多。小紅的位置無(wú)論從前數(shù)從后數(shù)，從左數(shù)還是從右數(shù)起都是第4個(gè)。跳舞的共有多少人？ 2．為慶祝“六一”，同學(xué)們排成每行人數(shù)相同的鮮花隊(duì)，小華的位置從左數(shù)第2個(gè)，從右數(shù)第4個(gè)；從前數(shù)第3個(gè)，從后數(shù)第5個(gè)。鮮花隊(duì)共多少人？ 3．三（4）班排成每行人數(shù)相同的隊(duì)伍入場(chǎng)參加校運(yùn)動(dòng)會(huì)，梅梅的位置從前數(shù)是第6個(gè)，從后數(shù)是第5個(gè)；從左數(shù)、從右數(shù)都是第3個(gè)。三（4）班共有學(xué)生多少人？ 例題3 把兩塊一樣長(zhǎng)的木板像下圖這樣釘在一起成了一塊木板。如果這塊釘在一起的木板長(zhǎng)120厘米，中間重疊部分是16厘米，這兩塊木板各長(zhǎng)多少厘米？ 思路導(dǎo)航：把等長(zhǎng)的兩塊木板的一端釘起來(lái)，釘在一起的長(zhǎng)度就是重疊部分，重疊的部分是16厘米，所以這兩塊木板的總長(zhǎng)度是120＋16=136厘米，每塊木板的長(zhǎng)度是1362=68厘米。 練 習(xí) 三 1．把兩段一樣長(zhǎng)的紙條粘合在一起，形成一段更長(zhǎng)的紙條。這段更長(zhǎng)的紙條長(zhǎng)30厘米，中間重疊部分是6厘米，原來(lái)兩段紙條各長(zhǎng)多少厘米？ 2．把兩塊一樣長(zhǎng)的木板釘在一起，釘成一塊長(zhǎng)35厘米的木板。中間重合部分長(zhǎng)11厘米，這兩塊木板各長(zhǎng)多少厘米？ 3．兩根木棍放在一起（如圖），從頭到尾共長(zhǎng)66厘米，其中一根木棍長(zhǎng)48厘米，中間重疊部分長(zhǎng)12厘米。另一根木棍長(zhǎng)多少厘米？ 例題4 一次數(shù)學(xué)測(cè)試，全班36人中，做對(duì)第一道聰明題的有21人，做對(duì)第二道聰明題的有18人，每人至少做對(duì)一道。問(wèn)兩道聰明題都做對(duì)的有幾人？ 思路導(dǎo)航：根據(jù)題意，畫出下圖： 圖中間重疊部分表示兩道題都作對(duì)的人數(shù)，把做第一道題和作對(duì)第二道題的人數(shù)加起來(lái)得21＋18=39人，這39人比全班總?cè)藬?shù)36多出了39－36=3人，這多出的3人既在作對(duì)第一題的人數(shù)中算過(guò)，也在作對(duì)第二道題的人數(shù)中算過(guò)，即表示兩道題都作對(duì)的人數(shù)。 練 習(xí) 四 1．三（1）班有學(xué)生55人，每人至少參加賽跑和跳繩比賽中的一種。已知參加賽跑的有36人，參加跳繩的有38人。兩項(xiàng)比賽都參加的有幾人？ 2．兩塊木板各長(zhǎng)75厘米，像下圖這樣釘成一塊長(zhǎng)130厘米的木板，中間重合部分是多少厘米？ 3．三（5）班有42名同學(xué)，會(huì)下象棋的有21名同學(xué)，會(huì)下圍棋的有17名，兩種棋都不會(huì)的有10名。兩種棋都會(huì)下的有多少名？ 例題5 三（1）班訂《數(shù)學(xué)報(bào)》的有32人，訂《閱讀報(bào)》的有30人，兩份報(bào)紙都訂的有10人，全班每人至少訂一種報(bào)紙。三（1）班有學(xué)生多少人？ 思路導(dǎo)航：根據(jù)題意，畫出下圖： 從上圖可以看出，中間重疊部分表示兩份報(bào)紙都訂的10人，這10人既被包括在訂《數(shù)學(xué)報(bào)》的32人內(nèi)，又被包括在訂《閱讀報(bào)》的30人內(nèi)，重復(fù)算了一次，所以要算出全班人數(shù)，必須從32＋30=62人中去掉被重復(fù)算過(guò)的10人。所以全班人數(shù)應(yīng)是62－10=52人。 練 習(xí) 五 1．三（4）班做完語(yǔ)文作業(yè)的有37人，做完數(shù)學(xué)作業(yè)的有42人，兩種作業(yè)都完成的有31人，每人至少完成一種作業(yè)。三（4）班共有學(xué)生多少人？ 2．兩塊木板各長(zhǎng)90厘米，像下圖這樣釘成一塊木板，中間重合部分是15厘米，這塊釘在一起的木板總長(zhǎng)多少厘米？ 3．三年級(jí)有107個(gè)小朋友去春游，帶礦泉水的有78人，帶水果的有77人，每人至少帶一種。三年級(jí)既帶礦泉水又帶水果的小朋友有多少人？ 附送： 2019-2020年三年級(jí)數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 錯(cuò)中求解 專題簡(jiǎn)析： 在進(jìn)行加、減、乘、除運(yùn)算時(shí)，要認(rèn)真審題，不能抄錯(cuò)題目，不能漏掉數(shù)字。計(jì)算時(shí)要仔細(xì)小心，不能絲毫馬虎，否則就會(huì)造成錯(cuò)誤。 解答這類題，往往要采用倒推的方法，從錯(cuò)誤的結(jié)果入手分析錯(cuò)誤的原因，最后利用和差的變化求出加數(shù)或被減數(shù)、減數(shù)，利用積、商的變化求出因數(shù)或被除數(shù)、除數(shù)。 例題1 小馬虎在做一道加法題時(shí)，把一個(gè)加數(shù)十位的5錯(cuò)看成2，另一個(gè)加數(shù)個(gè)位上的4錯(cuò)看成1，結(jié)果計(jì)算的和為241。正確的和是多少？ 思路導(dǎo)航：把一個(gè)加數(shù)十位上的5看成2，少了3個(gè)10，這樣和就減少了30；把另一個(gè)加數(shù)個(gè)位上的4看作1，少了3個(gè)1，這樣和就少了3。小馬虎算出的和比原來(lái)的和少了30＋3=33，所以正確的和是241＋33=274。 練 習(xí) 一 1．小明在做一道加法時(shí)，把一個(gè)加數(shù)個(gè)位上的2看作了4，另一個(gè)加數(shù)個(gè)位上的7看作9，結(jié)果計(jì)算的和為215。正確的和為多少？ 2．小馬虎在做一道加法題時(shí)，把一個(gè)加數(shù)個(gè)位上的3看作了5，十位上的4看作7，得到結(jié)果為376。正確的和是多少？ 3．小粗心在計(jì)算一道加法題時(shí)，把一個(gè)加數(shù)個(gè)位上的7看作1，十位上的3看作8，結(jié)果為342。正確的和是多少？ 例題2 小馬虎在做一道減法時(shí)，把減數(shù)十位上的2看作了5，結(jié)果得到的差是342，正確的差是多少？ 思路導(dǎo)航：十位上的2表示2個(gè)十，十位上的5表示5個(gè)十，把十位上的2看作5，就是把20看作50，減數(shù)從20變?yōu)?0，增加了30，所得的差減少了30，應(yīng)在342中增加30，才是正確的差。 340＋30=372 練 習(xí) 二 1．小馬虎在做減法題時(shí)，把被減數(shù)十位上的3錯(cuò)寫成8，結(jié)果得到的差是284。正確的差是多少？ 2．在減法算式中，錯(cuò)把減數(shù)個(gè)位上的3寫成了5，結(jié)果得到的差是254。正確的差是多少？ 3．小麗在做一道減法時(shí)，錯(cuò)把被減數(shù)十位上的2看作7，減數(shù)個(gè)位上的5看作8，結(jié)果得到的差是592。正確的差是多少？ 例題3 小馬虎在計(jì)算一道題目時(shí)，把某數(shù)乘3加20，誤看成某數(shù)除以3減20，得數(shù)是72。某數(shù)是多少？正確的得數(shù)是多少？ 思路導(dǎo)航：小馬虎計(jì)算得到72，是先除再減得到的，我們可以根據(jù)逆運(yùn)算的順序把72先加后乘，求出某數(shù)為（72＋20）3=276，然后再按題目要求，按運(yùn)算順序求出正確的數(shù)2763＋20=848。 練 習(xí) 三 1．小麗在計(jì)算一道題時(shí)，把某數(shù)乘4加20，誤看成除以4減20，得數(shù)為35。某數(shù)是多少？正確的結(jié)果是多少？ 2．小粗心在計(jì)算時(shí)，把一個(gè)數(shù)除以2減4，誤看成乘2加上4，得數(shù)是36。正確結(jié)果是多少？ 3．小華在計(jì)算一道題時(shí)，把一個(gè)數(shù)加上4乘2看作了乘2加上4，得數(shù)為40。正確的得數(shù)是多少？ 例題4 小馬虎在做兩位數(shù)乘兩位數(shù)的題時(shí)，把乘數(shù)的個(gè)位上的5看作2，乘得的結(jié)果是550，實(shí)際應(yīng)為625。這兩個(gè)兩位數(shù)各是多少？ 思路導(dǎo)航：我們可以用豎式來(lái)幫助分析： 乘數(shù)個(gè)位上的5看作2，結(jié)果比原來(lái)少了5－2=3個(gè)被乘數(shù)，實(shí)際的結(jié)果與錯(cuò)誤的結(jié)果相差625－550=75；75正好是被乘數(shù)的3倍，被乘數(shù)是753=25，乘數(shù)是62525=25。 練 習(xí) 四 1．一位學(xué)生在做兩位數(shù)乘法時(shí)，把乘數(shù)個(gè)位上的8錯(cuò)寫成4，乘得的結(jié)果是1080，實(shí)際應(yīng)為1260。這兩個(gè)兩位數(shù)分別為多少？ 2．小華在做一道兩位數(shù)乘法時(shí)，把乘數(shù)個(gè)位上的3錯(cuò)寫成5，乘得的結(jié)果是875，正確的結(jié)果是805。這兩個(gè)兩位數(shù)分別是多少？ 3．小芳在計(jì)算一道題時(shí)，把5（△＋7）錯(cuò)寫成5△＋7，她得到的結(jié)果與正確答案相差多少？ 例題5 小林在計(jì)算有余數(shù)除法時(shí)，把被除數(shù)137當(dāng)作173，結(jié)果商比正確結(jié)果大了4，但余數(shù)恰好相同。正確的除法算式應(yīng)是什么？ 思路導(dǎo)航：把被除數(shù)137當(dāng)作173，被除數(shù)就多了173－137=36，因此商比正確結(jié)果大4，但余數(shù)相同，說(shuō)明除數(shù)的4倍就是36。所以除數(shù)為364=9，正確的除法算式為1379=15……2。 練 習(xí) 五 1．小紅在計(jì)算有余數(shù)除法時(shí)，把被除數(shù)113錯(cuò)寫成131，這樣商比原來(lái)多2，但余數(shù)恰好相同。正確的除數(shù)和余數(shù)是多少？ 2．王剛在計(jì)算有余數(shù)除法時(shí)，把被除數(shù)171錯(cuò)寫成117，結(jié)果商比原來(lái)少9，但余數(shù)恰好相同。正確的除法算式是怎樣的？ 3．小明在計(jì)算除法時(shí)，把被除數(shù)末尾的0漏寫而成18，結(jié)果得到的商比正確的商少54。正確的除法算式是什么？