2019-2020年三年級數學 奧數講座 應用同余問題.doc
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2019-2020年三年級數學 奧數講座 應用同余問題專題簡析:同余這個概念最初是由偉大的德國數學家高斯發(fā)現的。同余的定義是這樣的:兩個整數a,b,如果它們除以同一自然數m所得的余數相同,則稱a,b對于模m同余。記作:ab(mod )。讀做:同余于模。比如,12除以5,47除以5,它們有相同的余數2,這時我們就說,對于除數5,12和47同余,記做1247(mod5)。同余的性質比較多,主要有以下一些:性質(1):對于同一個除數,兩個數之和(或差)與它們的余數之和(或差)同余。比如:32除以5余數是2,19除以5余數是4,兩個余數的和是2+4=6?!?2+19”除以5的余數就恰好等于它們的余數和6除以5的余數。也就是說,對于除數5,“32+19”與它們的余數和“2+4”同余,用符號表示就是:322(mod5),194(mod5),32+192+41(mod5)性質(2):對于同一個除數,兩個數的乘積與它們余數的乘積同余。性質(3):對于同一個除數,如果有兩個整數同余,那么它們的差就一定能被這個除數整除。性質(4):對于同一個除數,如果兩個整數同余,那么它們的乘方仍然同余。應用同余性質解題的關鍵是要在正確理解的基礎上靈活運用同余性質。把求一個較大的數除以某數的余數問題轉化為求一個較小的數除以這個數的余數,使復雜的題變簡單,使困難的題變容易。例題1:求199259除以7的余數。應用同余性質(2)可將199259轉化為求1992除以7和59除以7的余數的乘積,使計算簡化。1992除以7余4,59除以7余3。根據同余性質,“43”除以7的余數與“199259”除以7的余數應該是相同的,通過求“43”除以7的余數就可知道199259除以7的余數了。因為199259435(mod 7)所以199259除以7的余數是5。練習1:1求4217364除以6的余數。2求133965512除以13的余數。3求87943765283除以11的余數。例題2:已知xx年的國慶節(jié)是星期一,求xx年的國慶節(jié)是星期幾?一星期有7天,要求xx年的國慶節(jié)是星期幾,就要求從xx年到xx年的國慶節(jié)的總天數被7除的余數就行了。但在計算中,如果我們能充分利用同余性質,就可以不必算出這個總天數。xx年國慶節(jié)到xx年國慶節(jié)之間共有2個閏年7個平年,即有“3662+3657”天。因為3662224(mod 7),3657170(mod 7),3662+365722+174+04(mod 7)答:xx年的國慶節(jié)是星期五。練習2:1已知xx年元旦是星期二。求xx年元旦是星期幾?2已知xx年的“七月一日”是星期一。求xx年的“十月一日”是星期幾?3今天是星期四,再過365的15次方是星期幾?例題3:求xx的xx次方除以13的余數。xx除以13余12,即xx12(mod 13)。根據同余性質(4),可知xx的xx次方12的xx次方(mod 13),但12的xx次方仍然是一個很大的值,要求它的余數比較困難。這時的關鍵就是要找出12的幾次方對模13與1是同余的。經試驗可知12的平方1(mod 13),而xx21001+1。所以(12的平方)的1001次方1的1001(mod 13),即12的xx次方1(mod 13),而12的xx次方12的xx次方12。根據同余性質(2)可知12的xx次方1211212(mod 13)因為:xx的xx次方12的xx次方(mod 13)12的平方1(mod 13),而xx21001+112的xx次方12的xx次方1211212(mod 13)所以xx的xx次方除以13的余數是12。練習3:1求12的200次方除以13的余數。2求3的92次方除以21余幾。39個小朋友坐成一圈,要把35的7次方粒瓜子平均分給他們,最后剩下幾粒?例題4:自然數16520,14903,14177除以m的余數相同,m最大是多少?自然數16520,14903,14177除以m的余數相同,換句話說就是165201490314177(mod m)。根據同余性質(3),這三個數同余,那么它們的差就能被m整除。要求m最大是多少,就是求它們差的最大公約數是多少?因為1652014903=1617=37的平方111652014177=2343=31171 1490314177=726=2311的平方M是這些差的公約數,m最大是311=33。練習4:1若2836、4582、5164、6522四個整數都被同一個兩位數相除,所得的余數相同。除數是多少?2一個整數除226、192、141都得到相同的余數,且余數不為0,這個整數是幾?3當1991和1769除以某一個自然數m時,余數分別為2和1,那么m最小是多少?例題5:某數用6除余3,用7除余5,用8除余1,這個數最小是幾?我們可從較大的除數開始嘗試。首先考慮與1模8同余的數,91(mod 8),但9輸以7余數不是5,所以某數不是9。171(mod 8),17除以7的余數也不是5。251(mod 8),25除以7的余數也不是5。331(mod 8),33除以7的余數正好是5,而且33除以6余數正好是3,所以這個數最小是33。上面的方法實際是一種列舉法,也可以簡化為下面的格式:被8除余1的數有:9,17,25,33,41,49,57,65,73,81,89,其中被7除余5的數有:33,89,這些數中被6除余3的數最小是33。練習5:1某數除以7余1,除以5余1,除以12余9。這個數最小是幾?2某數除以7余6,除以5余1,除以11余3,求此數最小值。附送:2019-2020年三年級數學 奧數講座 應用題(一)專題簡析:應用題是小學數學中非常重要的一部分內容,它需要我們小朋友用學到的數學知識來解決生產、生活中的一些實際問題。學好應用題的關鍵在于認真分析題意,掌握數量關系,找到問題的突破口。在分析應用題的數量關系時,我們可以從條件出發(fā),逐步推出所求的問題;也可以從問題出發(fā),找到必須的兩個條件。在實際解答時,我們可以根據題目中的數量關系,靈活運用這兩種方法。有時,借助線段圖來分析應用題的數量關系,解答就更容易了。例題1 學校里有排球24只,足球的只數比排球的2倍少5只,學校有排球、足球共多少只?思路導航:根據題意畫出線段圖 從上圖可以看出,把24只排球看作1倍數,足球的只數比這樣的2倍還少5只,用2425=43(只)可以求出足球的只數,再用4324=67只可以求出兩種球的總只數。練 習 一1小紅每分鐘跳繩25下,小軍每分鐘跳的下數比小紅的3倍少16下,小軍每分鐘比小紅多跳幾下?2王奶奶家養(yǎng)雞12只,養(yǎng)鵝的只數比雞的只數的4倍還多7只。王奶奶家共養(yǎng)雞、鵝多少只?3少先隊員種柳樹30棵,種的楊樹的棵數比柳樹棵數的3倍多14棵。少先隊員種的楊樹、柳樹共多少棵?例題2 人民廣場花圃中有180盆郁金香,比月季花盆數的3倍少15盆。月季花有多少盆?思路導航:從上圖可以看出,把月季花的盆數看作1倍數,郁金香的盆數是這樣的3倍少15盆。如果郁金香再增加15盆,就正好是月季花盆數的3倍。因此用(18015)3=65(盆)就可求出月季花的盆數。練 習 二1小明的父親每月工資1000元,比小明母親每月工資的2倍少200元。小明母親每月工資多少元?2飼養(yǎng)場養(yǎng)母鴨400只,比公鴨只數的7倍還多36只。飼養(yǎng)場養(yǎng)公鴨多少只?3水果店賣出9筐水果,平均每筐重45千克。賣出水果的千克數比剩下的3倍還多27千克,還剩多少千克水果?例題3 小林家養(yǎng)了一些雞,黃雞比黑雞多13只,白雞比黃雞多12只,白雞的只數正好是黑雞的2倍。白雞、黃雞、黑雞各多少只?思路導航:根據“黃雞比黑雞多13只,白雞比黃雞多12只”,從線段圖上我們可以看出白雞比黑雞多1312=25只,這相當于黑雞的21=1倍,這樣也就求出黑雞的只數為251=25只,黃雞的只數是2513=38只,白雞的只數是252=50只。練習三1商店里有紅、白、藍三種圍巾,其中紅圍巾比白圍巾多12條,藍圍巾比紅圍巾多20條,藍圍巾的條數正好是白圍巾的5倍。紅圍巾、白圍巾、藍圍巾各多少條?2有甲、乙、丙三筐蘋果,甲筐比乙筐多12只蘋果,丙筐比甲筐多15只蘋果,丙筐蘋果個數是乙筐的4倍。甲、乙、丙筐各有多少只蘋果?3男女學生參加小組交流會,如果少去1名女生,男女生人數相等;如果少去一名男生,女生人數是男生的2倍。參加交流會的男女生各多少人?例題4 用一批紙裝訂同樣大小的練習本,如果每本16頁,可裝訂400本。如果每本20頁,可以少裝訂多少本?思路導航:根據“如果每本16頁,可裝訂400本”,可得這批紙的總頁數16400=6400頁;再用總頁數640020=320本求出如果每本20頁可裝訂的本數,400320=80本則表示少裝訂的本數。練 習 四1水果市場要將一些水果裝箱,如果每箱10千克,可裝30箱。如果每箱15千克,可少裝多少箱?2服裝廠有一些布料加工窗簾,如果把窗簾做成3米長,可做140幅。如果每幅窗簾做成2米長,則可多做多少幅?3同一批紙裝訂同樣大小的練習本,如果每本16頁,可裝訂400本。如果每本多裝訂9頁,則少裝訂多少本?例題5 李師傅原計劃6小時加工零件480個,實際2小時加工192個。照這樣的效率,可以提前幾小時完成?思路導航:根據“實際2小時加工192個”,可以求出李師傅的實際工作效率為1922=96(個/小時),再用要加工的零件總數除以實際工作效率,即48096=5小時,求出實際完成的時間。65=1小時,則表示提前完成的時間。練 習 五1王奶奶計劃10小時做紙盒400個,實際3小時已加工150個。照這樣的效率,可以提前幾小時完成?2暑假中,小寧30天共要寫大字600個,實際12天已寫大字360個。照這樣的速度,小寧可以提前幾天寫完同樣多的字?3自行車制造廠四月份(30天)共生產自行車3600輛,五月份改進技術后9天已生產自行車1350輛。照這樣的效率,可以提前幾天完成四月份的任務?- 配套講稿:
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