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圓的相關(guān)證明與計(jì)算 類型一 平行線模型 ★1. 如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AC是直徑，BC＝BA，在 ∠ACB 的內(nèi)部作∠ACF＝30，且 CF＝CA，過點(diǎn) F 作 FH⊥AC 于點(diǎn) H，連接 BF. ︵ (1)若CF交⊙O于點(diǎn)G，⊙O的半徑是 4，求AG的長(zhǎng)； (2)請(qǐng)判斷直線BF與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由． 第 1 題圖 解：(1)如解圖，連接OG， ∵∠ACF＝30，∴∠AOG＝2∠ACF＝60， ∵⊙O的半徑是4，∴l(xiāng)︵＝nπr＝60π4＝4π； AG 180 180 3 (2)直線BF與⊙O相切，理由如下： 如解圖，連接 OB，∵AC 是⊙O 的直徑，∴∠ABC＝90， ∵BC＝BA，OC＝OA，∴BO＝12AC，BO⊥AC， ∴∠BOC＝90， ∵FH⊥AC，∴∠FHC＝∠BOC＝90，∴BO∥FH， ∵在 Rt△FHC中，∠ACF＝30，∴FH＝12CF， ∵BO＝12AC，CF＝CA，∴BO＝FH， ∵BO∥FH，∴四邊形 BOHF 是平行四邊形．∵∠FHC＝90，∴平行四邊形 BOHF 是矩形，∴∠FBO＝90，∴OB⊥BF， ∵OB 是⊙O 的半徑，∴直線 BF 與⊙O 相切． ★2.在等腰△ABC中，AC＝BC，以BC為直徑的⊙O分別與AB、AC 相交于點(diǎn) D、E，過點(diǎn) D 作 DF⊥AC，垂足為點(diǎn) F. (1)求證：DF是⊙O的切線； (2)分別延長(zhǎng)CB、FD，相交于點(diǎn)G，∠A＝60，⊙O的半徑 為 6，求陰影部分的面積． 第 2 題圖 （1）證明：如解圖，連接OD，∴OD＝OB， ∴∠ODB＝∠OBD， 第 2 題解圖 ∵AC＝BC，∴∠A＝∠OBD， ∴∠ODB＝∠A，∴AC∥OD， ∵DF⊥AC，∴DF⊥OD， ∵OD 為⊙O 的半徑，∴DF 是⊙O 的切線； (2)解：∵∠A＝60，AC＝BC，OB＝OD， ∴∠C＝∠DOB＝60， 由(1)知∠ODG＝90，∴∠G＝30， ∵OD＝6，∴DG＝ OD ＝63＝6 3， tan30 1 60π62 ∴S 陰影＝S△ODG－S 扇形DOB＝ 66 3－ ＝18 3－6π. 360 2 類型二 弦切角模型 ★1.如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，D在AB的 延長(zhǎng)線上，且∠BCD＝∠A. (1)求證：CD是⊙O的切線； (2)若⊙O的半徑為 3，CD＝4，求BD的長(zhǎng)． 第 1 題圖 (1)證明：如解圖，連接OC， ∵AB 是⊙O 的直徑，∴∠ACB＝90， ∴∠ACO＋∠OCB＝90， ∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA， ∵∠OAC＝∠BCD，∴∠OCA＝∠BCD， ∴∠BCD＋∠BCO＝90，∴OC⊥CD， ∵CO 是⊙O 的半徑，∴CD 是⊙O 的切線； (2)解：∵在Rt△OCD中，OC＝3，CD＝4，∠OCD＝90，由勾股定理得 OD＝OC2＋CD2＝5， ∴BD＝OD－OB＝5－3＝2. 第 1 題解圖 ★2.如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O與BC 交于點(diǎn) D，過點(diǎn) D 作⊙O 的切線交 AC 于點(diǎn) E. (1)求證：∠ABD＝∠ADE； (2)若⊙O的半徑為256，AD＝203，求CE的長(zhǎng)． 第 2 題圖 (1)證明：如解圖，連接OD. ∵DE 為⊙O 的切線，∴OD⊥DE， ∴∠ADO＋∠ADE＝90. ∵AB 為⊙O 的直徑，∴∠ADB＝90， ∴∠ADO＋∠ODB＝90.∴∠ADE＝∠ODB， ∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠ABD ＝∠ADE; 第 2 題解圖 (2)解：∵AB＝AC＝2256＝253，∠ADB＝∠ADC＝90， ∴∠ABC＝∠C，BD＝CD. ∵O 為 AB 的中點(diǎn)，∴OD 為△ABC 的中位線，∴OD∥AC， ∵OD⊥DE，∴AC⊥DE， 在 Rt△ACD中， CD＝AC2－AD2＝（253）2－（203）2＝5， ∵∠C＝∠C，∠DEC＝∠ADC＝90，∴△DEC∽△ADC， CE DC CE 5 ∴DC＝AC，即5＝25，∴CE＝3. 類型三 雙切線模型 ★1.如圖，AB是⊙O的直徑，PA是⊙O的切線，點(diǎn)C在⊙O 上，CB∥PO. (1)判斷PC與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由； (2)若AB＝6，CB＝4，求PC的長(zhǎng)． 解：(1)PC與⊙O相切． 理由如下：如解圖，連接 OC， 第 1 題解圖 ∵CB∥PO，∴∠POA＝∠B，∠POC＝∠OCB，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠B，∴∠POA＝∠POC，又∵OA＝OC，OP＝OP，∴△APO≌△CPO，∴∠OAP＝∠OCP， ∵PA 是⊙O 的切線，∴∠OAP＝90，∴∠OCP＝90 ∴PC 是⊙O 的切線； (2)如解圖，連接AC，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90， 由(1)知∠PCO＝90，∠B＝∠OCB＝∠POC， ∴△ACB∽△PCO，∴OCBC＝ACPC， 又∵在 Rt△ABC中，AC＝AB2－CB2＝62－42＝25，∴PC＝OCAC＝325＝35. BC 4 2 ★2. 如圖，PB為⊙O的切線，B為切點(diǎn)，過B作OP的垂線BA，垂足為 C，交⊙O 于點(diǎn) A，連接 PA，AO，并延長(zhǎng) AO 交⊙O 于點(diǎn) E，與 PB 的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) D. (1)求證：PA是⊙O的切線； (2)若 cos∠CAO＝45，且OC＝6，求PB的長(zhǎng)． 第 2 題圖 (1)證明：如解圖，連接OB， ∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA， ∵OP⊥AB，∴AC＝BC，∴OP 是 AB 的垂直平分線， ∴PA＝PB，∴∠PAB＝∠PBA，∴∠PAO＝∠PBO. ∵PB 為⊙O 的切線，∴∠OBP＝90，∴∠PAO＝90，∵OA 為⊙O 的半徑，∴PA 是⊙O 的切線； (2)解：∵cos∠CAO＝45， ∴設(shè) AC＝4k，AO＝5k，由勾股定理可知 OC＝3k， ∴sin∠CAO＝35，tan∠COA＝43， ∴COOA＝35，即OA6＝35，解得 OA＝10， ∵tan∠POA＝tan∠COA＝AOAP＝43， ∴AP10＝43，解得 AP＝403， ∵PA＝PB，∴PB＝PA＝403. ★3.如圖，PA、PB是⊙O的切線，A、B為切點(diǎn)，連接AO并延長(zhǎng)，交 PB 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) C，連接 PO，交⊙O 于點(diǎn) D. (1)求證：PO平分∠APC； (2)連接DB，若∠C＝30，求證：DB∥AC. 第 3 題圖 證明：(1)如解圖，連接OB， ∵PA、PB 是⊙O 的切線，∴OA⊥AP，OB⊥BP.又∵OA＝OB，∴PO 平分∠APC； 第 3 題解圖 (2)∵OA⊥AP，OB⊥BP， ∴∠CAP＝∠OBP＝90， ∵∠C＝30，∴∠APC＝90－∠C＝60， ∵PO 平分∠APC，∴∠OPC＝12∠APC＝1260＝30， ∴∠POB＝90－∠OPC＝60， 又∵OD＝OB， ∴△ODB 是等邊三角形，∴∠OBD＝60， ∴∠DBP＝∠OBP－∠OBD＝30， ∴∠DBP＝∠C，∴DB∥AC. 類型四 其他模型 ★1.如圖，以AB為直徑的⊙O經(jīng)過點(diǎn)P，C是⊙O上一點(diǎn)，連接 PC 交 AB 于點(diǎn) E，且∠ACP＝60，PA＝PD. (1)試判斷DP與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由； 若點(diǎn) C 是︵的中點(diǎn)，AB＝ ，求 CE CP 的值． (2) AB 4 第 1 題圖 解：(1)PD與⊙O相切．證明如下： 如解圖，連接 OP，∵∠ACP＝60，∴∠AOP＝120， ∵OA＝OP，∴∠OAP＝∠OPA＝30， ∵PA＝PD，∴∠PAO＝∠D＝30， ∵∠POD＝∠OAP＋∠OPA＝60， ∴在△POD 中， ∠OPD ＝180－∠D －∠DOP ＝180－30－60＝90，即 DP⊥OP， ∵OP 是⊙O 的半徑，∴DP 是⊙O 的切線； 第 1 題解圖 (2)如解圖，連接BC，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90， 又 C 為︵的中點(diǎn)， CAB＝ ABC＝ APC＝ ， ∵ AB ∴∠ ∠ ∠ 45 ∵AB＝4，∴AC＝ABsin45＝22，∵∠ACP＝∠ACP，∠CAB＝∠APC， ∴△CAE∽△CPA，∴CACP＝CACE， ∴CECP＝CA2＝(22)2＝8. ★2.如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是⊙O上一點(diǎn)，AD和過 點(diǎn) C 的切線互相垂直，垂足為 D，直線 DC 與 AB 的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn) P，弦 CE 平分∠ACB，交直徑 AB 于點(diǎn) F，連接 BE. (1)求證：AC平分∠DAB； (2)探究線段PC，PF之間的大小關(guān)系，并加以證明； (3)若 tan∠PCB＝34，BE＝52，求PF的長(zhǎng)． 第 2 題圖 (1)證明：如解圖，連接 OC,∵OA=OC，∴∠OAC＝∠OCA， ∵PC 是⊙O 的切線，∴AD⊥CD，∴∠OCP＝∠D＝90， ∴OC∥AD,∴∠CAD＝∠OCA=∠OAC， 即 AC 平分∠DAB； （2）解：PC=PF，證明如下： ∵AB 是⊙O 的直徑，∴∠ACB=90， ∴∠PCB+∠ACD=90， 又∵∠CAD+∠ACD=90，∴∠CAB＝∠CAD=∠PCB, 第 2 題解圖 ∵∠ACE＝∠BCE,∠PFC＝∠CAB+∠ACE， ∠PCF＝∠PCB+∠BCE, ∴∠PFC＝∠PCF,∴PC＝PF； （3）解：如解圖，連接AE， ∵∠ACE＝∠BCE,∴ AE=BE,∴AE=BE,∴AB 是⊙的直徑，∴∠AEB=90，∴AB= 2 BE=10,∴OB=OC=5,∵∠PCB=∠PAC，∠P=∠P， ∴△PCB∽△PAC，∴PCPB=BCCA， ∵tan∠PCB=tan∠CAB=34， 設(shè) PB=3x，則 PC=4x，在Rt△POC 中， （3x+5）2=（4x）2+52，解得x1=0（舍去），x2= 307，∴PF=PC=1207. ★3.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90，以BC為直徑的⊙O 交 AB 于點(diǎn) D，E 是 AC 的中點(diǎn)，OE 交 CD 于點(diǎn) F. (1)若 BCD＝36，BC＝10，求 的長(zhǎng)； ∠ BD (2)判斷直線DE與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由； (3)求證：2CE2＝ABEF. 第 3 題圖 (1)解：如解圖，連接OD，∵∠BCD＝36， ∴∠BOD＝2∠BCD＝236＝72， ∵BC 是⊙O 的直徑，BC＝10，∴OB＝5， ∴l(xiāng) ︵＝72π5＝2π； BD 180 第 3 題解圖 (2)解：DE是⊙O的切線；理由如下： ∵BC 是⊙O 的直徑，∴∠ADC＝180－∠BDC＝90， 又∵點(diǎn) E 是線段 AC 的中點(diǎn)，∴DE＝12AC＝EC， OD＝OC 在△DOE 與△COE 中，OE＝OE ，∴△DOE≌△COE(SSS)．DE＝CE ∵∠ACB＝90，∴∠ODE＝∠OCE＝90， ∵OD 是⊙O 的半徑，∴DE 是⊙O 的切線； (3)證明：由(2)知，△DOE≌△COE， ∴OE 是線段 CD 的垂直平分線，DE＝CE， ∴點(diǎn) F 是線段 CD 的中點(diǎn)， 已知點(diǎn) E 是線段 AC 的中點(diǎn)，則 EF＝12AD， ∵∠BAC＝∠CAD，∠ADC＝∠ACB， ∴△ACD∽△ABC，則ACAB＝ADAC，即 AC2＝ABAD， 而 AC＝2CE，AD＝2EF， ∴(2CE)2＝AB2EF，即 4CE2＝AB2EF， ∴2CE2＝ABEF.